बीजगणितम् (भास्कराचार्य द्वितीय - प्राचीन भारतीय समीकरण एवं बीजगणित सूत्र सटीक)

चक्रवालम् । ४१
अखिले कृतिमूलाभ्यां द्विधा रूपं विभाजितम् ॥ ५ ॥
द्विधा ह्रस्वपदं ज्येष्ठं ततो रूपविशोधने ।
पूर्ववद्वा प्रसाध्येते पदे रूपविशोधने ॥ ६ ॥
उदाहरणम्—
त्रयोदशगुणो वर्गो निरेकः कः कृतिर्भवेत् ।
को वाऽष्टगुणितो वर्गो निरेको मूलदो वद ॥ २ ॥
अत्र प्रकृतिर्द्विकत्रिकयोर्वर्गयोर्योगः १३ । अतो द्विकेन रूपं हृतं रूप-
शुद्धौ कनिष्ठं पदं १/२ स्यात् । अस्य वर्गात् प्रकृतिगुणादेकोनान्मूलं
ज्येष्ठम् ३/२ । अथवा त्रिकेन रूपं हृतं कनिष्ठं १/३ स्यात् । अतो ज्येष्ठम् २/३ ।
अथवा कनिष्ठम् १ । अस्य वर्गात् प्रकृतिगुणाच्चतुरूनान्मूलं ज्येष्ठम् ३ ।
क्रमेण न्यासः क १ ज्ये ३ क्षे ४ । इष्टवर्गहृतः क्षेप इत्यादिना जाते
रूपशुद्धौ पदे क १/२ ज्ये, ३/२ । अथवा प्रकृतेर्नव व्यस्त

४२ बीजगणिते
गुणे पञ्चसप्ततिमिते क्षेपे ५, १५। दशगुणे जाते त्रिशतीक्षेपे १०, ३०।
अथेच्छायानीतपदयोः रूपक्षेपपदानयनदर्शने सूत्रं सार्धवृत्तम्।
स्वबुद्ध्यैव पदे ज्ञेये बहुक्षेपविशोधने ।
तयोर्भावनयाऽऽनन्त्यं रूपक्षेपपदोत्थया * ॥
वर्गाच्छिन्ने गुणे ह्रस्वं तत्पदेन विभाजयेत् ॥ ७ ॥
उदाहरणम् ।
द्वात्रिंशद्गुणितो वर्गः कः सैको मूलदो वद ।
न्यासः प्र ३२ । अतः प्राग्वत् कनिष्ठज्येष्ठे १, ३ ।
अथ वा "वर्गाच्छिन्ने गुणे ह्रस्वं तत्पदेन विभाजयेत्' इति
प्रकृतिः ३२ । चतुश्छिन्ना लब्धम् ८। अस्यां प्रकृतौ कनिष्ठज्येष्ठे १,
३ । येन वर्गेण ४ प्रकृतिश्छिन्ना तस्य पदेन २ कनिष्ठे भक्ते जाते ते
एव पदे क १/२ ज्ये ३ ।
अथ वर्गरूपायां प्रकृतौ भावनाव्यतिरेकेणानेकपदानयने करण-
सूत्रं वृत्तम् ।
( १ ) इष्टभक्तो द्विधा क्षेप इष्टोनाढ्यो दलीकृतः ।
गुणमूलहृतश्चाद्यो ह्रस्वज्येष्ठे क्रमात् पदे ॥ ८ ॥
उदाहरणम् ।
का कृतिर्नवभिः क्षुण्णा द्विपञ्चाशद्युता कृतिः
को वा चतुर्गुणो वर्गस्त्र्यधिकत्रिंशयुतः कृतिः ॥ ४ ॥

• वि०- कल्पते यस्मिन्प्रति क्षेपे प्रकृतौ कनिष्ठं क, ज्येष्ठं ज्ये तदा
  प्र . क² + क्षे = ज्ये²
  या, गु² . प्र क² / गु² + क्षे = ज्ये²
  या, गु² . प्र ( क / गु )² + क्षे = ज्ये²
  अत्र यदि गु² . प्र इयमन्या प्रकृतिस्तदा तत्सम्बन्धि कनिष्ठं क / गु स्यादित्युपपन्नं
  वर्गाच्छिन्ने गुणे ह्रस्वमित्यादि ।
  • ( १ ) वर्गान्तरं योगान्तरापगममित्यादिना क्षेपं वर्गान्तरमितं इष्टमन्तरं च प्रक-
  ल्प्य कर्मणा सूत्रेण इष्टेनेति ।

