बीजगणितम् (भास्कराचार्य द्वितीय - प्राचीन भारतीय समीकरण एवं बीजगणित सूत्र सटीक)

२७ बीजगणिते
द्वितीयपक्षेणापि यथोक्ता एव मूलकरण्यः क २ क ३ क ५ । एवं
बुद्धिमताऽनुक्रमपि ज्ञायत इति ।
पूर्वेणायमर्थो विस्तीर्णोक्तो बालावबोधार्थं तु मयोच्यते ।
(१) एकादिसंकलितमितकरणीखण्डानि वर्गराशौ स्युः ।
वर्गे करणीमितये करणीद्वितयस्य तुल्यरूपाणि ॥ २० ॥

(१) कल्प्यन्ते, क २ क ३ क ५ क ६ क ७ ..... इत्यत्र न + १
मितानि पदानि तदेतद्वर्गे ।
२ + ३ + ५ + ६ ... = रूपाणि भवन्ति । (न + १) मितानां मध्ये
द्वयोर्द्वयोर्वधश्चतुर्गुणश्चेत्याद्येकोत्तरा अङ्का इत्यादिना ।
न (न + १)
--------- एतेषु स्थानेषु, अतो त्र्यादीनां करणीनां वर्गे एकादिसङ्कलितमि-
२
तानि करणीखण्डानि भवन्ति । परन्तु यदि मूले धनात्मिका ऋणात्मिकाश्च करण्यस्तथा
स्युर्यथा वर्गे द्वयोर्द्वयोर्घातेन चतुर्गुणेन बहूनि धनर्णरूपाणि करणीखण्डानि समानि भव-
न्ति तदा बहूनां करणीखण्डानां धनर्णयोस्तुल्यत्वान्नाशो बहूनां च योगो भवति तदा
तादृशस्य वास्तववर्गस्य वास्तवमूलमतीव दुर्घटं यथा, क १ क २ क ५

करणीषड्विधम् २१
करणीषट्के तिसृणां दशसु चतुसृणां तिथिषु च पञ्चानाम् ।
रूपकृतेः प्रोह्य पदं ग्राह्यं चेदन्यथा न सत् क्वापि ॥ २१ ॥
= ३ + (√५ × ३ × ४ + √६ × ३ × ४

• √७ × ३ × ४ + √८ × ३ × ४
• (√५ + √६ + √७ + √८)२
  तथा (√५ + √६ + √७ + √८)२
  = ५ + √६ × ५ × ४ + √७ × ५ × ४
• √८ × ५ × ४) + (√६ + √७ + √८)२
  तथा (√६ + √७ + √८)२
  = ६ + (√७ × ६ × ४ + √८ × ६ × ४)
• (√७ + √८)२
  एवं (√७ + √८)२ = ७ + √८ × ७ × ४
• ८
  ततः पूर्ववर्गे
  (२ + ३ + ५ + ६ + ७ + ८)
• (√३ × २ × ४ + √५ × २ × ४ + √६ × २ × ४
• √७ × २ × ४ + √८ × २ × ४
• (√५ × ३ × ४ + √६ × ३ × ४ + √७ × ३ × ४
• √८ × ३ × ४
• (√६ × ५ × ४ + √७ × ५ × ४ + √८ × ५ × ४)
• (√७ × ६ × ४ + √८ × ६ × ४)
• √८ × ७ × ४
  अत्र प्रथमषड्द्वयस्थकरणीतुल्यानां रूपाणां यदि योगः क्रियत तदा योग = ४ × २
  (३ + ५ + ६ + ७ + ८) = २ . (३ + ५ + ६ + ७ + ८) अनयोर्वधश्चतुर्गुण । रूपाणि
  = २ + (३ + ५ + ६ + ७ + ८) तयासमम् । अत्र “धनुर्गुणस्य च नरस्य युतिवर्गस्य
  चान्तरम्” इत्यादिना प्रथमम् २, (३ × ५ × ६ × ७ + ८) अनयोर्मन तत (३ + ५
  × ६ + ७ + ८) एतद्द्वयवान् मूलंन्य षट्द्वयस्थकरणासु शङ्कयुतेन ३, (५ + ६ + ७

३२ बीजगणिते
उत्तरस्यानयान्त्यं वा मूलकरण्‌याऽन्यया चतुर्गुणया ।
यासामपवर्त्तः स्याद्रूपकृतेस्ता विशोध्याः स्युः ॥ २२ ॥
अपवर्त्तादपि लब्धा मूलकरण्यो भवन्ति ताश्चापि ।
शेषविधिना न यदि ता भवन्ति मूलं तदा तदसत् ॥ २३ ॥
करणीवर्गराशौ रूपैरवश्यं भवितव्यम् । एककरण्या वर्गे रूपाण्येव,
द्वयोः सरूपैका करणी, तिसृणां तिस्रः, चतुसृणां षट् । पञ्चानां दश
षण्णां पञ्चदश इत्यादि ।
अतो द्वयादीनां करणीनां वर्गेषु एकादिसंकलितमितानि करणी-
नां खण्डानि रूपाणि च यथाक्रमं स्युः । अथ यदि उदाहरणे तावन्ति
न भवन्ति तदाऽसौ योगकरणी विशोध्या वा भवतीति कृत्वा मूलं
ग्राह्यमित्यर्थः । वर्गे करणीत्रितये करणीद्वितयस्य तुल्यरूपाणीति
स्पष्टार्थम् ।
उदाहरणम्
वर्गे यत्र करण्यो द्वित्रैः सप्ताङ्गजैर्मिताः पृथक् ।
रूपैर्दशभिरुपेताः किं मूलं ब्रूहि तस्य स्यात् ॥ १ ॥

