त्रिशतिका: पाटीगणितसार (श्रीधराचार्य - पं. सुद्युम्नाचार्य सविस्तार हिन्दी व्याख्या)

170 त्रिशतिका
कोटिबाहुकृतियुतिपदं कर्णः। -ब्रा.स्फु.सि. 12.24
तत्कृत्योर्युतितो मूलं प्रजायते कर्णः - त्रिशतिका सूत्र 51, पृ. 131
भुजकोट्योः कृतियुतेर्मूलं कर्णः - उसी श्लोक पर त्रिशतिका व्याख्या
तत्कृत्योर्योगपदं कर्णः - लीलावती क्षेत्रव्यवहार श्लोक 2, पृ. 172
कोटि- (perpendicular side)
भुजस्य कृतिम्। प्रोह्य पदं कोटिः ..... ब्रा.स्फु.सि. 12.24
भुजकोट्योः कृतिहीनात् पृथक् पृथक् कर्णवर्गंतो मूले।
कोटिभुजौ---त्रिशतिका श्लोक 51, पृ. 131
भुजवर्गोनायाः कर्णकृतेर्मूलं कोटिः ---लीलावती, क्षेत्रव्यवहार श्लोक 2
गच्छ या पद (Number of terms)
गच्छोऽष्टोत्तरगुणितात् द्विगुणाद्युत्तरविशेषवर्गयुतात्।
मूलं द्विगुणाद्यूनं स्वोत्तरभाजितं सरूपार्धम्।। -आर्यभटीय, गणितपाद 1.20
उत्तरहीनद्विगुणादिशेषवर्ग धनोत्तराष्टवधे।
प्रक्षिप्य पदं शेषोनं द्विगुणोत्तरहृतं गच्छः।।-ब्रा.स्फु.सि. 12.18
संकलितं वा तदष्टसंगुणितम्। रूपयुतं तन्मूलं निरेकमर्धीकृतं गच्छः।।-त्रिशतिका
सूत्र 2, पृ. 7
अष्टोत्तरहतफलतो द्विगुणादि-प्रचयविवरकृतियुक्तात्।
मूलं द्विगुणमुखोनं सचयं द्विचयोद्धृतं गच्छः।-त्रिशतिका श्लोक 41, पृ. 107
श्रेढीफलादुत्तरलोचनघ्नाच्चयार्धवक्त्रान्तरवर्गयुक्तात्।
मूलं मुखोनं चयखण्डयुक्तं चयोद्धृतं गच्छमुदाहरन्ति।। -लीलावती, श्रेढ़ी
व्यवहार, श्लोक 5, पृ. 155
गुणनफल (द्विपद का)-
ध्वनित⇒ इष्टोनयुतवधो वा तदिष्टवर्गान्वितो वर्गः। त्रिशतिका श्लोक 11,
पृ. 17
स्पष्ट सूत्र ⇒ इष्टोनयुग्राशिवधः कृतिः स्यादिष्टस्य वर्गेण समन्वितो वा-
लीलावती, अभिन्न-परिकर्माष्टक, श्लोक 9, पृ. 22
अन्य गुणनफल का स्पष्ट सूत्र⇒ ---तयोर्योगान्तराहतिः। वर्गान्तरं भवेदेवं
ज्ञेयं सर्वत्र धीमता- लीलावती क्षेत्रव्यवहार, श्लोक 3, पृ. 100