एकवर्णसमीकरणम् । ४३
अत्र प्रथमोदाहरणे क्षेपः ५२ । द्विकेनेष्टेन हृतो द्विष्टः । इष्टोनाढ्यो
दलीकृतो जातः १२, १४ । अनयोराद्यः प्रकृतिमूलेन भक्तो जाते ह्रस्व-
ज्येष्ठे ४, १४ । अथ वा क्षेपं ५२ चतुर्भिर्विभज्य एवं जाते ह्रस्व-
ज्येष्ठे ३/२, १७/२ ।
द्वितीयोदाहरणे क्षेपम् ३३ एकेनेष्टेन विभज्यैवं जाते ह्रस्वज्येष्ठे ८,
१७ । त्रिभिर्जाते २, ७ ।
अथ वा प्रकृतिसमक्षेपे उदाहरणम् ।
त्रयोदशगुणो वर्गस्त्रयोदशविवर्जितः ।
त्रयोदशयुतो वा स्याद्वर्ग एव निगद्यताम् ॥ ५ ॥
प्रथमोदाहरणे प्रकृतिः १३ । जाते कनिष्ठज्येष्ठे १, ० । अत्रेष्टवर्ग-
प्रकृत्योर्यद्विवरम्” इत्यादिना रूपक्षेपमूले ३/२, ११/२ । आभ्यां भावनया
त्रयोदशर्णक्षेपमूले ११/२, ३९/२

is under the top bar with 'े'.
Before 'दे', there is 'त' or 'स'?
Let's look at the letters:

• First glyph: 'ब्ध'
• Second glyph: 'ते' (त with stroke on top)
• Third glyph: 'त'
• Fourth glyph: 'दे'
  Wait, does that say "ब्धते तदेकस्य"?
  Or does it say "ब्धं तदेकस्याव्यक्तस्य"?
  Wait, look closely:
  Glyph 1: ब्ध
  Glyph 2: त (with e-matra? Yes, 'ते')
  Glyph 3: wait, is glyph 3 'त'?
  Wait, compare glyph 2 and glyph 3 with 'ते' in 'जायते' (later in the same line).
  In 'जायते': 'जा' 'य' 'ते' ।
  The 'ते' has a loop-less 'त' with 'े'.
  Now look at the start of L19:
  Glyph 1: ब्ध
  Glyph 2: it is 'त' with 'े' = 'ते'.
  Glyph 3: wait, is that a 'त' or 'प'?
  Wait, could it be "ब्धं"? Where is 'तदेकस्य'?
  Wait, let's read the whole line:
  "ब्धते तदेकस्याव्यक्तस्य मानं व्यक्तं जायते । तेन कल्पितोऽ

एकवर्णसमीकरणम् । ४५
अत्राश्वमौल्यमज्ञातं तस्य मानं यावत्तावदेकं प्रकल्पितम् या १ ।
तत्र त्रैराशिकं यद्येकस्य यावत्तावन्मूल्यं तदा षण्णां किमिति फल-
मिच्छागुणं प्रमाणभक्तं लब्धं षण्णामश्वानां मूल्यम् । या ६ । अत्र
रूपशतत्रये प्रक्षिप्ते जातमाद्यस्य धनम् या ६ रु ३००। एवं दशानां मौ-
ल्यम् या १०। अत्र रूपशते ऋणंगते प्रक्षिप्ते जातं द्वितीयस्य धनम्
या १० रु १००।
एतौ समधनाविति पक्षौ स्वत एव समौ जातौ समशोधनार्थे
न्यासः—*या ६ रु ३०० ।
या १० रु १०० ।
अथ एकाव्यक्तं शोधयेदन्यपक्षादिति आद्यपक्षाद्व्यक्तेऽन्यपक्षा-
द्व्यक्ताच्छोधिते शेषम् या ४ । द्वितीयपक्षरूपेषु आद्यपक्षरूपेभ्यः शोधि-
तेषु शेषम् रु ४०० । अव्यक्तराशिशेषेण या ४ रूपशेषे रु ४०० उद्धृते
लब्धमेकस्य यावत्तावतो मानं व्यक्तम् १००। यद्येकाश्वस्येदं मौल्यं
तदा षण्णां किमिति त्रैराशिकेन लब्धं षण्णां मौल्यं ६०० रूपशतत्रय-
युतं ९०० जातमाद्यस्य धनम् । एवं द्वितीयस्यापि ९०० ।
अथ द्वितीयोदाहरणे प्रथमद्वितीययोस्ते एव धने
या ६ रु ३०० ।
या १० रु १०० ।
अत्राद्यपक्षधनाद्धेन द्वियुकेन तुल्यमन्यस्य धनमुदाहृतमत आ-
द्यधनार्धे द्वियुते अथवाऽन्यधने द्विहीने द्विगुणे कृते पक्षौ समौ भवत-
स्तथा कृते शोधनार्थे
न्यासः—या ३ रु १५२ । } अथवा { या ६ रु ३०० ।
या १० रु १०० । } { या २० रु २०४ ।
उभयोरपि शोधनार्थे कृते लब्धं यावत्तावन्मानम् ३६ । अनेन
पूर्ववदुत्थापने कृते जाते धने ५१६, २६० ।
अथ तृतीयोदाहरणे ते एव धने । अत्राद्यधनत्र्यंशः परधनमिति
परं त्रिगुणीकृत्य

• वि० टी०—संप्रति ६या + ३०० = १०या - १०० ∴ ४०० = ४या
  ∴ या = १०० एवं समीकरणानि सर्वत्र भिद्यंते ।

४६ बीजगणिते
न्यासः । या ६ रु ३०० ।
या ३० रु ३००̇ ।
समक्रियया लब्धं यावत्तावन्मानम् २५ । अनेनोत्थापिते जाते
धने ४५०, १५० ।
उदाहरणम्
माणिक्यामलमनीलमौक्तिकमितिः पञ्चाष्टसप्तक्रमा-
देकस्यान्यतरस्य सप्त नव षट् तद्रत्नसंख्या सखे ।
रूपाणां नवतिर्द्विषष्टिरनयोस्तौ तुल्यवित्तौ तथा
धीमन् प्रतिरत्नजानि सुमते मूल्यानि शीघ्रं वद ॥ ३ ॥
अत्राव्यक्तानां बहुत्वे कल्पितानि माणिक्यादीनां मूल्यानि
या(१) ३, या २, या १ । यदि एकस्य रत्नस्य इदं मूल्यं तदोद्दिष्टानां
किमिति लब्धानां यावत्तावतां योगे स्वस्वरूपयुते जातौ पक्षौ
या १५, या १६, या ७ रु ९० ।
या २१, या १८, या ६ रु ६२ ।
एते अनयोर्धने इति समशोधने कृते लब्धं यावत्तावन्मानम् ४ ।
अनेनोत्थापितानि माणिक्यादीनां मूल्यानि १२, ८, ४ । एवं समं
धनम् २५२ । अथ वा माणिक्यमानं यावत्तावन्नीलमुक्ताफलयोर्मूल्ये
व्यक्ते एव कल्पिते ५, ३ । अतः समीकरणेन लब्धं यावत्तावन्मानम्
१३ । अनेनोत्थापिते जातं समधनम् २१६। एवं कल्पनावशादनेकधा ।
उदाहरणम् ।
एको ब्रवीति मम देहि शतं धनेन
त्वत्तो भवामि हि सखे द्विगुणस्ततोऽन्यः ।
ब्रूते दशार्पयसि चेन्मम षड्गुणोऽहं
त्वत्तस्तयोर्वद धने मम किंप्रमाणे ॥ ४ ॥
( १ ) वि० टी०—"अव्यक्तानां द्व्यादिकानामपीह यावत्तावद्द्व्यादिनिघ्नं हतं
वा" इत्यतः ३या, २या, या एव मानं माणिक्यादीनां तदैव भवितुमर्हति यदि
मौक्तिकमूल्यान्नीलमूल्यं द्विगुणं माणिक्यमूल्यं त्रिगुणमन्यथैकवर्णसमीकृतिर्विधि-
रिति स्पष्टम् ।

))
What if it is:
पृ (v) थक् (-) पृ (v) थक् (-) -> wait!
In पृथक्पृथक्:
हि (4, v)
पृ (5, v)
थक् (6, -)
पृ (7, v)
थग् (8, -)
Wait! 4, 5, 6, 7, 8:
हि (v) पृ (v) थक् (-) पृ (v) थग् (-)
This is: v v - v - !
Then syllables 9, 10, 11 must be: v v v!
And 12 must be: - !
What is 9, 10, 11, 12?
"यदि गणिते":
य (9, v)
दि (10, v)
ग (11, v)
णि (12)? No, ते (13)!
Wait:
य (v) दि (v) ग (v) णि (v)? But 12 must be long (-)!
So "यदि गणिते" has णि (short), that wouldn't make 12 long!
Wait, what word is in the image?
Look at line 14:
"मौल्यं ब्रूहि पृथक्पृथग्दीह गणिते कल्याऽसि कल्याणिनि ॥ ५ ॥"
Wait, look at "दीह":
Is it "दीह" or "

४८ बीजगणिते.
उदाहरणम् ।
पञ्चांशोऽलिकुलात् कदम्बमगमत् त्र्यंशः शिलीन्ध्रं तयो-
र्विश्लेषस्त्रिगुणो मृगाक्षि कुटजं डोलायमानोऽपरः ।
कान्ते केतकमालतीपरिमलप्राप्तैककालप्रिया-
दूताहूत इतस्ततो भ्रमति खे भृङ्गोऽलिसंख्यां वद ॥ ६ ॥
अत्रालिकुलप्रमाणं यावत्तावत् १ । अतः कदम्बादिगतालिप्रमाणं
यावत्तावत् १४/१५ । एतदृष्टेन भ्रमरेण युतमलिप्रमाणमिति
न्यासः—या १४/१५ रू १ ।
या १ रू ० ।
एतौ समच्छेदीकृत्य छेदगमे पूर्ववल्लब्धं यावत्तावन्मानम् १५ ।
एतदलिप्रमाणम् ।
अथान्यमेकमप्युदाहरणं क्रियालाघवार्थं प्रदर्श्यते ।
पञ्चकशताद्दत्तधनात् फलस्य वर्गं विशोध्य परिशिष्टम् ।
दत्तं दशकश

एकवर्णसमीकरणम् । ४९
(१) अथ वा प्रथमप्रमाणफलेन द्वितीयप्रमाणफले विभक्ते यल्ल-
भ्यते तद्गुणगुणितेन द्वितीयमूलधनेन तुल्यमेव प्रथममूलधनं स्यात्
कथमन्यथा समे काले समं फलं स्यात् । अतो द्वितीयस्यायं गुणः २ ।
एकगुणं द्वितीयमूलधनमेकोनगुणगुणितं फलवर्गे वर्त्ततेऽत एकोन
गुणेन इष्टकल्पितफलान्तरस्य वर्गे भक्ते द्वितीयमूलधनं स्यात् । तत्
फलवर्गयुतं प्रथममूलधनं स्यात् । अत्र कल्पितफलवर्गः ४ । अतः
प्रथमद्वितीयमूलधने ८, ४ । फलम् २ । यदि शतस्य पञ्च फलान्तरं
तदाऽष्टानां किमिति लब्धमेकमासेऽष्टानां फलम् २/५ । यद्यनेनैको मास-
स्तदा द्विकेन किमिति लब्धा मासाः ५ ।
उदाहरणम् ।
एककशताद्दत्तधनात् फलस्य वर्गं विशोध्य परिशिष्टम् ।
पञ्चकशतेन दत्तं तुल्यः कालः फलं च तयोः ॥ ८ ॥
अत्र गुणकः ५ । एकोनेगुणेन ४ इष्टफलस्यास्य वर्गे १६ भक्ते
जातं द्वितीयधनम् ४ । इदं फलवर्गयुतं जातं प्रथमधनम् २०
अतोऽनुपातद्वयेन कालः २० ।
एवं स्वबुद्ध्यैवेदं सिद्ध्यति

५० बीजगणिते
या, अन्योन्यमेकैकं रत्नं दत्त्वा समधना जातास्तेषां मानानि,
मा ५ नी १ मु १ घ १ ।
मा १ नी ७ मु १ घ १ ।
मा १ नी १ मु ९७ घ १ ।
मा १ नी १ मु १ घ २ ।
"समानां (१) समक्षेपे समशुद्धौ समतैव स्यात्" इति एकैकं माणि-
क्यादिरत्नं पृथक् पृथगेभ्यो विशोध्य शेषाणि समान्येवं जातानि
मा ४, नी ६, मु ९६, घ १ ।
यद्येकस्य वज्रस्य मूल्यं तदेव माणिक्यचतुष्टयस्य नीलषट्कस्य
तदेव मुक्ताफलानां षण्णवतेरत ९६ समधनं प्रकल्प्य पृथगेभिः
शेषैर्विभज्य मौल्यानि लभ्यन्ते तथा फलितेनेन ९६ जातानि मौल्यानि
माणिक्यादीनाम् २४, १६, १, ९६ ।
उदाहरणम् ।
पञ्चकशतेन दत्तं मूलं सफलान्तरं गते वर्षे ।
[L16

५२ बीजगणिते
उदाहरणम् ।
स्वार्धपञ्चांशनवमैर्युक्ताः के स्युः समाराशयः ।
अन्यांशद्वयहीनाश्च षष्टिशेषांश्च तान् वद ॥ १४ ॥
अत्र समराशिमानं यावत्तावत् १ । अतो विलोमविधिना "अथ
स्वांशाधिकोन" इत्यादिना राशयः या २/३, या ५/६, या ९/१० । इहा-
न्यान्भागद्वयेनोनाः सर्वेऽप्येवं शेषाः स्युः या २/५ । एतत् षष्टिसमं
कृत्वाऽऽपन्नायावत्तावन्मानेन १५० उत्थापिता जाता राशयः १००,
१२५, १३५ ।
उदाहरणम् ।
त्रयोदश तथा पञ्च करण्यो भुजयोर्मिती ।
भूरज्ञाता च चत्वारः फले भूमिं वदाशु मे ॥ १५ ॥
(१) अथ भूमेर्यावत्तावत्कल्पने क्रिया प्रसरतीति स्वेच्छया इय-
ती क १३ भूमिः कल्प्यते फलविशेषाभावात् । अतोऽद्य कल्पित

एकवर्णसमीकरणम् । ५३
यावव १ याव ३६ रु ६४
—————————————— अयं भूम्यर्धवर्गगुणो जातः फलवर्गः
याव ४
यावव १ याव ३६ रु ६४
—————————————— अयं फलवर्गसम
१६
इति पक्षौ समच्छेदीकृत्य छेदवर्गं च विधाय न्यासः
यावव १ याव ३६ रु ६४
यावव . याव . रु २५६
समशोधनेन यावव १ याव. ३६ रु ०
यावव ० याव ० रु ३२०
पक्षयोः ३२४ संयोज्य मूले गृहीत्वा
न्यासः--- याव १ रु १८ ⎫ “अव्यक्तमूलंगुणहृत्पत” इत्यादिना
याव . रु २ ⎭ लब्धं यावद्वर्गमानं द्विविधम् = रु १६ वा रु २० ।
ततो यावत्तावन्मानम् रु ४, वा क २० ।
एवमत्रान्यप्रकल्पने क्रिया प्रसरति ।
बहिर्लम्बक्रियायाऽऽचार्योक्तविधिनाऽपि भुवो मानमन्यद्विंशति करणीसममायाति
मूले तु सुराद्यमाचार्येणान्तर्लम्ब(५)क्रियया भुवो मानं साधितमिति ।
( ५ ) वि० सं०-लम्बमानेऽव्यक्ते कल्पिते फं = (लं X भू) / २ ∴ २ फ = लं X भू
= या X भू. ∴ २फ/या = भू = ८/या । त्रिभुजे भुजवर्गान्तरमवाधावर्गान्तरसममत
भु. व. अं = ८ । ८/या अनया भुवाऽऽबाधायोगमितया हृतं जातमवाधान्तरम् = या ॥
∴ लध्वाबाधा = ल. आ. = (८ - या²) / २या , बृ. आ. = (८ + या²) / २या । ∴ ल. आ.²
= (६४ - २ X ८ या² + या⁴) / ४ या² लघुभुजवर्गात् ५रुस्माच्छोधित आबाधावर्गो लम्बवर्गः
= (२० या² - ६४ + २ X ८ या² - या⁴) / ४ या² = या² = ∴ ५या⁴ - ३६या² = - ६४।
∴ या⁴ - (३६/५)या² = - ६४/५ ∴ या⁴ - २ X (३६/१०)या² + (१८/५)² = (१८/५)² - ६४/५ = ४/२५

५४ बीजगणिते-
न्यासः ।
स्वाबाधावर्गं स्वभुजवर्गादपास्य जातो
लम्बवर्गः=यावं १ं रु १५ क २००ं
द्वितीयाबाधावर्गः=याव १ या क ७२ं या २ रु १९ क ७२ं ।
स्वभुजवर्गात् रु ६ अपास्य जातो द्वितीयो लम्बवर्गः
= याव १ं या २ं याक ७२ रु १३ं क ७२ ।
एतौ (१) समाविति समशोधने कृते जातौ पक्षौ
रु २८ं क ५१२ ।
(२) या २ याक ७२ं ।
अत्र (३) भाजकस्याव्यक्तशेषस्य याकारस्य प्रयोजनाभावादपगमे
कृते भाज्यभाजकौ जातौ "अत्र धनर्णताव्यत्ययमोप्सितायाश्छेदे क-
रण्या असकृद्विधाय" इति द्विसप्ततिमितकरण्या धनत्वं प्रकल्प्य क ४
क ७२ । अनया भाज्ये गुणिते जातम्
क ३६८६४ क ३१३६ क ५६४४८ क २०४८ ।
एतास्ते तयोः क ३६८६४ क ३१३६ । मूलं १९२ । ५६ । अनयो-
र्योगः रु १३६ ।
∴ या = २, √(१६)/५ ∴ भू = ४, √२० अतोऽपि
क्रिया प्रसरितेति ।
( १ ) वि० श० - लम्बवर्गौ ।
( २ ) वि० श०- या २ या० क ७२ं = या ( रु २. क ७२ं )
( ३ ) वि. श.-अत्राव्यक्तशेषमिदम् = रु २ एवंच अनेन रूपशेषेऽस्मिन्
रु २८ं क ५१२ भक्ते जातं या-मानम् या = (रु २८ं क ५१२) / (रु २ क ७२ं) अत्र
"भाजकस्याव्यक्तशेषस्य याकारस्य प्रयोजनाभावादपगमे कृते जातौ भाज्यभाजकौ"
इत्यन्तं गद्यमरोचकम् । "धनर्णता" इत्यादिमूलोक्तमुचितम् ।

एकवर्णसमीकरणम् ।
शेषकरण्योरनयोः क ५६४४८, क २०४८ अन्तरं(क) योग इति
जातो योगः क ३६१९२।
भाजके च क ४६२४ । अनया भाज्ये हृते लब्धं यावत्तावन्मानम्
रू २ क ८ ।
इयमेव लघ्वाबाधा, एतदूना भूरन्याऽबाधा रू १ क २। यावत्ताव-
न्मानेन लम्बवर्गानुत्थाप्य स्वाबाधावर्गं स्वभुजवर्गादपास्य वा जातो
लम्बवर्ग. रू ३ क ८ । एतस्य मूलसममेव लम्बमानम् रू १ क २ ।
उदाहरणम् ।
असमानसमच्छेदान् राशींस्तांश्चतुरो वद ।
यदैक्यं यद्धनैक्यं वा येषां वर्गैक्यसंमितम् ॥ १७ ॥
अत्र राशयः या १, या २, या ३, या ४ । एषां योग. या १० ।
वर्गयोगेनानेन याव ३० सम इति पक्षौ यावत्तावताऽपवर्त्य
न्यास. । या ३० रू ० ।
या ० रू १० ।
समशोधनादिना प्राग्वल्लब्धयावत्तावन्मानेनोत्थापिता राशय
१/३, २/३, ३/३ (१), ४/३ ।
अथ द्वितीयोदाहरणे राशय. या १, या २, या ३, या ४ । एषां
घनैक्यम् याघ १०० । एतद्वर्गैक्यमानेन याव ३० सममिति पक्षौ यावद्घ-
र्गेणापवर्त्य प्राग्वल्लब्धयावत्तावन्मानेनोत्थापिता जाता राशय.
३/१०, ६/१०, (१) ९/१०, १२/१०, (१) ।
(क) वि० श०—अत्र “योग करण्योर्महताम्” इत्यादिना द्वयोर्योग
= ५८४९६ महती । द्वयोर्घात = ११५६०५५०४, अतो मूलम् = १०७५२
द्विगुणम् = २१५०४ लघु च प्रकॢप्य जातमन्तरम् क ३६१९२ । वा “लब्ध्या
हताया” इत्यादिना ५६४४८ / २०४८ हरभाज्याविह गनाडुभिरपवर्तितौ । अत ५६४४८ / २०४८
= ४४१ / १६ अत पदम् = २१ / ४, निरेकम् = १७ / ४ स्वहृतम् = २८९ / १६ । लघुघ्नम् =
२८९ × २०४८ / १६ = २८९ × क १२८ = ३६१९२ ।
(१) वि० श०—एषु नापवर्तनमन्यथोदाहरणीयराशित्वसिद्धिरिति ।

५६ बीजगणिते
उदाहरणम्।
त्र्यस्रक्षेत्रस्य यस्य स्यात् फलं कर्णेन सुमितम्।
दोःकोटिश्रुतिघातेन समं यस्य च तद्वद् ॥ १८ ॥
न्यासः।
या ५ अत्रेष्टक्षेत्रभुजानां यावत्तावद्गुणितानां न्यासः।
या ३ या ३, या ४, या ५। अत्र च भुजकोटिघातार्धं
या ४ फलम् याव ६। एतत् कर्णेनानेन या ५ सममिति
पक्षौ यावत्तावताऽपवर्त्य प्राग्वल्लब्धेन यावत्तावन्मानेनोत्थापिता
जाता भुजकोटिकर्णा ५/२, १०/३, २५/६। एवमिष्टशादन्येऽपि।
अथ द्वितीयोदाहरणे कल्पितं तदेव क्षेत्रम्। यस्य फलम् = याव ६।
एतद्दोःकोटिकर्णघातेनानेन याघ ६० सममिति पक्षौ यावद्वर्गेणापवर्त्य
समीकरणेन प्राग्वज्जाता दोःकोटिकर्णा ३/१०, २/५, १/२। एवमिष्ट-
वशादन्येऽपि।
उदाहरणम्।
युतौ वर्गोऽन्तरे वर्गो द्वयोर्घाते घनो भवेत्।
तौ राशी शीघ्रमाचक्ष्व दक्षोऽसि गणिते यदि ॥ १९ ॥
अत्र राशी याव ५, याव ४। योगेऽन्तरे च यथा वर्गः स्यात् तथा
कल्पितौ। अत्रानयोर्घातः यावघ २०। एष घन इति इष्टयावत्तावदङ्कस्य
घनेन समीकरणे पक्षौ यावत्तावद्घनेनापवर्त्य प्राग्वज्जातौ राशी
१००००, १२५००।
उदाहरणम्।
घनैश्च जायते वर्गो वर्गैक्यं च द्वयोर्घनः।
तौ चेद्वेत्सि तदाऽहं त्वा मन्ये बीजविदां वरम् ॥ २० ॥
अत्र कल्पितौ राशी याव १, याव २। अनयोर्घनयोगः यावघ ९।
एष स्वयमेव वर्गो जातोऽस्य मूलम् = याघ ३।
ननु यावत्तावद्वर्गघनतोऽयं राशिर्न घनवर्गः कथमस्य घनात्मकं
॰ ॰ चेदुच्यते यावानेव घनवर्गस्तावानेव वर्गघन स्यादित्यत
एव द्विगतचतुर्गतषड्गताष्टगता वर्गाः स्युः। एषामेकद्वित्रिचतुर्गतानि
मूलानि यथाक्रमं स्युः। एवं त्रिषण्णवगता घनाः। एकद्वित्रिगतानि तेषां
मूलानि। एवं सर्वत्र ज्ञातव्यम्।

एकवर्णसमीकरणम् ५७
अथ राश्योर्वर्गयोगः यावघ ५ । अयं घन इतीष्टयावत्तावत्पञ्च-
घनसमं कृत्वा पक्षौ यावत्तावद्घनेनापवर्त्य प्राग्वज्जातौ राशी ६२५ ।
१२५० । एवमव्यक्तापवर्तनं यथा सम्भवति तथा चिन्त्यम् ।
उदाहरणम् ।
यत्र त्र्यस्रक्षेत्रे धात्री मनुसंमिता सखे बाहू ।
एकः पञ्चदशान्यस्त्रयोदश वदाशु लम्बकं तत्र ॥ २१॥
आबाधाज्ञाने सति लम्बज्ञानमिति लघ्वाबाधा योवत्तावन्मिता
कल्पिता या १ । एतदूना चतुर्दशान्या बाधा या १ं रू १४ ।
न्यासः ।
स्वाबाधावर्गोनौ स्वभुजवर्गौ समा-
विति समशोधनार्थं
न्यासः—याव १ या ० रू १६९ ।
याव १ या २८ रू २९ ।
अनयोः समशोधने लब्धं यावत्तावन्मानम् ५ । अनेनोत्थापिते
जाते

५८ बीजगणिते
कोटियुतावपि ।
अथ कोटिकर्णान्तरे भुजे च ज्ञाते उदाहरणम् ।
चक्रक्रोञ्चाकुलितसलिले क्वापि दृष्टं तडागे
तोयादूर्ध्वं कमलकलिकाग्रं वितस्तिप्रमाणम् ।
मन्दं मन्दं चलितमनिलेनाहतं हस्तयुग्मे
तस्मिन् मग्नं गणक कथय क्षिप्रमम्भःप्रमाणम् ॥ २३ ॥
अत्र नलप्रमाणं जलगाम्भीर्यमिति तत्प्रमाणम् = या १ । इयं कोटिः।
सा कलिकामा॑नयुता जातः कर्णः = या २ रू १ / २ । हस्तद्वयं भुजः = रू २।
रू १ / २
अत्रापि दोःकोटिवर्गयोगं कर्ण-
रू २
वर्गसमं कृत्वा लब्धं जलगाम्भीर्यम् = १५/४।
या १
कर्णमानम् = १७/४ ।
या २ रू १ / २
उदाहरणम् ।
वृक्षाद्धस्तशतोच्छ्रयाच्छतयुगे वापीं कपिः कोऽप्यगा-
दुत्तीर्याथ परो द्रुतं श्रुतिपथात् प्रोड्डीय किञ्चिद्द्रुमात् ।
जातैवं समता तयोर्यदि गतावुड्डीनमानं कियद्-
विद्वांश्चेत् सुपरिश्रमोऽस्ति गणिते क्षिप्रं तदाऽऽचक्ष्व मे ॥ २४ ॥
अत्र समगतिः = २०० । उड्डीनमानम् = या १ । एतद्युतो-
च्छ्रायः कोटिः । यावत्तावदूना समगतिः कर्णः । तद्वाप्यन्तरं भुजः।
न्यासः
भुजकोटिवर्गैक्यं कर्णवर्ग
या १̇ रू २००
या १
समं कृत्वा लब्धमुड्डीनमान-
रू १००
म् = ५० ।
रू २००
उदाहरणम् ।
पञ्चदशदशकरोच्चद्रुद्वयोश्शतमध्यभूमिकयोः ।
इतरेतरमूलाग्रगसूत्रयुतेर्लम्बमानमाचक्ष्व ॥ २५ ॥

अव्यक्तवर्गादिसमीकरणम् । ५९
अत्र क्रियावतरणार्थमिदं वेण्वन्तरभूमानं कल्पितम् = २० । सूत्रसं-
पाताल्लम्बमानम् = या १ ।
न्यासः। यदि पञ्चदशकोट्या विंशतिर्भुजस्तदा
[चित्रम्: १५, १० कोट्योः २० भूमौ च वेणुद्वयम्] यावत्तावन्मितया किमिति लब्धा लघुवंशा-
श्रितावाधा या ४/३ । पुनर्यदि दशमितकोट्या
विंशतिर्भुजस्तदा यावन्मितकोट्या किमिति
लब्धा बृहद्वंशाश्रितावाधा या २। अनयोर्योगं या १०/३ विंशतिसमं कृत्वा
लब्धो लम्बः ६। उत्थापनेनाबाधे च ८, १२। अथवा वंशसम्बन्धेनाबाधे
तद्युतिर्भूमिरिति यदि वंशद्वययोगेन २५ अनेनाबाधायोगो = २० लभ्यते
तदा वंशाभ्यां १५, १० किमिति जाते आबाधे ८, १२। अत्रानुपा-
तात् सम एव लम्बः ६ । किं यावत्तावत्कल्पन

६२ बीजगणिते
उदाहरणम् ।
पार्थः कर्णवधाय मार्गणगणं क्रुद्धो रणे संदधे
तस्यार्धेन निवार्य तच्छरगणं मूलैश्चतुर्भिर्हयान् ।
शल्यं षड्भिरथेषुभिस्त्रिभिरपि च्छत्रं ध्वजं कार्मुकं
चिच्छेदास्य शिरः शरेण कति ते यानर्जुनः संदधे ॥२॥
अत्र बाणसंख्या=याव १ । अस्यार्धम्=याव १/२ । चतुर्गुणितानि
मूलानि=या ४ । व्यक्तमार्गणगणः रू=१० । एषामैक्यमस्य याव १समं
कृत्वा लब्धयावत्तावन्मानेन १० उत्थापिता जाता बाणसंख्या=१०० ।
उदाहरणम् ।
द्येकस्य गच्छस्य दलं किलादिरादेर्दलं तत्प्रचयः फलं च ।
चयादिगच्छाभिहतिः स्वसप्तभागाधिका ब्रूहि चयादिगच्छान् ॥ ३ ॥
अत्र गच्छः=(१) या ४ रू १ । आदिः=या २ । प्रचयः=या १ ।

अव्यक्तवर्गादिसमीकरणम् । ६३
तमेव । आद्येन या १ युक्तो जातः या २ । नवोनितः=या २ रू ६ ।
वर्गितः याव ४ या ३६ रू ८१ । स्वपदेन या २ रू ६ युतो याव ४
या३४ रू ७२ । अयं शून्यगुणो नवतिसम इति शून्येन गुणिते प्राप्ते "शून्ये
गुणके जाते खं हारश्चेत्" इति पूर्वं शून्यो हर इदानीं गुणस्तस्मादु-
भयोर्गुणहरयोर्नाशः, एवं पक्षौ याव ४ या ३४ रू ७२ ।
याव ० या ० रू ९० ।
समशोधनात् पक्षशेषे याव ४ या ३४ रू ० ।
याव ० या ० रू १८ ।
एतौ पक्षौ षोडशभिः संगुण्य चतुरिंशद्वर्गतुल्यानि रूपाणि प्रक्षि-
प्य मूले गृहीत्वा पक्षयोः शोधनार्थे न्यासः
या ८ रू ३४ = या ० रू ३८ ।
उक्तवज्जातो राशि = ९ ।
अत्र "वाऽऽद्ययुक्तोऽथ खोनित" इति पाठे राशिः = या १ । खहृतः=
या १/० । आद्येन या १ युक्तोनीकरणाय खहरत्वात् समच्छेदीकरणेन
शून्येनैव युतोनितः स एव या १/० । वर्गितः याव १/० । स्वपदेनाढ्यः=
याव १ या १/० । अयं खगुणः पूर्वं खहरत्वादुगुणहरयोर्नाशे कृते
जातः = याव १ या १ । अयं नवतिसम इति समशोधनार्थे
न्यासः । याव १ या १ रू ० ।
याव ० या ० रू ९० ।
समशोधने कृते पक्षाविमौ चतुर्भिः संगुण्य एकं क्षिप्त्वा मूले
या २ रू १ ।
या ० रू १९ ।
अत्र समशोधनाज्जातः प्राग्वद्राशि = ९ ।
उदाहरणम् ।
कः स्वार्धसहितो राशिः खगुणो वर्गितो युतः ।
स्वपदाभ्यां खभक्तश्च जातः (ख)पञ्चदशोच्यताम् ॥ ५॥
अत्र राशिः = या १ । अयं स्वार्धयुतः = या ३/२ । खगुणः खं न कार्यः
१ (ख) वि० पु०-खजपदयुत् करणेन पञ्चदश जातः । यसौ राशिरुच्यतामिति ।