त्रिशतिका: पाटीगणितसार (श्रीधराचार्य - पं. सुद्युम्नाचार्य सविस्तार हिन्दी व्याख्या)

त्रिशतिका 159
सुक्षेमा अनुवाद-शंकु की पूर्वोक्त स्थिति में अर्थात् 12 अंगुल या 8 अंगुल
ऊँचा स्थित होने पर तथा 1/8 दिन के शेष रहने की दशा में कितनी बड़ी छाया
बनेगी, बताओ।
अनुशीलन-65 वें श्लोक के द्वितीय चरण में कहा है कि पूर्वोक्त से
विपरीत क्रिया करने पर छाया का मान प्राप्त होता है। अतः पूर्वोक्तानुसार-
[(8 × 12) - (12 × 2)] / 2 = (96 - 24) / 2 = 72/2 = 36 अंगुल की लम्बाई
तथा-
[(8 × 8) - (8 × 2)] / 2 = (64 - 16) / 2 = 48/2 = 24 अंगुल की लम्बाई
इसकी उपपत्ति को बीजगणितीय समीकरण की संक्रिया से आसानी से
स्पष्ट किया जा सकता है-
12 / [2(12 + x)] = 1/8 ⇒ [2(12 + x)] / 12 = 8
⇒ 24 + 2x = 12 × 8 = 96
⇒ 2x = 96 - 24 = 72
⇒ x = 72/2 = 36
भारत में प्राचीन काल से धूप-घड़ी का प्रयोग होता रहा है। इसके लिये
किसी समतल भूभाग पर याम्योत्तर अर्थात् दक्षिण से उत्तर एक सीधी रेखा खींची
जाती थी। उसके केन्द्र-बिन्दु के आधार पर एक वृत्त की रचना की जाती थी। इस
रेखा पर किसी त्रिभुजाकार काष्ठ या धातु की पत्ती को खड़ा करके दृढ़ता से
स्थापित कर दिया जाता था। जिसका एक कोण स्थानीय अक्षांश के तुल्य होता
था। इससे मध्याह्न में सूर्य की छाया ठीक याम्योत्तर रेखा पर पड़ती थी। इस समय
दिन के १२ बजते थे। इसके पश्चात् प्रस्तुत गणितीय नियम के अनुसार छाया बढ़ने
पर दिन के घण्टे बीतते जाते थे। इसके अनुसार छाया के उसर स्थान पर उस २
घण्टे का चिह्न अंकित कर दिया जाता था। इस प्रकार काष्ठ के ऊपरी छोर की
छाया जिस अंकित घण्टे पर पड़ती थी, वही दृष्ट समय माना जाता था।
श्रीधराचार्य विरचित त्रिशतिका पाटी की 'सुक्षेमा' व्याख्या समाप्त।

160 त्रिशतिका
परिशिष्ट नं.1
त्रिशतिका के विशिष्ट गणितीय शब्द
आयत (rectangle)—
प्राचीन प्रयोग- ‘आयत चतुरस्र’ (ऐ. ब्रा. 5.5)
इस अर्थ में केवल ‘आयत’ का प्रयोग-
समचतुरस्रायतयोर्भुजकोटिहतिः प्रजायते गणितम्-त्रिशतिका सू. 42 पृ. 110
स्पष्टतः यहाँ ‘आयत’ शब्द समचतुरस्र का विपरीत ‘विषम चतुर्भुज’ का
वाचक है। इस प्रकार जिस चतुर्भुज की आसन्न भुजाएँ नहीं, अपितु आमने सामने
की भुजाँ बराबर हों, वह आयत है।
समश्रुतौ तुल्यचतुर्भुजे च तथायते तद् भुजकोटिघातः-लीलावती पृ. 225
आयाम = लम्बाई (length)
प्राग्वंशः षोडशप्रक्रमायामः बौ. शु. सू. 1.88
-त्रिशतिका - उदा. 83 इत्यादि, पृ. 121
इच्छा- त्रैराशिक की तृतीय राशि (Third quantity of त्रैराशिक - scale)
त्रैराशिक-फल-राशि तमथेच्छाराशिना हतं कृत्वा।
लब्धं प्रमाणभजितं तस्मादिच्छाफलमिदं स्यात् - आर्यभटीय 1.26
त्रिशतिका सू. 29 पृ. 49
प्रमाणमिच्छा च समानजातिः आद्यन्तयोस्तत् फलमन्यजातिः - लीलावती
त्रैराशिक श्लोक 7 पृ. 100
एकपत्रीकरण- ब्याज का विवरण (chart of interest)
त्रिशतिका सू. 35, पृ. 84
कपाट-सन्धि- गुणन की एक विधि (A method of multiplication)
त्रिशतिका सू. 5, पृ. 13
कर्ण- (hypotenues) कर्णस्तु पार्श्वभुजः - त्रिशतिका सूत्र 50, पृ. 131
कला-सवर्णन- भिन्न संख्याओं पर संक्रियाएँ
परिकम्मं ववहारो रज्जु-रासी कलासवन्नेय।
जावन्तावति वग्गो घनो ततह वग्गवग्गो विकप्पोत-स्थानांग सूत्र 747

त्रिशतिका 161

त्रिशतिका सूत्र 22 पृ. 31 में भिन्न-संक्रियाओं के 6 प्रकार
कु = मुख के समानान्तर आधार भुजा (base, parallel to मुख)
त्रिशतिका सूत्र 42 पृ. 111
चतुर्भुजेऽन्यत्र समानलम्बे लम्बेन निघ्नं कुमुखैक्यखण्डम् लीलावती श्लोक
23, पृ. 225
कार्मुक (पर्याय-चाप, धनुः) = परिधि-खण्ड (arc) इसके धनुष-आकार
का होने से यह नाम विकसित है।
त्रिशतिका सूत्र 47, पृ. 126
पर्याय धनुः का प्रयोग- इषुवर्गस्य षड्गुणस्य ज्यावर्गयुतस्य मूलं धनुःकाष्ठम्