त्रिशतिका 171
गोलपाषाण-फल- गोले का आयतन (volume of the sphere)
तन्निजमूलेन हतं घनगोलफलं निरवशेषम् -आर्यभटीय, गणितपाद, 1.7
गोलव्यासघनार्धं स्वाष्टादशभागसंयुक्तं गणितम्।
घनहस्ता नवगुणिताश्चतुर्विभक्ता करा दृषदः।। त्रिशतिका सूत्र 56, पृ. 145
---एवं तदपि च फलं पृष्ठजं व्यासनिघ्नम्।
षड्भिर्भक्तं भवति नियतं गोलगर्भे घनाख्यम्।।-लीलावती, क्षेत्रव्यवहार, श्लोक
41, पृ. 281
घन (एक पद का) (cube)---
सदृशत्रयसंवर्गो घनः- आर्यभटीय गणित पाद 1.3
स्थाप्योऽन्त्यघनोऽन्त्यस्य कृतिस्त्रिगुणोत्तरसंगुणा च तत्प्रथमात्।
उत्तरकृतिरन्त्यगुणा त्रिगुणा चोत्तरघनश्च घनः।-ब्रा.स्फु.सि.
सर्वथा तुल. ⇒ स्थाप्योऽन्त्यघनोऽन्त्यकृतिः स्थानाधिक्यं त्रिपूर्वगुणिता च।
आद्यकृतिरन्त्यगुणिता त्रिगुणिता च घनस्तथाद्यस्य- त्रिशतिका सू. 14, पृ. 21
स्थाप्यो घनोऽन्त्यस्य ततोऽन्त्यवर्गः---आदि- लीलावती, अभिन्नपरिकर्माष्टक
श्लोक 11
घन (द्विपद का) (b = 1 मानते हुए)-
खैकादिचयेनान्त्ये त्र्यादिहते वा युतिः सैकै- त्रिशतिका सूत्र 15, पृ. 21
त्रिशतिका से विकसित तुल. सूत्र-खण्डाभ्यां वा हतो राशिस्त्रिघ्नः
खण्डघनैक्ययुक्। -लीलावती, अभिन्नपरिकर्माष्टक श्लोक 13 पृ. 29
घनमूल- (Cube root)
अघनाद् भजेद् द्वितीयात् त्रिगुणेन घनस्य मूलवर्गेण।
वर्गस्त्रिपूर्वगुणितः शोध्यः प्रथमाद् घनश्च घनात्।। -आर्यभटीय, गणितपाद
1.5
तुल.--- त्रिशतिका सूत्र 16, 17 पृ. 24
---लीलावती अभिन्न परिकर्माष्टक श्लोक 15, पृ. 33
घनफल (volume)
I. समखात का घनफल = घन का आयतन (volume of the cube)
क्षेत्रफलं वेधगुणं समखातफलम् - ब्रा.स्फु.सि. 12.44

172 त्रिशतिका
समविस्तरहतदैर्घ्ये वेधेन समाहते फलं भवति।
खाते समभुजवेधे बाहुघनो जायते गणितम्। –त्रिशतिका सूत्र 53 पृ. 137
क्षेत्रफल वेधगुणं खाते घनहस्तसंख्या स्यात्--लीलावती, खातव्यवहार, श्लोक
2, पृ. 303
II. चिति का घनफल = घनाभ का आयतन (volume of the cuboid)
आकृतिफलमौच्च्याहतमग्रतलैक्यार्धमौच्च्यदैर्घ्यगुणम्।
घनगणितमिष्टकाघनफलेन हृतमिष्टकागणितम्।। -ब्रा.स्फु.सि. 12.47
चयने क्षेत्रस्य फलं समुच्छ्रयेणाहतं चितेर्भवति। --त्रिशतिका सूत्र 58, पृ.
148
उच्छ्रयेण गुणितं चितेः किल क्षेत्रसम्भवफलं घनं भवेत्। -लीलावती,
चितिव्यवहार, श्लोक 1, पृ. 310
III. वृत्त का घन गणित = समवृत्तीय बेलन का आयतन (volume of
right circular cylinder)
प्राग्वत् क्षेत्रस्य फलं वृत्तत्र्यस्रादिदृषदि पिण्डघ्नम्।
घनगणितमतो दृषदः फलं भवेत् पूर्वकरणेन- त्रिशतिका सूत्र 57, पृ. 147
तथा-प्राग्वत् क्षेत्रस्य फलं चतुरस्रत्र्यस्रचापवृत्तेषु।
तुल्योदयेन गुणितं संख्यानं भवति धान्यस्य- त्रिशतिका सूत्र 63, पृ. 155
क्षेत्रफल सममेवं वेधहतं घनफलं स्पष्टम्--लीलावती, खातव्यवहार, श्लोक
3, पृ. 304
IV. कूप का फल = असमत खात वृत्त या अपूर्ण शंकु तथा अपूर्ण घनाभ
का घनफल या आयतन (volume of frustrum of the cone and pyramid)
मुखतलयुतिदलगणितं वेधफलं व्यावहारिकं गणितम्।
मुखतलगणितैक्यार्धं वेधगुणं स्याद् गणितमौत्रम्।। ब्रा.स्फु.सि. 12.45
मुखतलतद्योगानां वर्गैक्यकृतेः पदं दशगुणायाः।
वेधगुणं चतुरन्वितविंशतिभक्तं फलं कूपे- त्रिशतिका सूत्र 54, पृ. 140
मुखजतलजतद्युतिजक्षेत्रफलैक्यं हतं षड्भिः।
क्षेत्रफल सममेवं वेधहतं घनफलं स्पष्टम्- लीलावती, खातव्यवहार, श्लोक
2 पृ. 304
V. धान्यराशि का घनहस्त = सूचीखात का घनफल या शंकु का आयतन