• ८ ) अनयोरनेनेवमग्रेऽपि बोध्यम् । अतो मूले यावन्ति करणीखण्डान्यागच्छन्ति
  निरुक्तसमानां करणीखण्डानां योगो रूपकृतेरपास्यः ।
  _ मूले कियन्ति करणीखण्डानि स्युरेतज्ज्ञानमतो द्वयादीनां करणीनां वर्गे, एकादिसं-
  कलितमितानि करणीनां खण्डानि इत्याद्याचार्येणोक्त्या । अतो यदा वर्गे करणीत्रितयं
  तदा द्वयस्य सङ्कलितं त्रयमतो मूले त्रीणि करणीखण्डान्यागच्छेयुरतः करणीद्वित-
  यस्य तुल्यरूपाणि स्वरूपकृतेः शोध्यानि । एवं त्रयस्य सङ्कलितं = ६, चतुर्णां = १०,
  पञ्चानां = १५, अत आचार्योक्ताः शोधननियमाः शोभनाः । वर्गे यावन्ति करणीख-
  ण्डानि स्युर्यत्सङ्कलिते तत्करणीखण्डसमं भवेत् तन्मितानां करणीखण्डानां रूपाणां योग-
  म एव रूपकृतेर्विशोध्यो भवतीति पूर्वोक्त्या फलितमिति । अथ यावन्ति करणीखण्ड-
  ानि प्रथमं रूपकृतेः शुद्धानि तत्र प्रत्येकं मूलस्थस्य प्रथमकरणखण्डस्यान्यतमरा-
  शेन चतुर्गुणेन तासां करणीनामपवर्त्ते लब्धसमा मूले शेषकरण्यश्च भवन्तीति । रूप-
  कृतेरल्पपूर्वाणां करणीखण्डरूपाणां योगो यदि शोध्यस्तदा मूले चाल्पपूर्वा करण्य एवाय-
  च्छेयुरतो मूलेऽथ बह्वीकरणी तयोर्यादिकाख्य न कुत्रापि व्यभिचार इति
  कृपादिवशोक्तं युक्तियुक्तमेव यतोऽल्पपूर्वाणां करणीखण्डरूपाणां योगेऽल्पतमत्वादस्मिन्
  रूपकृतेर्विशोधिते शेषं महत्तमं तन्मूलं च महत्तमं तस्मिन् रूपेभ्यो विशोधिते शेषमल्प-
  तमं स्यादेतं नान्यतममतोऽल्पपूर्वा एव करण्यो मूले समागच्छन्ति ।

करणीषड्विधम् २३
न्यासः । रू १० क ३२ क २४ क ८ ।
अत्र वर्गे करणीत्रितये करणीद्वितस्यैव तुल्यानि रूपाणि प्रथमं
रूपङ्क्तेरपास्य मूलं ग्राह्यं पुनरेकस्या एवं क्रियमाणेऽत्र पदं नास्ती-
त्यतोऽस्य करणीगतमूलाभावः । अथानियमेन सर्वकरणीतुल्यानि
रूपाण्यपास्य मूलमानीयते तदिदम् क २ क ८ समागच्छति इदम-
सद्यतोऽस्य वर्गोऽयम् रू १८ ।
अथ वा दन्तगजमितयोर्योगं कृत्वा रू १० क ७२ क २४ । आनी-
यते तर्हिदमप्यसत् रू २ क ६ ।
उदाहरणम् ।
(१) वर्गे यत्र करण्यस्तिथिविश्वहुताशनैश्चतुर्गुणितैः ।
तुल्या दशरूपाढ्याः किं मूलं ब्रूहि तस्य स्यात् ॥ २ ॥
न्यासः । रू १० क ६० क ५२ क १२ ।
अत्र किल वर्गे करणीत्रयमस्तीति तत्करणीद्वयस्य द्विपञ्चाशद्द्वा-
दशमितस्य क५२क१२ तुल्यरूपण्यपास्य ये मूलकरण्यावुत्पद्येते क८
क २ । तयोरल्पयाऽनया २ चतुर्गुण्या ८ द्विपञ्चाशद्द्वादशमितयो-
रपवर्त्तो न स्यादतस्ते न शोध्ये यत उक्तमुत्सृज्यमानयैवमित्यादि ।
अत्राऽल्पयेत्युपलक्षणं तेन क्वचिन्महत्याऽपि तदा मूलकरणी रूपाणि
प्रकल्प्याभ्ये करणीखण्डे साध्ये सा महती प्रकल्प्येत्यर्थः । तथा कृते
मूलम् क २ क ३ क ५ । इदमप्यसद्यतोऽस्य वर्गोऽयम् रू १० क २४
क ४० क ६० ।
उदाहरणम् ।
(२) अष्टौ षट्पञ्चाशत् षष्टिः करणीत्रयं कृतौ यत्र ।
रूपैर्दशभिरुपेतं किं मूलं ब्रूहि तस्य स्यात् ॥ ३ ॥
न्यासः । रू १० क ८ क ५६ क ६० ।
अत्राद्यखण्डद्वये क ८ क ५६ । शोधिते उत्पन्नयाऽल्पया चतुर्गु-
णया ८ तयोः खण्डयोरपवर्त्तनलब्धे खण्डे १ । ७ परं शेषविधिना
मूलकरण्यौ नोत्पद्येते अतस्ते खण्डे न शोध्ये अन्यथा तु शोधने कृते
मूल मानानीयतस्तदसत् ।
(१) वि० पु०—अथोत्सृज्यमानयैवमित्येतद्रूपदीपनम् ।
(२) वि० पु०—अथ नागागाभं स्यादेतत्प्रत्युदाहरणम् ।