• तत्त्वार्थाधिगम-सूत्र भाष्य 3.71
  आप्ते पदे वृतिदलात् पतिते धनुः स्यात् - लीलावती श्लोक 49, पृ. 301
  कृति = वर्ग (square)
  अर्थ- सदृशद्विराशिघातः- त्रिशतिका सूत्र 11, पृ. 17
  सवर्णितांशवर्गश्छेदकृतिविभाजितो भवति वर्गः - ब्रा. स्फु. सि. 12.5
  कोटि = लम्ब (perpendicular) त्रिशतिका सूत्र 50 पृ. 131 त्र्यस्रे
  चतुरस्रे वा सा कोटिः कीर्तिता तज्ज्ञैः - लीलावती क्षेत्रव्यवहार श्लोक 1 पृ. 172
  क्रकचफल = चीरी हुई लकड़ी का क्षेत्रफल (area of wooden pieces)
  त्रिशतिका सूत्र 60, पृ. 150
  लीलावती - क्रकचव्यवहार श्लोक 3, पृ. 313
  सामान्य अर्थ- दारुदारणपथ (लीलावती पृ. 312)
  ख = शून्य (cipher)
  त्रिशतिका सूत्र 8, पृ. 14
  धनयोर्धनमृणमृणयोर्धनर्णयोरन्तरं समैक्यं खम्।। ब्रा.स्फु.सि. 18.30
  खात फल = खोदे गए घनाभ गड्ढे का घनफल (the volume of a
  ditch) त्रिशतिका उदा. 87, पृ. 138
  क्षेत्रफलं वेधगुणं खाते घनहस्तसंख्या स्यात्। लीलावती खातव्यवहार श्लोक
  1, पृ. 303
  घन (cube) -

162 त्रिशतिका
ब्राह्मस्फुटसिद्धान्त 12.1 में 20 परिकर्म में से एक
घनोऽसौ समत्रिराशिहतिः-त्रिशतिका सूत्र 15 पृ. 21
समत्रिघातश्च घनः प्रदिष्टः-लीलावती, अभिन्नपरिकर्माष्टक, श्लोक 11
घनमूल (Cube root)
अघनाद् भजेद् द्वितीयात् त्रिगुणेन घनस्य मूलवर्गेण-आर्यभटीय 1.5
ब्रा.स्फु.सि. 12.1 में 20 परिकर्मों में से एक
त्रिशतिका सूत्र 18, पृ. 24
घनं तदाद्याद् घनमूलमेव....लीलावती, अभिन्न-परिकर्माष्टक, श्लोक 15, पृ.
33
चाप-परिधि-खण्ड की लम्बाई (arc length)
त्रिशतिका सूत्र 47, पृ. 126
विस्तार के लिये देखें- 'कार्मुक' शब्द
चिति, चितिफल = चुनी हुई ईंटों का घनफल (volume of a prism)
ब्रा.स्फु.सि. 12.1 में 8 व्यवहारों में से एक चिति-व्यवहार।
त्रिशतिका सूत्र 58, पृ. 148
उ.प्र. - उच्छ्रयेण गुणितं चितेः किल क्षेत्रसम्भवफलं घनं भवेत्।।

• लीलावती, चितिव्यवहार, श्लोक 1, पृ. 310
  छायाव्यवहार- छाया की लम्बाई से दिनमान।
  ब्रा.स्फु.सि. 12.1 में 80 व्यवहारों में से एक।
  त्रिशतिका सूत्र 65, पृ. 157
  लीलावती-छायाव्यवहार श्लोक 1 से 5, पृ. 319 तथा आगे
  जीवा या ज्या (chord)
  पू.प्र. - वृत्ते शरोनगुणितात् व्यासच्चतुराहतात् पदं जीवा-ब्रा.स्फु.सि. 12.41
  ज्या के लिये ब्रा.स्फु.सि. 12.42
  त्रिशतिका सूत्र 47, पृ. 95 तथा त्रिशतिका उदा. 86, पृ. 127
  ----आद्योनितेन खलु तेन भजेच्चतुर्घ्नव्यासाहतं प्रथममाप्तमिह ज्यका स्यात्।
  -लीलावती, क्षेत्रव्यवहार श्लोक 48, पृ. 298

त्रिशतिका 163
तत्स्थ-- गुणन की एक विधि (A method of multiplication)
त्रिशतिका-सूत्र 6, पृ. 13
त्र्यस्र- त्रिकोण त्रिभुज।
पूर्व-प्रयोग - भगवती-सूत्र में।
त्रिशतिका श्लोक 43, पृ. 115
उ.प्र. लीलावती-क्षेत्र व्यवहार श्लोक 1, पृ. 172 आदि अनेक बार
त्रैराशिक- तीन राशियों के आधार पर समानुपात (Direct proportion
based on the rule of three)
त्रैराशिक-फलराशिं तमथेच्छाराशिना हतं कृत्वा। लब्धं प्रमाणभजितं
तस्मादिच्छाफलमिदं स्यात्। आर्यभटीय 1.26
ब्रा.स्फु.सि. में 20 परिकर्म में से एक
त्रिशतिका सूत्र 29 में पृ. 49
लीलावती त्रैराशिक सूत्र 7, पृ. 100 तथा आगे
दैर्घ्य- लम्बाई (length)
पू.प्र. - --- अग्रतलैक्यार्धमौच्च्यदैर्घ्यगुणम् - ब्रा.स्फु.सि. 12.47
त्रिशतिका सूत्र 52, 53 आदि पृ. 137
उ.प्र. लीलावती, खात व्यवहार उदा. श्लोक 1 पृ. 303
गणित में यह शब्द विस्तार (चौड़ाई) के सापेक्ष प्रयुक्त है। यह स्थिति
न्याय वैशेषिक से भिन्न है। वहाँ 'दीर्घ' शब्द 'ह्रस्व' के विरोधी के रूप में संख्यात
है। दर्शन का मानना है कि इक्षु आदि में वस्तुतः 'दीर्घत्व' ही है। यदि उसमें कभी
अन्य के सापेक्ष ह्रस्व का प्रयोग होता है तो वह औपचारिक तथा अवास्तविक है।
द्रष्टव्य- परिमाणं---चतुर्विधम्-अणु, महद् दीर्घ ह्रस्वं चेति--- समिदिषु-
वंशादिष्वंजसा दीर्घेष्वपि प्रकर्षाभावमपेक्ष्य भाक्तो ह्रस्वत्वव्यवहारः -प्रशस्तपाद भा०
परिमाण प्रकरण पृ. 320
प्रक्षेप (बीज या मूलधन)
प्रक्षेपयोगहृतया लब्ध्या प्रक्षेपका गुणा लाभाः- ब्रा.स्फु.सि 12.16
त्रिशतिका सूत्र 38, पृ. 92
उ.प्र. - प्रक्षेपका मिश्रहता विभक्ता प्रक्षेपयोगेन पृथक् फलानि-लीलावती
मिश्रक-व्यवहार श्लोक 13 पृ. 126

164 त्रिशतिका
प्रत्युत्पन्न– गुणन (multiplication)
ब्रा.स्फु.सि 12.1 में 20 परिकर्म में से एक। इसकी विधि 12.3 में।
त्रिशतिका श्लोक 6, पृ. 13
प्रभाग जाति– भिन्न संख्याओं के भाग का भाग (compound fraction)
कला-सवर्णन के 6 प्रकारों में से एक
त्रिशतिका सूत्र 23, पृ. 32
लवा लवघ्नाश्च हरा हरघ्ना भागप्रभागेषु सवर्णनं स्यात्।
-लीलावती भिन्न-परिकर्माष्टक श्लोक 2 पृ. 37
प्रमाण– त्रैराशिक की प्रथम राशि (First quantity of त्रैराशिक scale)
लब्धं प्रमाणभजितं तस्मादिच्छाफलमिदं स्यात्।। आर्यभटीय 1.26
त्रिशतिका सूत्र 29, पृ. 49
प्रमाणमिच्छा च समानजाती आद्यन्तयोस्तत् फलमन्यजातिः। –लीलावती त्रैराशिक,
श्लोक 7, पृ. 100
प्रमाण-फल– त्रैराशिक की द्वितीय राशि (second quantity of त्रैराशिक
scale)
आर्यभटीय - द्र. 'प्रमाण'
त्रिशतिका सूत्र 29, पृ. 49
लीलावती - द्र. 'प्रमाण'
बाहु = भुज (base)
बाहुस्त्वजधा-त्रिशतिका सूत्र 50, पृ. 131
भाग-जाति– भिन्न संख्याओं का भाग (simple fraction)
कला-सवर्णन के 6 प्रकारों में से एक
ब्रा.स्फु.सि. 20 परिकर्म में से एक
त्रिशतिका सूत्र 23, पृ. 32
लीलावती - भिन्नपरिकर्माष्टक श्लोक 1, पृ. 35
भाग-भाग-विधि–पूर्ण संख्या का भिन्न संख्या के साथ भाग।
कला-सवर्णन के 6 प्रकारों में से एक।
ब्रा.स्फु.सि के 20 परिकर्मों में से एक

त्रिशातिका 165
त्रिशातिका सूत्र 24, पृ. 36
भाग-माता- पूर्ण तथा अपूर्ण संख्याओं के साथ भाग, योग आदि अनेक
संक्रियाएँ।
कला सवर्णन के 6 प्रकारों में से एक
ब्रा.स्फु.सि. के 20 परिकर्मों में से एक
त्रिशातिका सूत्र 25, पृ. 37
भागानुबन्ध-विधि- भिन्न संख्याओं का योग (fractional increase)
कला-सवर्णन के 6 प्रकारों में से एक
ब्रा.स्फु.सि. के 20 परिकर्मों में से एक
त्रिशातिका सूत्र 18, पृ. 26
लीलावती-भिन्न परिकर्माष्टक श्लोक 2, पृ. 38
भागापवाह- भिन्न संख्याओं का व्यवकलन (fractional decrease)
कला-सवर्णन के 6 प्रकारों में से एक
ब्रा.स्फु.सि. के 20 परिकर्मों में से एक
त्रिशातिका सूत्र 19, पृ. 27
लीलावती, भिन्न-परिकर्माष्टक, श्लोक 2, पृ. 38
भाण्ड प्रतिभाण्डक- वस्तु-विनिमय-विधि (Rules for barter)
प्रागमूल्यव्यत्यासो भाण्डप्रतिभाण्डकेऽन्यदुक्तसमम्
परिकर्माण्यष्टानां व्यवहाराणामभिहितानि- ब्रा.स्फु.सि. 12.13
20 परिकर्मों में से एक
त्रिशातिका सूत्र 32, पृ. 75
तथैव भाण्डप्रतिभाण्डकेऽपि विधिर्विपर्यस्य हरांश्च मूल्ये।
-लीलावती-पञ्चराश्यादिक, श्लोक 10, पृ. 111
भाव्यक- कोई भी नाम जैसे क, ख (Any term like x, y)
भावितक-भावितकरूपगुणना साव्यक्तवधेष्टभाजितेष्टाप्त्योः।
-ब्रा.स्फु.सि. 18.60
त्रिशातिका सूत्र 34, पृ. 82

166 त्रिशतिका
मिश्र ( धन )- ब्याज सम्मिलित मूलधन (whole amount)
कालप्रमाणघातः परकालहतो द्विधाऽऽद्यमिश्रवधात्। -ब्रा.स्फु.सि. 22.15
त्रिशतिका सूत्र 33, पृ. 78
प्रमाणकालेन हतं प्रमाणं विमिश्रकालेन हतं फलं च।
-लीलावती मिश्रकव्यवहारः श्लोक 11 पृ. 117
मिश्रक व्यवहार- मूलधन तथा ब्याज की विधि (Method for simple
interest and principal amount)
ब्रा.स्फु.सि. 12.1 के 8 व्यवहारों में से एक
त्रिशतिका सूत्र 33, पृ. 78
लीलावती, मिश्रक व्यवहार श्लोक 11, पृ. 117 तथा आगे
मुख- आधार के समानान्तर भुजा (Top side parallel to the base)
मुखतलयुतिदल-गणितं---ब्रा.स्फु.सि. 12.45
त्रिशतिका सूत्र 42, पृ. 111 पृ. चतुर्भुजेऽन्यत्र समानलम्बे लम्बेन निघ्नं
कुमुखैक्यखण्डम्- लीलावती, श्लोक 23
मूलधन (Principal amount) स्वफलयुतरूपभक्तं मूलफलैक्यं भवति
मूलम्। -ब्रा.स्फु.सि. 12.14
त्रिशतिका सूत्र 34, पृ. 82
स्वयोग भक्ते च पृथक् स्थिते ते मिश्राहते मूलकलान्तरे स्तः - लीलावती,
मिश्रक व्यवहार, श्लोक 11, पृ. 117
राशि-व्यवहार- धान के ढेर का घन-गणित (volume of a heap of
grain)
ब्रा.स्फु.सि. 12.1 के 8 व्यवहारों में से एक
त्रिशतिका सूत्र 61 पर पृ. 153
लीलावती-राशि व्यवहार श्लोक 1 से, पृ. 314
लम्ब = शीर्षलम्ब (perpendicular)
अवलम्बक - अविषम-पार्श्वभुजगुणः कर्णो द्विगुणावलम्बकविभक्तः।
-ब्रा.स्फु.सि. 12.26
त्रिशतिका सूत्र 43, पृ. 115

त्रिशतिका 167
चतुर्भुजेऽन्यत्र समानलम्बे लम्बेन निघ्नं कुमुखैक्यखण्डम्।
-लीलावती श्लोक 23, पृ. 225
वर्गमूल- (square-root)
भारं हरेदवर्गाद् द्विगुणेन वर्गमूलेन। वर्गाद् वर्गे शुद्धे लब्धं स्थानान्तरे
मूलम्-आर्यभटीय-गणित पाद 1.4
ब्रा.स्फु.सि. 12.1 में 20 परिकर्म में से एक
त्रिशतिका सूत्र 12-13, पृ. 20
त्यक्त्वाऽन्त्याद् विषमात् कृतिं द्विगुणयेन्मूलं समे तद्धृते-लीलावती, वर्गमूलविधि
श्लोक 1 पृ. 27
वल्ली-सवर्णन- संख्याओं को समान मात्रक में बनाने की विधि। त्रिशतिका
सूत्र 26, पृ. 38
विषम-क्रय-
त्रिशतिका श्लोक 38, पृ. 94
लीलावती, मिश्रक व्यवहार में क्रयविक्रय सूत्र 14 पृ. 130 के अन्तर्गत
विष्कम्भ- व्यास (diameter)
विष्कम्भान्तयोः शंकू निहन्यात्-बौधायन शुल्बसूत्र 1.23
अयुतद्वय-विष्कम्भस्यासन्नो वृत्त-परिणाहः- आर्यभटीय, गणितपाद- 1.10
त्रिशतिका श्लोक उदा. 85, पृ. 124
वेध = गहराई (depth)
क्षेत्रफलं वेधगुणं समखातफलं हतं त्रिभिः सूच्याः। -ब्रा.स्फु.सि. 12.44
त्रिशतिका श्लोक 52, 53 पृ. 137
व्यवकलित-शेष = बड़ी संख्या के संकलित में से छोटी संख्या के
संकलित को घटाने का सूत्र।
त्रिशतिका, सूत्र 3 पृ. 10
व्यस्त-त्रैराशिक- तीन राशियों के आधार पर व्युत्क्रमानुपात का नियम
(Inverse proportion based on the rule of three)
ब्रा.स्फु.सि. 12.1 में 20 परिकर्मों में से एक
त्रिशतिका सूत्र 30, पृ. 57

168 त्रिशतिका
व्यास- (diameter)
सूत्रोक्ताद् व्यासार्धाद् व्यासार्ध मण्डलस्यैतत्-आपस्तम्बीय शुल्ब परिशिष्ट
The shulva Sutras पृ. 83
व्यास व्यासार्धकृती परिधिफले व्यावहारिके त्रिगुणे- ब्रा.स्फु.सि. 12.40
त्रिशतिका सूत्र 45, पृ. 123
व्यासे भनन्दाग्निहते विभक्ते खबाण-सूर्यैः परिधिः स सूक्ष्मः।
-लीलावती क्षेत्रव्यवहार श्लोक 40 पृ. 275
शर- जीवा के मध्य बिन्दु से वृत्त के किसी बिन्दु को स्पर्श करने वाला
लम्ब -बाण (arrow)
वृत्ते शरोनगुणितात् व्यासाच्चतुराहतात् पदं जीवा। -ब्रा.स्फु.सि. 12.41
त्रिशतिका सूत्र- 47, पृ. 126
ज्याव्यासयोगान्तरघातमूलं व्यासस्तदूनो दलितः शरः स्यात्।
-लीलावती क्षेत्रव्यवहार श्लोक 43, पृ. 290
समक्रय- अनुपात के आधार पर क्रय पर संक्रियाएँ।
त्रिशतिका सूत्र 38, पृ. 94
लीलावती, मिश्रकव्यवहार में क्रयविक्रय सूत्र 14, पृ. 130 के अन्तर्गत
श्रेढी व्यवहार- क्रमिक संख्याओं का गणित।
ऋग्वैदिक 'श्रेणी' शब्द का प्राकृत-रूप।
ब्रा.स्फु.सि. 12.1 में 8 व्यवहारों में से एक।
त्रिशतिका सूत्र 39, पृ. 99
महावीराचार्य के गणित-सार संग्रह तथा भास्कराचार्य के लीलावती आदि में
विशद वर्णन।
हर = जिस संख्या से हरण या भाग दिया जावे (denominator of a
fraction)
पर्याय हार, छेद, भाजक-आदि।
त्रिशतिका सूत्र 20, पृ. 29

त्रिशतिका 169
परिशिष्ट नं. २
त्रिशतिका की तुलनीय गणितीय संक्रियाएँ
अन्त्य-धन- (last term)
इष्टं व्येकं दलितं सपूर्वम् उत्तरगुणम्- आर्यभटीय, गणित पाद 1.19
पदमेकहीनम् उत्तरगुणितं संयुक्तमादिनान्त्यधनम्- ब्रा.स्फु.सि. 12.17
व्येकपदोत्तरघाते सादावन्त्यं धनं तदादियुतम्- त्रिशतिका सूत्र 39, पृ. 99
चयगुणितैकोनपदं सादि अन्त्यधनम्- गणितसार संग्रह, संकलित-परिकर्म,
श्लोक 64
व्येकपदघ्नचयो मुखयुक् स्यादन्त्यधनम्- लीलावती, श्रेढ़ी व्यवहार श्लोक
3, पृ. 151
अवधा- चतुर्भुज या त्रिभुज में शीर्ष लम्ब से विभाजन द्वारा प्राप्त शेष एक
आधार भुजा (segment of the base)
एतां कर्णयोरनयोः पृथक् वर्गाभ्यां विशोध्य शेषयोर्मूले भुजोऽवधा च-
त्रिशतिका सूत्र 50 पर व्याख्या, पृ. 131
यल्लम्बलम्बाश्रितबाहुवर्गविश्लेषमूलं कथिताऽवधा सा- लीलावती, क्षेत्रव्यवहार
श्लोक 25, पृ. 230
आदिधन- (first term)
आदिः पदहृतगणितं निरेकगच्छघ्नचयदलेनोनिम्-त्रिशतिका सूत्र 40, पृ. 103
सर्वथा तुलनीय- प्रभवो गच्छाप्तधनं विगतेकपदार्धगुणितचयहीनम्- गणितसार
संग्रह, परिकर्म श्लोक 74
अन्य प्रकार ⇒ द्विगुणितसंकलितधनं गच्छहृतं रूपरहितगच्छेन।
ताडितचयेन रहितं द्वयेन सम्भाजितं प्रभवः- गणित सार संग्रह, परिकर्म
श्लोक 76
त्रिशतिका से तुल.- गच्छहृते गणिते वदनं स्यात् व्येकपदघ्नचयार्धविहीने।
-लीलावती, श्रेढ़ी व्यवहार, श्लोक 4, पृ. 152
कर्ण = अक्ष्णया रज्जु-बौधायन शुल्व सूत्र प्रोक्त शब्द। (Hypotenues)
यश्चैवं भुजावर्गः कोटीवर्गश्च कर्णवर्गः सः-आर्यभटीय, गणितपाद श्लोक
17

170 त्रिशतिका
कोटिबाहुकृतियुतिपदं कर्णः। -ब्रा.स्फु.सि. 12.24
तत्कृत्योर्युतितो मूलं प्रजायते कर्णः - त्रिशतिका सूत्र 51, पृ. 131
भुजकोट्योः कृतियुतेर्मूलं कर्णः - उसी श्लोक पर त्रिशतिका व्याख्या
तत्कृत्योर्योगपदं कर्णः - लीलावती क्षेत्रव्यवहार श्लोक 2, पृ. 172
कोटि- (perpendicular side)
भुजस्य कृतिम्। प्रोह्य पदं कोटिः ..... ब्रा.स्फु.सि. 12.24
भुजकोट्योः कृतिहीनात् पृथक् पृथक् कर्णवर्गंतो मूले।
कोटिभुजौ---त्रिशतिका श्लोक 51, पृ. 131
भुजवर्गोनायाः कर्णकृतेर्मूलं कोटिः ---लीलावती, क्षेत्रव्यवहार श्लोक 2
गच्छ या पद (Number of terms)
गच्छोऽष्टोत्तरगुणितात् द्विगुणाद्युत्तरविशेषवर्गयुतात्।
मूलं द्विगुणाद्यूनं स्वोत्तरभाजितं सरूपार्धम्।। -आर्यभटीय, गणितपाद 1.20
उत्तरहीनद्विगुणादिशेषवर्ग धनोत्तराष्टवधे।
प्रक्षिप्य पदं शेषोनं द्विगुणोत्तरहृतं गच्छः।।-ब्रा.स्फु.सि. 12.18
संकलितं वा तदष्टसंगुणितम्। रूपयुतं तन्मूलं निरेकमर्धीकृतं गच्छः।।-त्रिशतिका
सूत्र 2, पृ. 7
अष्टोत्तरहतफलतो द्विगुणादि-प्रचयविवरकृतियुक्तात्।
मूलं द्विगुणमुखोनं सचयं द्विचयोद्धृतं गच्छः।-त्रिशतिका श्लोक 41, पृ. 107
श्रेढीफलादुत्तरलोचनघ्नाच्चयार्धवक्त्रान्तरवर्गयुक्तात्।
मूलं मुखोनं चयखण्डयुक्तं चयोद्धृतं गच्छमुदाहरन्ति।। -लीलावती, श्रेढ़ी
व्यवहार, श्लोक 5, पृ. 155
गुणनफल (द्विपद का)-
ध्वनित⇒ इष्टोनयुतवधो वा तदिष्टवर्गान्वितो वर्गः। त्रिशतिका श्लोक 11,
पृ. 17
स्पष्ट सूत्र ⇒ इष्टोनयुग्राशिवधः कृतिः स्यादिष्टस्य वर्गेण समन्वितो वा-
लीलावती, अभिन्न-परिकर्माष्टक, श्लोक 9, पृ. 22
अन्य गुणनफल का स्पष्ट सूत्र⇒ ---तयोर्योगान्तराहतिः। वर्गान्तरं भवेदेवं
ज्ञेयं सर्वत्र धीमता- लीलावती क्षेत्रव्यवहार, श्लोक 3, पृ. 100

त्रिशतिका 171
गोलपाषाण-फल- गोले का आयतन (volume of the sphere)
तन्निजमूलेन हतं घनगोलफलं निरवशेषम् -आर्यभटीय, गणितपाद, 1.7
गोलव्यासघनार्धं स्वाष्टादशभागसंयुक्तं गणितम्।
घनहस्ता नवगुणिताश्चतुर्विभक्ता करा दृषदः।। त्रिशतिका सूत्र 56, पृ. 145
---एवं तदपि च फलं पृष्ठजं व्यासनिघ्नम्।
षड्भिर्भक्तं भवति नियतं गोलगर्भे घनाख्यम्।।-लीलावती, क्षेत्रव्यवहार, श्लोक
41, पृ. 281
घन (एक पद का) (cube)---
सदृशत्रयसंवर्गो घनः- आर्यभटीय गणित पाद 1.3
स्थाप्योऽन्त्यघनोऽन्त्यस्य कृतिस्त्रिगुणोत्तरसंगुणा च तत्प्रथमात्।
उत्तरकृतिरन्त्यगुणा त्रिगुणा चोत्तरघनश्च घनः।-ब्रा.स्फु.सि.
सर्वथा तुल. ⇒ स्थाप्योऽन्त्यघनोऽन्त्यकृतिः स्थानाधिक्यं त्रिपूर्वगुणिता च।
आद्यकृतिरन्त्यगुणिता त्रिगुणिता च घनस्तथाद्यस्य- त्रिशतिका सू. 14, पृ. 21
स्थाप्यो घनोऽन्त्यस्य ततोऽन्त्यवर्गः---आदि- लीलावती, अभिन्नपरिकर्माष्टक
श्लोक 11
घन (द्विपद का) (b = 1 मानते हुए)-
खैकादिचयेनान्त्ये त्र्यादिहते वा युतिः सैकै- त्रिशतिका सूत्र 15, पृ. 21
त्रिशतिका से विकसित तुल. सूत्र-खण्डाभ्यां वा हतो राशिस्त्रिघ्नः
खण्डघनैक्ययुक्। -लीलावती, अभिन्नपरिकर्माष्टक श्लोक 13 पृ. 29
घनमूल- (Cube root)
अघनाद् भजेद् द्वितीयात् त्रिगुणेन घनस्य मूलवर्गेण।
वर्गस्त्रिपूर्वगुणितः शोध्यः प्रथमाद् घनश्च घनात्।। -आर्यभटीय, गणितपाद
1.5
तुल.--- त्रिशतिका सूत्र 16, 17 पृ. 24
---लीलावती अभिन्न परिकर्माष्टक श्लोक 15, पृ. 33
घनफल (volume)
I. समखात का घनफल = घन का आयतन (volume of the cube)
क्षेत्रफलं वेधगुणं समखातफलम् - ब्रा.स्फु.सि. 12.44

172 त्रिशतिका
समविस्तरहतदैर्घ्ये वेधेन समाहते फलं भवति।
खाते समभुजवेधे बाहुघनो जायते गणितम्। –त्रिशतिका सूत्र 53 पृ. 137
क्षेत्रफल वेधगुणं खाते घनहस्तसंख्या स्यात्--लीलावती, खातव्यवहार, श्लोक
2, पृ. 303
II. चिति का घनफल = घनाभ का आयतन (volume of the cuboid)
आकृतिफलमौच्च्याहतमग्रतलैक्यार्धमौच्च्यदैर्घ्यगुणम्।
घनगणितमिष्टकाघनफलेन हृतमिष्टकागणितम्।। -ब्रा.स्फु.सि. 12.47
चयने क्षेत्रस्य फलं समुच्छ्रयेणाहतं चितेर्भवति। --त्रिशतिका सूत्र 58, पृ.
148
उच्छ्रयेण गुणितं चितेः किल क्षेत्रसम्भवफलं घनं भवेत्। -लीलावती,
चितिव्यवहार, श्लोक 1, पृ. 310
III. वृत्त का घन गणित = समवृत्तीय बेलन का आयतन (volume of
right circular cylinder)
प्राग्वत् क्षेत्रस्य फलं वृत्तत्र्यस्रादिदृषदि पिण्डघ्नम्।
घनगणितमतो दृषदः फलं भवेत् पूर्वकरणेन- त्रिशतिका सूत्र 57, पृ. 147
तथा-प्राग्वत् क्षेत्रस्य फलं चतुरस्रत्र्यस्रचापवृत्तेषु।
तुल्योदयेन गुणितं संख्यानं भवति धान्यस्य- त्रिशतिका सूत्र 63, पृ. 155
क्षेत्रफल सममेवं वेधहतं घनफलं स्पष्टम्--लीलावती, खातव्यवहार, श्लोक
3, पृ. 304
IV. कूप का फल = असमत खात वृत्त या अपूर्ण शंकु तथा अपूर्ण घनाभ
का घनफल या आयतन (volume of frustrum of the cone and pyramid)
मुखतलयुतिदलगणितं वेधफलं व्यावहारिकं गणितम्।
मुखतलगणितैक्यार्धं वेधगुणं स्याद् गणितमौत्रम्।। ब्रा.स्फु.सि. 12.45
मुखतलतद्योगानां वर्गैक्यकृतेः पदं दशगुणायाः।
वेधगुणं चतुरन्वितविंशतिभक्तं फलं कूपे- त्रिशतिका सूत्र 54, पृ. 140
मुखजतलजतद्युतिजक्षेत्रफलैक्यं हतं षड्भिः।
क्षेत्रफल सममेवं वेधहतं घनफलं स्पष्टम्- लीलावती, खातव्यवहार, श्लोक
2 पृ. 304
V. धान्यराशि का घनहस्त = सूचीखात का घनफल या शंकु का आयतन

त्रिशतिका 173
(volume of right circular cone)
क्षेत्रफलं वेधगुणं समखातं फलं त्रिभिः सूच्याः।-ब्रा.स्फु.सि. 12.44
समभुवि विकीर्णराशेः परिधिषडंशस्य यो भवेद् वर्गः।
सोऽभ्युदयहतो गणितं घनहस्तेऽवस्थितिः खार्याः।- त्रिशतिका सूत्र 61, पृ.
153
त्रिशतिका से तुल.-भवति परिधिषष्ठे वर्गिते वेधनिघ्ने घनगणितकराः
स्युर्मागधास्ताश्च खार्यः - लीलावती, राशिव्यवहार श्लोक 15, पृ. 314
ब्रा.स्फु.सि. से तुल.⇒ समखातफलत्र्यंशः सूचीखाते फलं भवति। -लीलावती,
खातव्यवहार, श्लोक 3, पृ. 305
चतुरस्र = I. वर्ग या आयत का क्षेत्रफल (area of the square or
rectangle)
वर्गः समचतुरस्रः फलं च सदृशद्वयस्य संवर्गः- आर्यभटीय गणितपाद 1.3
समचतुरस्रायतयोर्भुजकोटिहतिः प्रजायते गणितम् -त्रिशतिका सूत्र 42, पृ.
110
समश्रुतौ तुल्यचतुर्भुजे च तथाऽऽयते तद्भुजकोटिघातः। -लीलावती, क्षेत्रव्यवहार
श्लोक 23, पृ. 255
II. समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल (Area of a trapezium)
आयामगुणे पार्श्वे तद्योगहृते स्वपातरेखे ते। विस्तरयोगार्धगुणे ज्ञेयं क्षेत्रफलमायामे।
-आर्यभटीय, गणितपाद, श्लोक 8
चतुरस्रेष्वन्येषु च लम्बगुणं कुमुखयोगार्धम्। -त्रिशतिका श्लोक 42, पृ. 111
चतुर्भुजेऽन्यत्र समानलम्बे लम्बेन निघ्नं कुमुखैक्यखण्डम्। -लीलावती, क्षेत्र-
व्यवहार, श्लोक 23, पृ. 225
चय, प्रचय या उत्तर (Common difference)
पदहतफलं मुखोनं निरेकपददलहतं प्रचयः। -त्रिशतिका सूत्र 40, पृ. 105
द्विहतं संकलितधनं गच्छहतं द्विगुणितादिना रहितम्
विगतैकपदविभक्तं प्रचयस्स्यादिति विजानीहि।।
-गणितसारसंग्रह-परिकर्म श्लोक 2, पृ. 75
गच्छहृतं धनमादिविहीनं व्येकपदार्धहृतं च चयः स्यात्। -लीलावती, श्रेढी
व्यवहार, श्लोक 4, पृ. 153

174 त्रिशतिका
त्र्यस्त्र-फल = त्रिभुज-क्षेत्रफल
त्रिभुजस्य फलं शरीरं समदलकोटी भुजार्धसंवर्गः-आर्यभटीय, गणितपाद 1.6
(i) चतुरस्रे त्र्यस्रे वा क्षेत्रे कुदलं च लम्बहतम्-त्रिशतिका सूत्र 43, पृ. 115
(ii) भुजयुतिदलं चतुर्धा भुजहीनं तद् वधात् पदं गणितम्-त्रिशतिका सूत्र 43,
पृ. 115
I से तुल. लम्बगुणं भूम्यर्ध स्पष्टं त्रिभुजे फलं भवति-लीलावती, क्षेत्र
व्यवहार, श्लोक 18
(ii) से तुल. ⇒ सर्वदोर्युतिदलं चतुःस्थितं बाहुभिर्विरहितं च तद्वधात्।
मूलमस्फुटफलं चतुर्भुजे स्पष्टमेवमुदितं त्रिबाहुके।। -लीलावती, क्षेत्रव्यवहार,
श्लोक 19, पृ. 217
परिधि = वृत्त-परिणाह (आर्यभटीय) (circumference)
परिधान भी- त्रिशतिका उदा. 102, पृ. 154
चतुरधिकं शतमष्टगुणं द्वाषष्टिस्तथा सहस्राणाम्।
अयुतद्वय-विष्कम्भस्यासन्नो वृत्त-परिणाहः।।-आर्यभटीय, गणितपाद श्लोक
1.10
वृत्तव्यासस्य कृतेर्मूलं परिधिर्भवति दशगुणायाः। -त्रिशतिका सूत्र 45, पृ.
123
त्रिशतिका से तुल. - वृत्तक्षेत्रव्यासो दशपदगुणितो भवेत् परिक्षेपः (परिधिः)
-गणितसार संग्रह, क्षेत्र गणितव्यवहार, श्लोक 60
आर्यभटीय से तुल. - द्वाविंशतिघ्ने विहृतेऽथ शैलैः स्थूलोऽथवा स्याद्
व्यवहारयोग्यः।
-लीलावती, क्षेत्रव्यवहार, श्लोक 40, पृ. 276
भुज = आधार (base)
कर्णकृतेः कोटिकृतिं विशोध्य मूलं भुजः - ब्रा.स्फु.सि. 12.24
भुजकोट्योः कृतिहीनात् पृथक्-पृथक् कर्णवर्गंतो मूले।
कोटिभुजौ - त्रिशतिका सूत्र 51, पृ. 131
कोटिवर्गोनायाः कर्णकृतेर्मूलं भुजः। उसी श्लोक पर त्रिशतिका व्याख्या पृ.
132
कोटिश्रुतिकृत्योरन्तरात् पदं बाहुः - लीलावती, क्षेत्रव्यवहार, श्लोक 2, पृ.