त्रिशतिका 173
(volume of right circular cone)
क्षेत्रफलं वेधगुणं समखातं फलं त्रिभिः सूच्याः।-ब्रा.स्फु.सि. 12.44
समभुवि विकीर्णराशेः परिधिषडंशस्य यो भवेद् वर्गः।
सोऽभ्युदयहतो गणितं घनहस्तेऽवस्थितिः खार्याः।- त्रिशतिका सूत्र 61, पृ.
153
त्रिशतिका से तुल.-भवति परिधिषष्ठे वर्गिते वेधनिघ्ने घनगणितकराः
स्युर्मागधास्ताश्च खार्यः - लीलावती, राशिव्यवहार श्लोक 15, पृ. 314
ब्रा.स्फु.सि. से तुल.⇒ समखातफलत्र्यंशः सूचीखाते फलं भवति। -लीलावती,
खातव्यवहार, श्लोक 3, पृ. 305
चतुरस्र = I. वर्ग या आयत का क्षेत्रफल (area of the square or
rectangle)
वर्गः समचतुरस्रः फलं च सदृशद्वयस्य संवर्गः- आर्यभटीय गणितपाद 1.3
समचतुरस्रायतयोर्भुजकोटिहतिः प्रजायते गणितम् -त्रिशतिका सूत्र 42, पृ.
110
समश्रुतौ तुल्यचतुर्भुजे च तथाऽऽयते तद्भुजकोटिघातः। -लीलावती, क्षेत्रव्यवहार
श्लोक 23, पृ. 255
II. समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल (Area of a trapezium)
आयामगुणे पार्श्वे तद्योगहृते स्वपातरेखे ते। विस्तरयोगार्धगुणे ज्ञेयं क्षेत्रफलमायामे।
-आर्यभटीय, गणितपाद, श्लोक 8
चतुरस्रेष्वन्येषु च लम्बगुणं कुमुखयोगार्धम्। -त्रिशतिका श्लोक 42, पृ. 111
चतुर्भुजेऽन्यत्र समानलम्बे लम्बेन निघ्नं कुमुखैक्यखण्डम्। -लीलावती, क्षेत्र-
व्यवहार, श्लोक 23, पृ. 225
चय, प्रचय या उत्तर (Common difference)
पदहतफलं मुखोनं निरेकपददलहतं प्रचयः। -त्रिशतिका सूत्र 40, पृ. 105
द्विहतं संकलितधनं गच्छहतं द्विगुणितादिना रहितम्
विगतैकपदविभक्तं प्रचयस्स्यादिति विजानीहि।।
-गणितसारसंग्रह-परिकर्म श्लोक 2, पृ. 75
गच्छहृतं धनमादिविहीनं व्येकपदार्धहृतं च चयः स्यात्। -लीलावती, श्रेढी
व्यवहार, श्लोक 4, पृ. 153