२४ बीजगणिते
उदाहरणम्।
(१) चतुर्गुणाः सूर्यतिथीषुरुद्रनागर्तवो यत्र कृतौ करण्यः।
सविंशरूपा यद् तत्पदं मे वद्यस्ति बीजे पटुताभिमानः ॥ ४॥
न्यासः। रु १३ क ४८ क ६० क २० क ४४ क ३२ क २४।
अत्र करणीषट्के तिसृणां करणीनां तुल्यानि रूपाणि प्रथमं रूप-
कृतेरपास्य मूलं ग्राह्यं पश्चाद्द्वयोस्तत एकस्या एवं कृतेऽत्र मूलाभावः।
अथान्यथा तु प्रथममाद्यकरण्योस्तुल्यानि रूपाण्यपास्य पश्चाद्वितीय-
तृतीययोस्ततः शेषाणां द्वपहते विशोध्यानीति तन्मूलम् क १ क २ क ५
क ५। तदिदमप्यसत् यतोऽस्य वर्गोंऽयम् रु १३ क ८ क ८० क १६०।
यैरस्य मूलानयनस्य नियमो न कृतस्तेषामिदं दूषणम्। एवंविधवर्गे कर-
णीनामासन्नमूलकरणेन मूलान्यानीय रूपेषु प्रक्षिप्य मूले वाच्यम्।
अथ महती रूपाणीत्युपलक्षणम्। यतः क्वचिदल्पाऽपि।
तत्रोदाहरणम्।
चत्वारिंशदशीतिद्विशतीतुंल्याः करण्यश्चेत्।
सप्तदशरूपयुक्तास्तत्र कृतौ किं पदं ब्रूहि ॥ ५ ॥
न्यासः। रु १७ क ४० क ८० क २००। शोधिते जाते खण्डे क १०
क ७। पुनल्लँघ्वीं करणीं रूपाणि कृत्वा लब्धे करण्यौ क ५ क २।
एवं मूलकरणीनां न्यासः क १० क ५ क २।
इति करणीषड्विधम्।
इति षड्विंशत्परिकर्माणि।
अथ कुट्टकः।
(२) भाज्यो हारः क्षेपकश्चापवर्त्यः केनाप्यादौ संभवे कुट्टकार्थम्।
येनच्छिन्नौ भाज्यहारौ न तेन क्षेपश्चेत्तद्दुष्टमुद्दिष्टमेव ॥ १ ॥
(१) वि० दृ०— यदि चेदन्यथा कश्चिन्नियममभिसमीक्ष्य मूलं दत्ते तदप्यसत्,
इत्येतदर्थमुदाहरणम्।
(२) मङ्गलमापकश्लोकानां रेखागणितस्य सप्तमाध्यायस्य प्रथमेनेन वा
मदीयं विस्तीर्णोपपत्तिसहितयुक्त्या स्फुटा।
इह संक्षेपार्थं नूतनहेतुनैव विलिख्यते, तत्र, कुट्टकप्रश्नानुसारेण,
४७ = (१०० या + क्षे) / ९१ या = गुणः }
या = लब्धि }

कुट्टकः ।
परस्परं भाजितयोर्ययोर्यः शे(१)षस्तयोः स्यादपवर्तनं सः ।
तेनापवर्तेन विभाजितौ यौ तौ भाज्यहारौ दृढसंज्ञितौ स्तः ॥ २ ॥
मिथो भजेत् तौ दृढभाज्यहारौ यावद्विभाज्ये भवतीह रूपम् ।
फलान्यधोधस्तदधो निवेश्यः क्षेपस्तथाऽन्ते खमुपान्तिमेन ॥ ३ ॥
स्वोर्ध्वं हतेऽन्त्येन युते तदन्त्यं त्यज्येन्मुहुः स्यादिति राशियुग्मम् ।
ऊर्ध्वो विभाज्येन दृढेन (२)तष्टः फलं गुणः स्यादधरो हरेण ॥ ४ ॥
तद्यथा
या = १०० या + क्षे / ६३ = या + ३७ या + क्षे / ६३ = या + नी
यदि नी = ३७ या + क्षे / ६३ तदा, या = ६३ नी - क्षे / ३७ = नी + पी
यदि पी = ११ पी + क्षे / २६ तदा पी = २६ लो - क्षे / ११ = २ लो + ह
यदि ह = ४ लो - क्षे / ११ तदा, लो = ११ ह + क्षे / ४ = २ ह + खे
यदि खे = ३ ह + क्षे / ४ तदा ह = ४ खे - क्षे / ३ = खे + चि
यदि चि = खे - क्षे / ३ तदा खे = ३ चि + क्षे / १ = क्षे
यदि चि = ०
अत्र यावत्तावत्कालकनीलगुणरूपेण जाता वल्ली, ततोऽन्यदुत्थापनेन, 'स्वोर्ध्वं
हतेऽन्त्येन युते तदन्त्य'मित्याद्युपपन्नं भवति, 'पूर्वलेखितसमीकरणेन स्फुटं दृश्यते यद्य-
दा समा वल्ली तदा धनक्षेपेऽन्यथा ऋणक्षेपे गुणलब्धी यावत्तावद्राश्यात्मके भवत इति ।
(१) वि० श०—शेषो निःशेषशरतोऽङ्कः स तयोरपवर्त्तनं महत्समावर्त्तनमिति ।
एवमव्यक्तेऽपि कल्प्येते राशी क - ६ क + ८ । ४ क³ - २१ क² + १५ क + २०
अत्र “माञ्जाच्छेदः” इत्यादिना क² - ६ क + ८ ) ४ क³ - २१ क + १५ क + २० (
४ क + ३ । अत्र शेषः क - ४ ) क² - ६ क + ८ (क - २ अतोऽत्र शेषाभावा-
न्निःशेषशरकम् क - ४ इदमत्र तयोः कल्पितयोर्महत्समापवर्त्तनमित्यस्य प्रायः पाश्चात्त्य-
गणिते बहुधा प्रदर्शितः ।
(२) वि० श०—भागहरणे यत्र शेषस्यैव प्रयोजनं तत्र तष्ट इत्यत्र तष्ट इति ।
दृढेने लब्धेशतक्षणं भाज्यराशिगुणस्य तक्षणं हर इति ।
४