त्रिशतिका 175
172
मध्यधन (Middle term)
आदियुतान्त्यधनार्धं मध्यधनम्- ब्रा.स्फु.सि. 12.16
अन्त्यं धनं तदादियुतम्। द्विविभक्तं मध्यधनम् - त्रिशतिका सूत्र 39, पृ.99
अन्त्यं धनं मुखयुग्दलितं तत्। मध्यधनम् - लीलावती, श्लोक 3, पृ. 151
वृत्त-क्षेत्रफल (area of the circle)
समपरिणाहस्यार्धं विष्कम्भार्धहतमेव वृत्तफलम्। -आर्यभटीय, गणितपाद 1.7
व्यासार्धवर्गवर्गात् क्षेत्रफलं दशगुणान् मूलम्। -त्रिशतिका सूत्र 45, पृ. 123
व्यासचतुर्भागगुणः परिधिः फलम्- गणितसार संग्रह, क्षेत्र गणित व्यवहार
श्लोक 60
वृत्तक्षेत्रे परिधि-गुणित-व्यासपादः फलं तत्। -लीलावती, क्षेत्रव्यवहार, श्लोक
41, पृ. 281
सर्वधन या गणित (sum of terms)
आद्यन्तं पदार्धहतम्- आर्यभटीय, गणितपाद, 1.7
मध्यधनं पदगुणं गणितम् - ब्रा.स्फु.सि. 12.17
मध्यधनं गच्छगुणं जायते गणितम्- त्रिशतिका सूत्र 39, पृ. 99
संकलित = 1 से क्रमिक संख्याओं का आपस में जोड़।
ब्रा.स्फु.सि. 12.1 में 20 परिकर्मों में से एक।
सैकपदाहतपददलमेकादिचयेन भवति संकलितम्। -त्रिशतिका सूत्र 1, पृ. 6
सैकपदघ्नपदार्धमथैकाद्यकंच्युतिः किल संकलिताख्या। -लीलावती, श्रेढी व्यवहार
श्लोक 1, पृ. 144
संकलित से पद या गच्छ-number of terms of an A.P.
--संकलितं वा तदष्टसंगुणितम्।
रूपयुतं तन्मूलं निरेकमर्धीकृतं गच्छः।- त्रिशतिका सूत्र 2, पृ. 7
1 से विषम संख्याओं का संकलित-
रूपादिद्विचयेपदसमासो वा- त्रिशतिका सूत्र 11, पृ. 17
एकादिद्विचयेच्छागच्छयुतिर्वा भवेद् वर्गः - गणितसार संग्रह, परिकर्मव्यवहार
29

176
परिशिष्ट नं. ३ : त्रिशतिका की तुलनीय गणितीय संक्रियाओं से प्राप्त सूत्र
यह सूची वर्णानुक्रम ने नहीं, अपितु विषयानुक्रम से है। सूत्रों के प्रमाण के लिये 'गणितीय संक्रियाओं' वाला परिशिष्ट नं. 2 देखा जावे। अंकगणित तथा बीजगणित से सम्बन्धित संक्रियाएँ-
त्रिशतिका
विषय | त्रिशतिका से प्राप्त स्पष्ट सूत्र | त्रिशतिका से प्राप्त ध्वनित सूत्र | भास्कराचार्य की लीलावती | आधुनिक गणित द्वारा विकसित सूत्र
1 से क्रमिक संख्याओं 1 + 2 + 3 --- अन्तिम पद (n) तक का संकलित या योग | s = n (n + 1) / 2 | s = n² + n / 2 | s = n(n + 1) / 2 | S = n/2 {2a + (n-1)d} इस सर्वधन के सामान्य सूत्र पर समीकरण नियम से प्राप्त सूत्र
1 से विषम संख्याओं अर्थात् 1 + 3 + 5-- अन्तिम पद (n) तक का संकलित या योग | विषम संख्याओं का योग या S = पदों की संख्या² या n² अथवा (अन्तिम विषम संख्या + 1 / 2)² | | |
1 + 2 + 3---अन्तिम पद (n) के संकलित से पदों की संख्या | n = (√(8S + 1) - 1) / 2 | | | 1+2+3--अन्तिम पद के संकलित के सूत्र को द्विघात समीकरणका रूप देकर उस सूत्र के सामान्य नियमों से सिद्ध।
गुणनफल (द्विपद का) | (a+b)²=a² 2ab+b² (त्रिशतिका सूत्र 10) | | स्पष्ट प्रोक्त |
गुणनफल (द्विपद का) | (a + b) (a-b) = a² - b² (त्रिशतिका सूत्र 11) | | स्पष्ट प्रोक्त |
गुणनफल (त्रिपद का) | (a + b+C)² = a² +2ab+b²+2ac+2bc+c² (त्रिशतिका सूत्र 10 तथा 12) | | स्पष्ट वर्णन |
घनफल (द्विपद का) | (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³ (त्रिशतिका सूत्र 14) | | |

त्रिशतिका 177

श्रेढी-व्यवहार (progression) से सम्बन्धित संक्रियाएँ

178
रेखा-गणित से सम्बन्धित संक्रियाएँ