174 त्रिशतिका
त्र्यस्त्र-फल = त्रिभुज-क्षेत्रफल
त्रिभुजस्य फलं शरीरं समदलकोटी भुजार्धसंवर्गः-आर्यभटीय, गणितपाद 1.6
(i) चतुरस्रे त्र्यस्रे वा क्षेत्रे कुदलं च लम्बहतम्-त्रिशतिका सूत्र 43, पृ. 115
(ii) भुजयुतिदलं चतुर्धा भुजहीनं तद् वधात् पदं गणितम्-त्रिशतिका सूत्र 43,
पृ. 115
I से तुल. लम्बगुणं भूम्यर्ध स्पष्टं त्रिभुजे फलं भवति-लीलावती, क्षेत्र
व्यवहार, श्लोक 18
(ii) से तुल. ⇒ सर्वदोर्युतिदलं चतुःस्थितं बाहुभिर्विरहितं च तद्वधात्।
मूलमस्फुटफलं चतुर्भुजे स्पष्टमेवमुदितं त्रिबाहुके।। -लीलावती, क्षेत्रव्यवहार,
श्लोक 19, पृ. 217
परिधि = वृत्त-परिणाह (आर्यभटीय) (circumference)
परिधान भी- त्रिशतिका उदा. 102, पृ. 154
चतुरधिकं शतमष्टगुणं द्वाषष्टिस्तथा सहस्राणाम्।
अयुतद्वय-विष्कम्भस्यासन्नो वृत्त-परिणाहः।।-आर्यभटीय, गणितपाद श्लोक
1.10
वृत्तव्यासस्य कृतेर्मूलं परिधिर्भवति दशगुणायाः। -त्रिशतिका सूत्र 45, पृ.
123
त्रिशतिका से तुल. - वृत्तक्षेत्रव्यासो दशपदगुणितो भवेत् परिक्षेपः (परिधिः)
-गणितसार संग्रह, क्षेत्र गणितव्यवहार, श्लोक 60
आर्यभटीय से तुल. - द्वाविंशतिघ्ने विहृतेऽथ शैलैः स्थूलोऽथवा स्याद्
व्यवहारयोग्यः।
-लीलावती, क्षेत्रव्यवहार, श्लोक 40, पृ. 276
भुज = आधार (base)
कर्णकृतेः कोटिकृतिं विशोध्य मूलं भुजः - ब्रा.स्फु.सि. 12.24
भुजकोट्योः कृतिहीनात् पृथक्-पृथक् कर्णवर्गंतो मूले।
कोटिभुजौ - त्रिशतिका सूत्र 51, पृ. 131
कोटिवर्गोनायाः कर्णकृतेर्मूलं भुजः। उसी श्लोक पर त्रिशतिका व्याख्या पृ.
132
कोटिश्रुतिकृत्योरन्तरात् पदं बाहुः - लीलावती, क्षेत्रव्यवहार, श्लोक 2, पृ.

त्रिशतिका 175
172
मध्यधन (Middle term)
आदियुतान्त्यधनार्धं मध्यधनम्- ब्रा.स्फु.सि. 12.16
अन्त्यं धनं तदादियुतम्। द्विविभक्तं मध्यधनम् - त्रिशतिका सूत्र 39, पृ.99
अन्त्यं धनं मुखयुग्दलितं तत्। मध्यधनम् - लीलावती, श्लोक 3, पृ. 151
वृत्त-क्षेत्रफल (area of the circle)
समपरिणाहस्यार्धं विष्कम्भार्धहतमेव वृत्तफलम्। -आर्यभटीय, गणितपाद 1.7
व्यासार्धवर्गवर्गात् क्षेत्रफलं दशगुणान् मूलम्। -त्रिशतिका सूत्र 45, पृ. 123
व्यासचतुर्भागगुणः परिधिः फलम्- गणितसार संग्रह, क्षेत्र गणित व्यवहार
श्लोक 60
वृत्तक्षेत्रे परिधि-गुणित-व्यासपादः फलं तत्। -लीलावती, क्षेत्रव्यवहार, श्लोक
41, पृ. 281
सर्वधन या गणित (sum of terms)
आद्यन्तं पदार्धहतम्- आर्यभटीय, गणितपाद, 1.7
मध्यधनं पदगुणं गणितम् - ब्रा.स्फु.सि. 12.17
मध्यधनं गच्छगुणं जायते गणितम्- त्रिशतिका सूत्र 39, पृ. 99
संकलित = 1 से क्रमिक संख्याओं का आपस में जोड़।
ब्रा.स्फु.सि. 12.1 में 20 परिकर्मों में से एक।
सैकपदाहतपददलमेकादिचयेन भवति संकलितम्। -त्रिशतिका सूत्र 1, पृ. 6
सैकपदघ्नपदार्धमथैकाद्यकंच्युतिः किल संकलिताख्या। -लीलावती, श्रेढी व्यवहार
श्लोक 1, पृ. 144
संकलित से पद या गच्छ-number of terms of an A.P.
--संकलितं वा तदष्टसंगुणितम्।
रूपयुतं तन्मूलं निरेकमर्धीकृतं गच्छः।- त्रिशतिका सूत्र 2, पृ. 7
1 से विषम संख्याओं का संकलित-
रूपादिद्विचयेपदसमासो वा- त्रिशतिका सूत्र 11, पृ. 17
एकादिद्विचयेच्छागच्छयुतिर्वा भवेद् वर्गः - गणितसार संग्रह, परिकर्मव्यवहार
29