ुद्घे गुणाप्ती स्तो वियोगजे ।
धनभाज्योद्भवे तद्वद्भवेतामृणभाज्यजे ॥ ७ ॥
गुणलब्ध्योः समं ग्राह्यं धीमता तक्षणे फलम् ।
ह्रतशेषे धनक्षेपे गुणलब्धी तु पूर्ववत् ॥ ८ ॥
क्षेपतक्षणलाभाढ्या लब्धिः शुद्धौ तु वर्जिता ।
अथ वा भागहारेण तयोः क्षेपभाज्ययोः ॥ ९ ॥
गुणः प्राग्वत् ततो लब्धिर्भाज्याद्धतयुतोद्धृतात् ।
क्षेपाभावेऽथ वा यत्र क्षेपः शुद्धयेद्धरोद्धृतः ॥ १० ॥
ज्ञेयः शून्यं गुणस्तत्र क्षेपो हारहृतः फलम् ।
इष्टाहतस्वस्वहरेण युक्ते ते वा भवेतां बहुधा गुणाप्ती ॥११॥
अथ पूर्ववत्समीकरणेन,
हा. ल=भा. गु+क्षे ... ... ( १ )
इहाभा=इ. भा. हा. ... ... ( २ )
अत्र प्रथमाद्द्वितीयस्य शोधनेन हा (

अथ
(२) हाल = भा. गु ± क्षे, अत्र यदि भा = इ. भां, क्षे = इ. क्षें
तदा, ल = इ ( भा. गु ± क्षै' ) / हा , अथात्र इ, हा, द्वौ परस्परं दृढौ तेन
गु ± क्षै अयं हारेण निःशेषो भवति ( रेखागणितस्य सप्तमाध्याययुक्त्या या दृढाङ्क-
सिद्धान्तानुसारेण ) ।
कल्प्यते सा च लब्धिः = लं तदा ल = इ ( भा. गु ± क्षे' ) / हा = इ. लं, पुनर्यदि
हा = हा. इ, क्षे = क्षं. इ
तदा ल = भा. गु ± क्षे'. इ / हा'. इ = भा. गु / इ ± क्षे' / हा'
अत्र भाज्यः, इ अनेन न निःशेषो भवति तेन गु, अयमपि इ अनेन निःशेषो
भवेत् अन्यथा निरवयवसावयवयोगो न निरवयवसमः ।
∴ हा. ल = भा. गु / इ + क्षे, अत्र कल्प्यते गु = गुं. इ तदा पूर्वसमीकरणरूपम्
ल = भा

२०!
Wait, is there a २० below २३?
Look at २३: below २३ there is २०? No, look at the space:
Wait, between २३ and वा इत्यादि:
There is ३८?
Wait, above: २३, below: nothing?
Wait, look at २३ ।:
Wait, there's २३ then a vertical line । then ३६ or ३८ or ५६?
Wait, look at: २३ then । then ३८? No, ५६!
Wait, why 23 and 38, or 23 and 20?
Wait, let's look at २३:
Wait, is it २३ on top and २० on bottom?
Look at the image carefully:
Line 12:
वा लब्धिगुणौ २३ । ३६ वा इत्यादि ।
Wait, could it be २३ and २०? Where is २०?
Wait, look at:
२३ followed by । (danda).
Then ५६ or ३६?
Wait, let's look at the characters:
२ ३ `

?
LOOK AT THAT NUMBER:
It is ३० over १८!
YES! ३० on top, १८ on bottom!
Let's verify:
In line 2: ... तावेव ३० over १८!
Look at it: ३०
१८!
YES, top is ३०, bottom is १८!
Now everything makes 100% mathematical sense! Let's re-verify:
Reduced equation: 100 x + 10 = 7 y.
100 / 7 = 14, remainder 2.
Now we need 2 x + 10 = 7 y'.
2 / 7? We divide 7 by 2:
7 / 2 = 3, remainder 1.
Quotients: 14, 3!
Now remainder is 1, divisor was 2, kshepa is 10.
Choose mati = 0: (1 * 0 + 10) / 2 = 5!
So mati = 0, quotient = 5. Or mati = 10!
Wait, look at the valli:
१४
३ (Wait, look at the glyph, it is ३ or ५? No, if quotients are 14,