176
परिशिष्ट नं. ३ : त्रिशतिका की तुलनीय गणितीय संक्रियाओं से प्राप्त सूत्र
यह सूची वर्णानुक्रम ने नहीं, अपितु विषयानुक्रम से है। सूत्रों के प्रमाण के लिये 'गणितीय संक्रियाओं' वाला परिशिष्ट नं. 2 देखा जावे। अंकगणित तथा बीजगणित से सम्बन्धित संक्रियाएँ-
त्रिशतिका
विषय | त्रिशतिका से प्राप्त स्पष्ट सूत्र | त्रिशतिका से प्राप्त ध्वनित सूत्र | भास्कराचार्य की लीलावती | आधुनिक गणित द्वारा विकसित सूत्र
1 से क्रमिक संख्याओं 1 + 2 + 3 --- अन्तिम पद (n) तक का संकलित या योग | s = n (n + 1) / 2 | s = n² + n / 2 | s = n(n + 1) / 2 | S = n/2 {2a + (n-1)d} इस सर्वधन के सामान्य सूत्र पर समीकरण नियम से प्राप्त सूत्र
1 से विषम संख्याओं अर्थात् 1 + 3 + 5-- अन्तिम पद (n) तक का संकलित या योग | विषम संख्याओं का योग या S = पदों की संख्या² या n² अथवा (अन्तिम विषम संख्या + 1 / 2)² | | |
1 + 2 + 3---अन्तिम पद (n) के संकलित से पदों की संख्या | n = (√(8S + 1) - 1) / 2 | | | 1+2+3--अन्तिम पद के संकलित के सूत्र को द्विघात समीकरणका रूप देकर उस सूत्र के सामान्य नियमों से सिद्ध।
गुणनफल (द्विपद का) | (a+b)²=a² 2ab+b² (त्रिशतिका सूत्र 10) | | स्पष्ट प्रोक्त |
गुणनफल (द्विपद का) | (a + b) (a-b) = a² - b² (त्रिशतिका सूत्र 11) | | स्पष्ट प्रोक्त |
गुणनफल (त्रिपद का) | (a + b+C)² = a² +2ab+b²+2ac+2bc+c² (त्रिशतिका सूत्र 10 तथा 12) | | स्पष्ट वर्णन |
घनफल (द्विपद का) | (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³ (त्रिशतिका सूत्र 14) | | |