३० बीजगणिते
उदाहरणम् ।
अष्टादशहताः केन दशाढ्या वा दशोनिताः ।
शुद्धं भागं प्रयच्छन्ति रूपगैकादशोद्धृताः ॥ १० ॥
न्यासः । भा १८ । हा ११ क्षे १० ।
अत्र भाजकस्य धनत्वं प्रकल्प्य साधितौ लब्धगुणौ १४/८ । एतावेव
ऋणभाजके किन्तु लब्धेः पूर्ववदृणत्वं ज्ञेयं तथा कृते जातौ लब्धि-
गुणौ -१४/८ ऋणक्षेपे तु योगजे तक्षणाच्छुद्धे इत्यादिना लब्धिगुणौ ४/३ ।
भाजकस्य धनत्वे ऋणत्वे वा लब्धिगुणावेतावेव परन्तु भाजके भाज्ये
वा ऋणगते लब्धेर्ऋणत्वं सर्वत्र ज्ञेयम् ।
उदाहरणम् ।
येन संगुणिताः पञ्च त्रयोविंशतिसंयुताः ।
वर्जिता वा त्रिभिर्भक्ता निरग्राः स्युः स को गुणः ॥ ११ ॥
न्यासः । भा ५ । हा ३ । क्षे २३ ।
अत्र वल्ली १/१/२३/० पूर्ववज्जातं राशिद्वयम् ४६/२३ ।
अत्र तक्षणेऽधोराशौ सप्त लभ्यन्ते ऊर्ध्वराशौ तु नव
लभ्यन्ते ते नव न ग्राह्याः "गुणलब्ध्योः समं ग्राह्यं धीमता तक्षणे
फलम्" इत्यतः सप्तैव ग्राह्या इति जातौ लब्धिगुणौ ११/२ योगजौ ।
एतौ स्वस्वतक्षणाभ्यां शोधितौ जातौ ऋण क्षेपे -१/-२ । "इष्टाहतस्वस्वह-
रेण युक्ते" इति द्विगुणितौ स्वस्वहारौ क्षेप्यौ यथा धनलब्धिः स्या-
दिति कृते जातौ लब्धिगुणौ ४/७ । एवं सर्वत्र ज्ञेयम् ।
अथ वा "हरतष्टे धनक्षेपे" इति न्यासः । भा ५ हा ३ । क्षे २ ।
पूर्ववज्जातौ लब्धिगुणौ योगजौ १/१ । एतौ स्वस्वतक्षणाभ्यां शुद्धौ
३/२ जातौ वियोगजौ । क्षेपतक्षणलाभाढ्या लब्धिरिति क्षेपतक्षणलाभेन
७ योगजलब्धियुता ११ जाता योगजैव लब्धिः । "शुद्धौ तु वर्जिता"
"ऊर्ध्वं विभाजयेत्" इत्यादिना लब्धि ६, गुण = २ । अत एते एव गुणाप्ती ६/२ । अत्र परो-
क्तसूत्रम् "द्वौ राशी क्षिपेत् तत्र" तन्न गुणादियेयदि द्वौ राशी हरभाज्याङ्कप्रमितौ क्षि-
पेत् तदा भास्करवचनान् ३९/२५ एते गुणाप्ती यत्रास्मिन् १५ गुणे १९ अनया सङ्ख्या
भवितव्यम् । वस्तुतो यथार्था लब्धिस्तु ६९ अनेनरोनसप्ततिरेव । तावता न व्यभिचार-
इति गणितहृद्विवेचनीयं मैथिलपण्डितश्रीबभ्रूनाथशर्मणाऽपि स्वटीकायां वलाद्व्यभिचार
एव प्रदर्शित इति ।

इति तक्षणलाभेन ७ लब्धिरियं १ वर्जिता ६ धनलब्ध्यर्थं द्विगुणे हरे क्षि-
प्ते जातौ तावेव लब्धिगुणौ ६/७ । "अथ वा भागहारेण तष्टयोः" इति ।
न्यासः । भा २ । हा ३ । क्षे २ ।
अत्रापि जातं राशित्रयम् २/१ । अत्रापि जातः पूर्व एव गुणः २ ।
लब्धिस्तु "भाज्याद्धतयुतोद्धृतात्" इति गुणः २ । गुणितो भाज्यः १० ।
क्षेप-२३ युतो ३३ हरभक्तो लब्धिः सैव ११ ।
उदाहरणम् ।
येन पञ्च गुणिताः खसंयुताः पञ्चषष्टिसहिताश्च तेऽथ वा ।
स्युस्त्रयोदशहृता निरग्रकास्तं गुणं गणक कीर्त्तयाशु मे ॥२८५॥
न्यासः । भा ५ । हा १३ । क्षे ० ।
क्षेपाभावे गुणाप्ती ० । एवं पञ्चषष्टिक्षेपे ५/० वा १०/१३ इत्यादि ।
अथ स्थिरकुट्टके सूत्र वृत्तम् ।
(१

वर्गप्रकृतिः। ३३
अथ संश्लिष्टकुट्टके करणसूत्रं वृत्तम्।
*एको हरश्चेद्गुणकौ विभिन्नौ तदा गुणैक्यं परिकल्प्य भाज्यम्।
अग्रैक्यमग्रं कृत उक्तवद्यः संश्लिष्टसंज्ञः स्फुटकुट्टकोऽसौ ॥ १३॥
उदाहरणम्।
कः पञ्चनिघ्नो विहृतस्त्रिषष्ट्या सप्तावशेषोऽथ स एव राशिः।
दशाहतः स्याद्विहृतस्त्रिषष्ट्या चतुर्दशाग्रो वद राशिमेनम् ॥ १ ॥
अत्र गुणैक्यं भाज्योऽयमेव राशिः। अग्रैक्यं शुद्धिरिति।
न्यासः-भा १५। हा ६३। क्षेपः २१। पूर्ववज्जातो गुणः १४।
लब्धिः ३।
इति श्रीभास्कराचार्यविरचिते बीजगणिते कुट्टकाध्यायः।
अथ वर्गप्रकृतिः।
तत्र रूपक्षेपपदार्थे तावत् करणसूत्राणि सार्धपञ्चवृत्तानि।
इष्टं ह्रस्वं तस्य वर्गः प्रकृत्या क्षुण्णो युक्तो वर्जितो वा स येन।
मूलं दद्यात् क्षेपकं तं धनर्णं मूलं तच्च ज्येष्ठमूलं वदन्ति ॥ १ ॥

• वि०--अत्र प्रश्नानुसारेणाधोलिखितं समीकरणद्वयमुत्पद्यते(१)
  प्रगु. या - प्रशे
  प्रल= ──────────
  हा
  द्विगु. या - द्विशे
  द्विल= ──────────
  हा
  अतः प्रल. हा = प्रगु या - प्रशे
  द्विल. हा = द्विगु. या -- द्विशे
  प्रथमं द्वितीयगुणेन द्वितीयं प्रथमगुणेन निहत्य जातं समीकरणद्वयम्।
  . द्विगु. प्रल. हा. = द्विगु. प्रगु. या - द्विगु. प्रशे
  प्रगु. द्विल. हा = द्विगु. प्रगु. या - प्रगु. द्विशे अनयोरन्तरे कृते
  हा (द्विगु. प्रल - प्रगु. द्विल) = प्रगु. द्विशे - द्विगु. प्रशे, अतो मिथो गुणगुणितछेद-
  (१) वि० श०--प्रल + द्विल = प्रगु. या - प्रशे + द्विगु. या - द्विशे
  ────────────────────
  हा
  या (प्रगु + द्विगु) - (प्रशे + द्विशे)
  = ────────────────────
  हा
  ततः सामान्यकुट्टकरीत्या'या' इत्यव्यक्तराशेर्मानं व्यक्तमिति मूलसूत्रमुपपद्यते । .

३४ बीजगणिते
ह्रस्वज्येष्ठक्षेपकान् न्यस्य तेषां तानन्यान् वाऽधो निवेश्य क्रमेण ।
साध्यान्येभ्यो भावनाभिर्बहूनि मूलान्येषां भावना प्रोच्यतेऽतः ॥ २ ॥
(२)वज्राभ्यासौ ज्येष्ठलघ्वोस्तदैक्यं ह्रस्वं लघ्वोराहतिश्च प्रकृत्या ।
क्षुण्णा ज्येष्ठाभ्यासयुग् ज्येष्ठमूलं तत्राभ्यासः क्षेपयोः क्षेपतः स्यात् ॥३॥
ह्रस्वं वज्राभ्यासयोरन्तरं वा लघ्वोर्घातो यः प्रकृत्या विनिघ्नः ।
घातो यश्च ज्येष्ठयोस्तद्वियोगो ज्येष्ठं क्षेपोऽत्रापि च क्षेपघातः ॥ ४ ॥
इष्टवर्गहृतः क्षेपः क्षेपः स्यादिष्टभाजिते ।
मूले ते स्तोऽथवा क्षेपः क्षुण्णः क्षुष्णे तदा पदे ॥ ५ ॥
इष्टवर्गप्रकृत्योर्यद्विवरं तेन वा भजेत् ।
द्विघ्नमिष्टं कनिष्ठं तत् पदं स्यादेकसंयुतौ ।
ततो ज्येष्ठ

उदाहरणम् ।
को वर्गोऽष्टहतः सैकः कृतिः स्याद्गणकोच्यताम् ।
एकादशगुणः को वा वर्गः सैकः कृतिर्भवेत् ॥ १ ॥
प्रथमोदाहरणे न्यासः प्र ८ । क्षे १ ।
अत्रैकमिष्टं ह्रस्वं प्रकल्प्य जाते मूले सक्षेपे क १ ज्ये ३ क्षे १ ।
एषां भावनार्थं न्यासः प्र ८ क १ ज्ये ३ क्षे १ । क १ ज्ये ३ क्षे १ ।
'वज्राभ्यासौ ज्येष्ठलध्वोरित्या' दिना प्रथम कनिष्ठद्वितीयज्येष्ठमू-
लाभ्यासः ३ । द्वितीयकनिष्ठप्रथमज्येष्ठमूलाभ्यासः ३ । अनयोरैक्यं ६
कनिष्ठपदं स्यात् । कनिष्ठयोराहतिः १ प्रकृतिगुणा ८ ज्येष्ठयोरभ्यासेन
९ अनेन युता १७ ज्येष्ठपदं स्यात् । क्षेपयोराहतिः क्षेपकः स्यात् १ ।
प्राङ्मूलक्षेपाणामेभिः सह भावनार्थं न्यासः—
प्र ८ क १ ज्ये ३ क्षे १ ।
क ६ ज्ये १७ क्षे १ ।
भावनया लब्धे मूले क ३५ ज्ये ९९ क्षे १ । एवं पदानामानन्त्यम् ।
द्वितीयोदाहरणे रूपमिष्टं कनिष्ठं प्रकल्प्य तद्वर्गात् प्रकृतिगुणात्
११ रूपद्वयमपास्य मूलं ज्येष्ठम् ३ ।
अत्र भावनार्थं न्यासः—प्र ११ क १ ज्ये ३ क्षे २॑ ।
क १ ज्ये ३ क्षे २॑ ।
प्राग्वल्लब्धे चतुःक्षेपमूले क ६ ज्ये २० क्षे ४ । “इष्टवर्गहृतः
क्षेप.” इत्यादिना जाते रूपक्षेपमूले क ३ ज्ये १० क्षे १ । अतस्तुल्य-
वा प्र (क/इ)² + क्षे/इ² = (ज्ये/इ)²
वा प्र. क́² + क्षे́ = ज्ये́² । यदि क/इ = क́, ज्ये/इ = ज्ये́,
क्षे/इ² = क्षे́ । एवं (१) समीकरणं यदि इ² अनेन गुण्यते तदाऽवशिष्टमुपपद्यत एवे-
'तेष्टवर्गहृतः क्षेप इत्याद्युपपद्यते ।
अथ यदि कनिष्ठं इष्टं कल्प्यते तदा इ² - प्र, क्षेपे ज्येष्ठम् = इ ततः समासभा-
वनया (इ - प्र)² क्षेपे कनिष्ठम् = २ इ, तत इष्टवर्गहृतः क्षेप इत्यादिना रूपक्षेपे
कनिष्ठम् = २ इ / (इ² - प्र) अत्र उपपत्तिमिष्टवर्गहृतस्यौचित्यं चेन्न वा भवेदित्यादि ।

Here is the line-by-line transcription of the page into Unicode Devanagari:

३६ बीजगणिते
भावनया वा कनिष्ठज्येष्ठमूले जाते क ६० ज्ये १९९ क्षे १ । एवमनन्त-
मूलानि । अथवा रूपं कनिष्ठं प्रकल्प्य जाते पञ्चक्षेपपदे क १ ज्ये ४
क्षे ५ अतस्तुल्यभावनया मूले क ८ ज्ये २७ क्षे २५ । "इष्टवर्गहृतः"
इत्यादिना पञ्चकमिष्टं प्रकल्प्य जाते रूपक्षेपपदे क ८/५ ज्ये २७/५ क्षे १ ।
अनयोः पूर्वमूलाभ्यां सह भावनार्थं न्यासः—
प्र ११ क ८/५ ज्ये २७/५ क्षे १ ।
क ३ ज्ये १० क्षे १ ।
भावनया लब्धे मूले क १६१/५ ज्ये ५३४/५ क्षे १ ।
अथवा ह्रस्वं वज्राभ्यासयोरन्तरमित्यादिना अनयया भावनया
जाते मूले क १/५ ज्ये ६/५ क्षे १ । एवमनेकधा "इष्टवर्गप्रकृत्योर्यद्विवरं
तेन वा भजेत्" इत्यादि

चक्रवालम् । ३७
कें = इ. क + ज्ये । ज्ये = क. प्र + इ. ज्ये । क्षे' = क्षे ( इ² - प्र ) इष्टवर्गहतः
क्षेप इत्यादिना क्षे इष्टं प्रकल्प्य जाताः कनिष्ठज्येष्ठक्षेपाः
कें = (इ.क + ज्ये) / क्षे । ज्ये' = (प्र. क + इ.ज्ये) / क्षे । क्षे' = (इ² - प्र) / क्षे, अतोऽत्र चेत् कनिष्ठम-
भिन्नमपेक्षितं तदा प्रथमकनिष्ठं तथा केन चिदिष्टेन गुण्यं ज्येष्ठयुक्तं यथा विशुद्ध्येत तदर्थमा-
चार्येण कुट्टकः कृतः । अत उपपन्नं ह्रस्वज्येष्ठपदक्षेपानित्यादि। एवमभिन्नं यत् कनिष्ठमुत्प-
द्यते तत्र क्षेपश्च (इ² - प्र) / क्षे अयम् । अत्र भाज्यसंख्या यदि विपरीतशोधनेन सिद्धा
स्यात् तदा क्षेपहता लब्धिः क्षेपविजातीयाऽतो व्यस्त-प्रकृतितस्तद्युत इति युक्तमुक्तमाचार्यैः।
अथ नूतनः क्षेपः = (इ² - प्र) / क्षे अयं सर्वदाऽभिन्न एवागच्छति तेन इ² - प्र इदं क्षे-
पेण निःशेषं भवतीत्यस्य कारणज्ञानार्थं कल्प्यते अ, क, संख्ये मिथो दृढे, क, ग अन-
योर्घातश्च असंख्यया शुध्यति तदा अ, संख्यया ग, संख्या निःशेषा भवति ।
अ < क इति कल्पनीयं तथा परस्परभजनाल्लब्धयः ल, ल', ल'', इत्यादयः शे, शे',
शे'' इत्यादयः शेषाश्च कल्प्यास्तदा क = अ ल + शे, अ = शे. ल' + शे'
शे = शे' ल'' + शे'', प्रत्येकं ग संख्यया सङ्गुण्य असंख्यया यदि विभज्यते तदा
(क. ग) / अ = ग. ल + (ग. शे) / अ । ग = (ग. शे) / अ × ल' + (ग. शे') / अ
(ग. शे) / अ = (ग. शे') / अ × ल'' + (ग. शे'') / अ , ... ...
अथ (क. ग) / अ इयं संख्या ह्यभिन्ना तेन (ग. शे) / अ इयमपि अभिन्ना भवेत्
ततः (ग. शे') / अ इयं चाभिन्ना ततः (ग. शे'') / अ इयमप्यभिन्ना सिद्ध्यति । एवं सर्वे
शेषा ग-गुणिताः अ-हृताः शुध्यन्तीति सिध्यति । अथ अ, क संख्ये मिथो दृढे तेनान्तिमः
शेषो रूपसमस्तद्गुणिता गसंख्या यस्माऽसौ ग. संख्या, अ-हता शुद्धा भवतीति सिद्ध्यति ।
अथ पूर्वकनिष्ठज्येष्ठवधेन
पूर्वक्षेपः = प्र. क² - ज्ये² अतो ज्येष्ठकनिष्ठमहत्समापवर्तनवर्गेण क्षेपोऽपवर्त्य-
स्तेनेष्टवर्गहत. क्षेप इत्यादिना लघुक्षेपे सुखेन कनिष्ठज्येष्ठे ज्ञातुं शक्येते, एवं यदा-
ऽपवर्त्तनाभावस्तदैव लघुतमक्षेपे तत्कनिष्ठज्येष्ठे गृहीत्वा ततो ह्रस्वज्येष्ठपदक्षेपेभ्यः पर-

३८ बीजगणिते
चतुर्द्धार्कयुताद्येयमभिन्ने भवतः पदे ।
चतुर्द्विक्षेपमूलाभ्यां रूपक्षेपार्थभावना ॥ ४ ॥
उदाहरणम् ।
का सप्तषष्टिगुणिता कृतिरेकयुक्ता
का चैकषष्टिगुणिता च सखे सरूपा ।
स्यान्मूलदा यदि कृतिप्रकृतिर्नितान्तं
त्वच्चेतसि प्रवद तात तता लतायत् ॥ १ ॥
स्वैर्हृतेभ्यः कुट्टकः कर्त्तव्यः । अतोऽत्र ये कनिष्ठज्येष्ठक्षेपास्ते परस्परं दृढा एव ।
ततोऽभिन्नं नूतनकनिष्ठम् = इ. क + ज्ये
─────────────────────
क्षे
अस्मादिष्टमानम् = नू.क क्षे - ज्ये
───────────────── । अनेन नूतनज्येष्ठस्य
क
प्र क + इ.ज्ये
───────────── अस्यांशमाने स्थापने कृते जातमंशमानम्
क्ष
= ज्ये. नू.क. क्ष

? Look at सृ: it has the loop of 'स' and 'ृ': सृणमिष्टं` (an error for 'ऋणमिष्टं' or 'मृणमिष्टं' -> 'सृण' = स-ऋण = with negative sign! Yes! स-ऋण = ऋण सहित!).
"सृणम्" = स + ऋणम् = negative!
"रूपद्वय-२ सृणमिष्टं प्रकल्प्य" -> literally "taking an optional number -2 (two units, negative)".
That is brilliant Sanskrit: "सृणम्" (स-ऋणम्)!

Let's check line 16:
पड्युते vs षड्युते:
षड्युते - in Devanagari typesets, ष and प can look similar, but here it's definitely षड्युते (6 added, since क्षेप is 6: 67 * 5^2 + 6 = 67 * 25 + 6 = 1675 + 6 = 1681 = 41^2!).
Yes, 6 is षट्, so षड्युते = 6 added!

Let's check line 9:
तक्षगाभ्यां or तक्षणाभ्यां?
Wait, look at the letter:
त क्ष गा or णा?
It has

४० बीजगणिते
द्वितीयोदाहरणे न्यासः—प्र ६१ क १ ज्ये ८ क्षे ३ ।
कुट्टकार्थे न्यासः—भा १ हा ३ क्षे ८ ।
'ह्रस्वघ्ने धनक्षेपे" इति लब्धिगुणौ ३/१ । इष्टाहतेति द्वाभ्यामुत्थाप्य
जातौ लब्धिगुणौ ५/७ । गुणवर्गे ४९ । प्रकृतेः शोधिते १२ व्यस्त इति
ऋणम् १२ इदं क्षेपहृतं जातः क्षेपः ४ं । अतः प्राग्वज्जाते चतुःक्षेप-
मूले क ५ ज्ये ३९ ।
इष्टवर्गहृतः क्षेपः स्यादित्युत्पन्नरूपशुद्धिमूलयोर्भावनार्थं न्यासः—
क ५/२ ज्ये ३९/२ क्षे १ं ।
क ५/२ ज्ये ३९/२ क्षे १ं ।

• अतो भावनया जाते रूपक्षेपमूले क १९५/२ ज्ये १५२३/२ ।
  अनयोः पुनः रूपशुद्धिपदाभ्यां भावनार्थं न्यासः
  क ५/२ ज्ये ३९/२ क्षे १ं ।
  [