त्रिशतिका 177

श्रेढी-व्यवहार (progression) से सम्बन्धित संक्रियाएँ

178
रेखा-गणित से सम्बन्धित संक्रियाएँ

त्रिशतिका 179
शीर्षक एवं स्तम्भ विवरण:
रेखागणितीय आकृतियाँ | आर्यभट का आर्यभटीय | ब्रह्मगुप्त का ब्राह्मस्फुटसिद्धान्त | त्रिशतिका के स्पष्ट सूत्र | त्रिशतिका से ध्वनित सूत्र | भास्कराचार्य की लीलावती | आधुनिक गणित के लिये समकक्ष सूत्र
१. परिधि
• रेखागणितीय आकृतियाँ: परिधि
• आर्यभट का आर्यभटीय:
(६२८३२ / २००००) × व्यास
अर्थात्
३.१४१६ × व्यास
(आ.भ. १.१०)
• ब्रह्मगुप्त का ब्राह्मस्फुटसिद्धान्त: —
• त्रिशतिका के स्पष्ट सूत्र:
√(१० × व्यास²)
(त्रिशतिका श्लोक ४५)
• त्रिशतिका से ध्वनित सूत्र:
√१० × व्यास
• भास्कराचार्य की लीलावती:
(३९२७ / १२५०) × व्यास
अर्थात्
३.१४१६ × व्यास
अथवा २२/७ × व्यास
लीलावती क्षे.व्य.श्लो.४०
• आधुनिक गणित के लिये समकक्ष सूत्र:
π × व्यास
२. वृत्त का क्षेत्रफल
• रेखागणितीय आकृतियाँ: वृत्त का क्षेत्रफल
• आर्यभट का आर्यभटीय:
(परिधि / २) × (व्यास / २)
(आ.भ. १.७)
• ब्रह्मगुप्त का ब्राह्मस्फुटसिद्धान्त: —
• त्रिशतिका के स्पष्ट सूत्र:
√[ १० × (व्यास / २)⁴ ]
(त्रिशतिका श्लोक ४५)
• त्रिशतिका से ध्वनित सूत्र:
(√१० × व्यास × व्यास) / ४
या (परिधि × व्यास) / ४
• भास्कराचार्य की लीलावती:
(परिधि × व्यास) / ४
अथवा—
(३९२७ × व्यास²) / ५०००
या [(११ / १४) × व्यास²] / ४
(स्थूलफल)
लीलावती क्षे.व्य.श्लो.४२
• आधुनिक गणित के लिये समकक्ष सूत्र:
या
π × त्रिज्या²
३. वृत्त-खण्ड का क्षेत्रफल
• रेखागणितीय आकृतियाँ: वृत्त-खण्ड का क्षेत्रफल
• आर्यभट का आर्यभटीय: —
• ब्रह्मगुप्त का ब्राह्मस्फुटसिद्धान्त: —
• त्रिशतिका के स्पष्ट सूत्र:
√[ (१० / ९) × { शर × (जीवा + शर) / २ }² ]
त्रिशतिका श्लोक ४७
• त्रिशतिका से ध्वनित सूत्र:
[ (√१० × शर) / ३ ] × [ (जीवा + शर) / २ ]
• भास्कराचार्य की लीलावती: —
• आधुनिक गणित के लिये समकक्ष सूत्र: —
४. समखात का घनफल या घन का आयतन
• रेखागणितीय आकृतियाँ:
समखात का घनफल
या घन का आयतन
• आर्यभट का आर्यभटीय: —
• ब्रह्मगुप्त का ब्राह्मस्फुटसिद्धान्त:
क्षेत्रफल × गहराई
(ब्रा.स्फु.सि. १२.४४)
• त्रिशतिका के स्पष्ट सूत्र:
लम्बाई × चौड़ाई × गहराई
त्रिशतिका श्लोक ५३
• त्रिशतिका से ध्वनित सूत्र: —
• भास्कराचार्य की लीलावती:
क्षेत्रफल × गहराई
लीलावती खात व्य.श्लो. १
• आधुनिक गणित के लिये समकक्ष सूत्र: —

× 3.166... त्रिज्या³! Exactly 4/3 × 3.16 त्रिज्या³!)

• भास्कराचार्य की लीलावती: (blank)
• आधुनिक गणित के लिये समकक्ष सूत्र: 4/3 π त्रिज्या³

Row 4: सूचीखात का घनफल या शंकु का आयतन
Columns:

• रेखागणितीय आकृतियाँ: सूचीखात का घनफल या शंकु का आयतन
• आर्यभट का आर्यभटीय: (blank)
• ब्रह्मगुप्त का ब्राह्मस्फुटसिद्धान्त:
  1/3 वृत्त का क्षेत्रफल × ऊँचाई
  (ब्रा.स्फु.सि. 12.44)
• त्रिशतिका के स्पष्ट सूत्र:
  ( परिधि / 6 )² × ऊँचाई
• त्रिशतिका से ध्वनित सूत्र:
  1/3 × वृत्त का क्षेत्रफल × ऊँचाई
• भास्कराचार्य की लीलावती:
  1/3 × समवृत्तीय बेलन का आयतन
• आधुनिक गणित के लिये समकक्ष सूत्र: (blank)

Row 5: असमखात वृत्त या अपूर्ण शंकु का घनफल या आयतन
Columns:

• रेखागणितीय आकृतियाँ: असमखात वृत्त या अपूर्ण शंकु का घनफल या आयतन
• आर्यभट का आर्यभटीय: (blank)
• ब्रह्मगुप्त का ब्राह्मस्फुटसिद्धान्त: (blank)
• त्रिशतिका के स्पष्ट सूत्र: