पाटीगणित (श्रीधराचार्य - प्राचीन संस्कृत टीका एवं प्रो. कृपाशंकर शुक्ल सविस्तार व्याख्या)

क्षेत्रव्यवहारः १७३
न्यासः—
करणम्—अत्र मध्यविस्तारस्य भूमानत्वं, तेन तत एव विभज्य क्षेत्रद्वयकरणात् न्यासः
भूः ३, वदनं ०, समासः ३, अर्धं ३/२, मध्यलम्बेन ४ सङ्गुणितं ६, एतद्¹ द्विगुणं
कृत्वा बालेन्दुक्षेत्रफलम् १२।
अन्ये मध्यविस्तारस्यार्धं भूः वदनं च प्रकल्प्य पार्श्वभुजाभ्यामष्टकाभ्यामायतचतुर-
श्रात्फलमानयन्ति, यथा
न्यासः—
लम्बेन चात्र पार्श्वभुजतुल्येन भाव्यं, तेन करणम्—भूः, ३/२, वदनं ३/२, समासः ३,
अर्धं ३/२ लम्बेन² ८ सङ्गुणितं १२।
उदाहरणम् —
वज्रे मध्यायामो दशहस्तः पञ्चहस्तके वदने ।
मध्यव्यासो³ द्विकरः कियत् फलं त(स्य) द्विचतुरश्रात् ॥ १३३ ॥

¹ एत । ² बेन । ³ मधूव्यासो ।

: व जातौ । अतो भूम्यर्धभूजायाः कृतिः १, कोटिकृतिः ९, युतिः १०, अतो मूलं क १०,
Line 12: एतदुभयोरपि पार्श्वयोः कर्णानयनं⁷ कर्णानीतौ भुजाविति सिद्धमन्तस्त्र्यश्रक्षेत्रम् । कर्णसूत्र-
Line 13: द्वयोरभ्याशे⁸ च बहिरुभयतश्चापद्वयं जायते ययोस्तौ कर्णौ ज्यास्थाने भवतः । तत्र
Line 14: गजदन्तभवस्य (चापस्य) त्र्यश्रभुजस्य च मध्यान्तरसूत्रं⁹ शरः, तेन चापक्षेत्रफलद्वयसंयुति-
Line 15: मन्तस्त्र्यश्रे फले संयोज्य स्फुटं फलं भव(ती)ति । दिशा चानयाऽन्यदप्यवगन्तव्यम् ।
Line 16: ¹ दश हस्ताः····दे वदने पंचहस्त । ² कल्पनाया । ³ मध्यव्या किय··· तितिति । विष्कंभ-
Line 17: स्यत्वे लंबस्यार्धत्वे वदनप्रमाणेने । ⁴ भूः ५/२ वदनं ५/२ समासः ५ अर्धं ५/२ मध्यलंबेन ५
Line 18: २५/२ एत । ⁵ फलं २५ । ⁶ कोटिः सार्धा कोटिरियं भुजं । ⁷

क्षेत्रव्यवहारः १७५
श्रव(ण)लम्बप्रमाणापरिज्ञानेऽपि त्र्यश्रचतुरश्रक्षेत्रफलानयने करणसूत्रमार्यामाह—
भुजयुतिदलं चतुर्धा भुजहीनं तद्घातपदं गणितम् ।
सदृशासमलम्बानामसदृशलम्बे विषमबाहौ ॥ ११७ ॥
यानि सदृशानि१ तुल्यसकलभुजानि त्र्यश्राणि चतुरश्राणि च क्षेत्राणि, यान्यपि
चासदृशलम्बानि२ भूमुखवर्जं द्विसमभुजानि भूवर्जं३ च त्रिसमभुजानि तथाऽन्यानि यानि
विष(म)भुजानि च विषमलम्बानि, यदि वाऽसमलम्बान्यपि यावद्द्विषमबाहूनि, तेषु समस्तेषु
क्षेत्रेषु इदं सूक्ष्मगणितं यत् त्रिभुजे त्रयाणां चतुर्भुजे चतुर्णां भुजानां:योगस्य दलं चतुर्षु
स्थानेषु न्यस्तं त्रिभुजप्रस्तावे त्रिभुजैर्यथास्थानं हीनमहीनमेकत्र, चतुरश्रप्रसङ्गे चतुर्षु
स्थानेष्वेकैकस्मादपास्तैकैकभुजं विभागस्थित्या४ परस्परहतं तस्य मूलमिति५ ।
उदाहरणम्—
पूर्वत्रोदाहृतान्ये(व) क्षेत्राणि ।
अथ यत्र पदग्राह्यो राशिरमूलदो भवति न च वर्गप्रकृतिगणितयोरवसरश्च६ (तत्र)
करण्यन्तं गणितं कार्यमिति रूपेष्वत्र मन्तव्येष्वासन्नमूलग्रहणज्ञापनार्थमार्यामाह—
राशेरमूलदस्याहतस्य७ वर्गेण केनचिन्महता ।
मूलं शेषेण विना विभजेद् गुणवर्गमूलेन ॥ ११८ ॥
गृहीतशिष्यतो८ मूलर'शेरमुलदस्य सुव्यक्तमासन्नं९ मूलं ग्राह्यं यथा तस्य राशेः केन-
चिन्महता वर्गेण हतस्य मूलविधिना मूलं गृहीत्वा शेषं त्यजेत् (प्राप्तं मूलञ्च गुणवर्गमूलेन
विभजेत्) ।
अथ (पञ्चाश्रिणि त्रीणि त्रिभुजानि, तेषां फलानि क ३, क ३, क ३) । (अत्र) सङ्ख्या
३ 'करणीनां कृतिः कार्या राशेस्तु तुल्यतां गते'ति१० वर्गिता ६, राशिनैकेन ३ हता २७, एषां युतिः
क २७, एतत् पञ्चाश्रिणः क्षेत्रफलं, करण्यन्तं गणितं न भवतीति करणीत्वनिवृत्त्या प्रत्यासन्न-
मूलग्रहणार्थं सहस्रवर्गेण प्रयुतेन १०००००० गुणितस्य २७०००००० मूलं११ ५१६६, गुणव-
र्गमूलेन सहस्रेण १००० विभक्तं ५१६६/१०००, अतो लब्धं हस्ता ५ अङ्गुलानि ४ अङ्गुलभागाः
| १८८/१२५ | । षडश्राणि खल्वप्यत्र चत्वारि त्रिभुजानि (सम)द्विबाहुकान्युत्पद्यन्ते, तेन प्राग्वच्चत्वारि
त्र्यश्रफलानि क ३, क ३, क ३, क ३, प्राग्वदेव युतिः क ४८, अतः प्राग्वदेव प्रत्यासन्नं
मूलं१२ ग्राह्यं स्थूलसूक्ष्मफलयोश्च दूरा(ल्पा)न्तरत्वं निरूप्यम् ।
१ यानि सदृशानि । २ 'शसेमेलं । ३ भूवलं । ४ त्रिभागं । ५ स्वमूलविभक्तमिति ।
६ 'तिर्गणितचरश्च । ७ 'दस्णहं । ८ ग्रहीतशिष्यतो । ९ 'वतप्रमासं । १० करणीनां क्रिया
कार्या गतेतिवर्गितां........ राशिनैकेन.....हता २७ । ११ मूलं ५०६६ ।

१७६ क्षेत्रव्यवहारः
सप्ताश्रिणि मध्यचतुरश्रस्य कर्णानयनेन त्र्यश्रानयनम्, तेन च सर्वे सम(द्वि)भुजेऽस्तं
(न) यान्त्येवेति¹ पृथक्तयोः फलमानेयम् । अपरे हृदयात्कोणप्रापिभिः सूत्रैः त्र्यश्राण्युत्पादयन्ति,
तथात्वेऽश्रिसम्मितान्येव² त्र्यश्राणि द्विभुजसमान्येव जायन्ते कोणहृदयस्पृशां सर्वेषामपि
सूत्राणां समत्वादित्यलमतिविस्तरेण³ ॥ शम् ॥
¹ न्येवेति । ² तथात्वश्रिम्मि° । ³ °लमिति° ।

शुद्धिपत्रम्
पृष्ठ | पङ्क्ति | अशुद्ध | शुद्ध
२१ | १३ | ॰द्वयम् | ॰त्रयम्
३६ | २३ | ३/२ २̇/१̇/७̇/४̇ | ३/२ | ३/२ | ३/२ | | ३/२ २̇/१̇/७̇/४̇ | ३/२ | ३/२ | ३/२ + |
३६ | २५ | १९५/३०१ | १९५/३०१
३६ | २६ | चतुर्भिः कुडवैः प्रस्थ इति चतुर्गुणिते भाज्ये ३७०/३०१ | चतुर्भिः प्रस्थैः आढक इति चतुर्गुणिते भाज्ये ७८०/३०१ । लब्धं प्रस्थौ २ प्रस्थशेषम् १७८/३०१ प्रस्थाभावात् कुडवा लब्धव्याः । चतुर्भिः कुडवैः प्रस्थ इति चतुर्गुणिते भाज्ये ७१२/३०१
३६ | २७ | १७८/३०१ | ११०/३०१
४२ | १७ | ॰च्छेददाव्यय॰ | ॰च्छेदाव्यय॰
४८ | १ | १ ६/३ २/२/५ |

ग्रन्थेऽस्मिन् प्रयुक्तपारिभाषिकशब्दानाम्
अनुक्रमणिका
अंश २३, २६, २८-३२, ३४, अवनि १०६
३५, ७१ अवलम्ब १०६, १५६
अंश (=सुवर्णखण्ड) ७१ असदृशलम्ब १७५
अंश (=भाग) ७५ असमलम्ब १७५
अंशक २६ असमानचतुर्बाहु १७०
अग (=७) ७२ अहोरात्र ६
अगुण ८० आढक ५
अघनपद २१ आदि १६, ११०, ११३, ११८, १२०,
अङ्गुल ६, ४०, १६४, १७० १२५, १२६, १३०, १३४, १३६,
अनष्ट १२६, १३० १३६, १४१, १४५, १४८, १५३
अनुलोममार्ग १३ आद्य ४२
अन्तर्मृति ६६ आयतसमचतुरश्र १५६, १६१
अन्त्य १६, २१, ४२, १३७ आयराशि २५
अन्त्य (अंकस्थानसंज्ञा) ५ आयाम ४४, ४८, ४६
अन्त्यपद १६ आवर्त ६८
अन्त्यार्घ ७६ आहुति १३६
अन्यजाति ३७ इच्छा ३७, ८०
अन्यपक्ष ४५ इष्ट १६, १०६, १४१
अपगम १४ इष्टादिचय १०७
अब्ज ५ इष्टावलम्ब १०६
अभिन्नजाति ३७ ईप्सितकाल ५५
अभ्यस्त २६ उत्तर ११३, १२०, १३६, १४१, १५३
अभ्यास २०, ३१, ४५, १०५ उत्सार्य १३
अयुत ५ उद्धृत ५८, ७१
अर्ध ७७-७६ उपनय ५५
अर्बुद ५ ऋजुगति १५६
अवधा १५६ ऋण ३५

, १४८, १५२,
Right: गुणराशि १३
Left: १५६, १६७
Right: गुणित ४२, ७१
Left: कृतिसङ्कलित १५२
Right: गुण्य १३

Everything aligns perfectly line by line.
Looks great!१७८ अनुक्रमणिका
एक ५ गजदन्त १५६, १७१
एकदिनगति ४१ गजदन्ताकृति १७१
एकपत्र ५६, ६० गणित १, ६, ४२, ११०, १२६, १३०,
एकाद्युत्तरविधि ६७ १३६
कनक ६८ गणित (=क्षेत्रफल) १६१, १६५, १७०,
कर ६, १६१, १६४, १६५, १७०-१७३ १७१, १७२, १७५
कर्ष ५, ३७ गतकालफल ५८
कलासवर्ण २ गति ४१, ८४, ८६, ८७, १३६
कल्याणसुवर्ण ४७ गति (=सङ्कलित) १३६
कवाटसन्धि १३ गतिविशेष ८७
काकिणी ५, ३५ गम (=घटाना) १०२
काञ्चन ६७ गुञ्ज ५
[L

अनुक्रमणिका १७६
चाप १५६ निखर्व ५
चिति २ निजकाल ५३
छायां २ निरंशरूप १०३
छेद २६, २८, २६, ३१, ३२, ३४, ३५, नियुक्तराशि १६
४५, ७८ निर्विकल्पपद १२६, १२८
छेदगम ३१, ७६ नेमि १५६
छेदन २३ नेम्याकृति १७२
छेदमूल २८ नेम्याकार १७१
छेदसमत्व ७८
पक्व ६४
जीवविक्रय २ पङ्क्ति (=१०) ७२
पञ्चसप्तनवराशि २
तत्स्थ ३१ पण ५, ३५, ३७, ३८, ४८, ५०, ७५,
ताडित ६८ ८८, ११६, १३७
तुल्यच्छेद २५, २८, ७८ पष्य ७५, ७६
तुल्यत्रिभुज १६४ पद (=मूल) १०३, १०५, १०६, १७५
तुल्यहर ७६ पद (=गच्छ) ६, ७, ६, ११, १०८, ११०,
त्रिचतुर्भुज १५६ ११३, ११८, ११६, १२५, १२८,
त्रिभुज १७१, १७२ १२६, १३४, १४१, १४५, १४८,
त्रिराशि ३७ १५०, १५३
त्रैराशिक २ पद (=स्थान) १६, २१
पदवर्ग १५०, १५१
दण्ड ६ परार्द्ध ५
दल ३७ परिकर्म २
दश ५ परिपक्ववह्निभव ६६
दिवाकर (=१२) ७२
दृश्य १०१, १०३, १०५ पल ५, ३७, ३८, ६७, ७६, ८८
दैर्घ्य ४६ पाद ३३, ३४
द्रोण ३६, ४८, ४६ पार्श्वभुज १५६, १६१, १७०
द्वित्रिसमभुज १५६ पिण्ड ४६
द्विसमत्र्यश्र १६५ पुराण ५, ३५, ५२
पूर्वाप्र १०५
घन ३५, १२८-१३० प्रक्षेप ७३
घनयोग ५८
घरा १०८, १०६, १६२, १६७, १७१ प्रचय ११६, १२०, १४५, १५३

१८० अनुक्रमणिका
प्रतिबाहु १५६ भागापवाहजाति ३४
प्रतिलोम १४ भागोनरूप १०४
प्रत्युत्पन्न २, १३, २६ भाटक ८७, ८८, ९५, ११६
प्रत्युत्पन्नविधान १३ भाण्ड ६५
प्रभव १२८, १४५ भाण्डप्रतिभाण्ड ५०
प्रभाग २ भाव्यक ५५
प्रभागजाति ३१ भास्कर (= १२) ७२
प्रमाण ३७, ५४, ६० भिन्न २
प्रमाणराशि ५३ भुज १५६, १६२, १७५
प्रयुत ५ भू १०८–११०, १५६, १६१, १७०,
प्रस्थ ५, ७३, ७४ १७२
फल ३७, ४५, ४६, ५३–५५, ५८, ६०, भूमि १०८, १६१, १६४, १६५
७३, ७४, ८८, १०७, ११०, ११६,
१३४, १३६ मध्य ४२
फल (=सङ्कलित) १२०, १२५, १४१, मध्य (अङ्कस्थानसंज्ञा) ५
१४५, १५३ मध्यमलम्ब १६१, १७०
फल (=क्षेत्रफल) १६१, १६२, १६५, १६७, मध्यलम्ब १६१
१७३ मध्यविस्तर १७२
बालेन्दु १७१, १७२ मध्यव्यास १७३
बाहु १०८, १५६, १६१, १६५, १६७ मध्यायाम १७२, १७३
ब्रीहि ४८ महासरोज ५
मानान्तर ४२
भक्त २६, २७, ४२, ६०, ७१ मूल २, ८, १०, १२, १८, २१, २७
भाग २, १४, ३६, ७१, ९४ २८, ६५, १०३–१०५, १२०,
भागजाति २८ १३०, १७५
भागभाग २, ३१ मूल (=मूलधन) ४६, ५३–५५,
भागभागविधि ३१ मूलासन्न १०३
भागमाता २, ३६ मूल्य ५०, ७५
भागहार २
भागहारविधि १४ यव ६६
भागानुबन्ध २ युत ६२
भागानुबन्धजाति ३२ युति १६, २३, ७१, ७३, १७५
भागापवाह २ युतिवर्ण ६८
योग ३३, ३४, ६३, ८६, ८७

अनुक्रमणिका २८
योजन ६, ४०, ४१, ४८, ८५, ८६, वर्ष ६, ४६
८८, ११६, १३६ वल्याः सवर्णन ३५
रक्तिक ४३ बहुराशिपक्ष ४५
राशि १४ विकल १२६, १२८, १३०
राशि (व्यवहार) २ विपक्व ६६
रूप १० विपक्वकनक ६४
रूपविभाग १३ विपरीत १०६
रूपादिचय ६७ विपरीतीकृत ५०
लक्ष ५ विभाज्य १४
लम्ब १०८-११०, १५६, १६१, १६२, विलोमगति १३
१६५, १६७, १७१, १७२ विवर ११, १४१
लम्बक १०७, १०९, १६४ विश्लेष १४१
लेखक ५५, विषम १३४
वक्त्र १०८, १६१ विषमचतुरश्र १५६
वक्रगति १५६ विषमपद १८
वज्र १७१, १७३ विषमबाहु १७५
वज्रवत् १०८ विष्कम्भ ४४
वदन १०६, १५३, १६१, १६५, १६७, विस्तार १०७
१७३ वृत्त १५६
वध १६, ३०, ३४, ६४, ६७, ६८ वृत्ति ५५
वराटक ५, ३५ वृद्धि (=चय) १४५
वर्ग २, ६, १६, १८, २१, २७, ६५, वृद्धि १२६, १३६, १४८, १५२, १५३
१०३, १०६, १२५ १५०, १५३, वृद्धिधन ५३
१७५ व्यत्यास ४५
वर्गमूल १७५ व्ययराशि २५
वर्गयुति १५२ व्यवकलित २, ११, २५
वर्गसङ्कलित १५०, १५३, व्यवकलितपद ११
वर्ण ६३, ६४, ६६-६९, ७१, ७२ व्यवकलितशेष ११, १२
वर्णक ४३, ४४, ४७, ६३, ६४, ६६, व्यवहार २
६७, ७१ व्यस्त ७१
वर्णमालिका ६६ व्यस्त (त्रैराशिक) २
व्यास ४८, ४६

१८२ अनुक्रमणिका
शङ्कु ५ समलम्ब १७०
शत ५ समलम्बकचतुरश्र १६१
शर (=५) ७२ समहर ७६
शलाका ६६ समायोग २६
शून्यतत्व २ समावर्त ६७
शेष १०१, १७५ समास १६, ३३, ३५, ३६, ५८, १६१
शेषपद १६, २५ समुच्छ्रय ४६
शेषांश १०५ सम्भक्त २६
श्रीधराचार्य १ सरितां पतिः ५
श्रेढी २, ११० सहस्र ५, ६
श्रेढीक्षेत्र १०७, १०९, ११० सहित ३३
श्रेढीगणित १५३ सुवर्ण ५, ४०, ४३, ४४, ४७, ६४, ६७,
श्रेढीफल १५३ ६८
संगमकाल ८७ सूक्ष्मफल १५६
संयोग ३४ सेतिक ४३
संयोगवर्ण ६८ स्थानविभाग १३
सङ्कलित २, ६-९, ११, २४, २५, १२६, स्थूलफल १५६
१४८, १५२, १५३ स्वपादरहित ३४
सङ्कलितकृति १५१ स्वपादसहित ३३
सङ्कलितपद ११, १२ स्वयुति ५३
सङ्कलितसङ्कलित १५१, १५३ हत ६६
सङ्कलितसमास १५२ हति २८
सङ्कलितैक्य १५१ हनन ३०
सङ्गुणन १४ हर १४, २६, २९, ३०, ३२, ३४, ६७,
सङ्गुणित १०, १६१ १०५
सदृशच्छेद २३ हस्त ६, १६१, १६५, १७०-१७३
सदृशद्विराशिघात १६ हीन ३४
सम १३४ हृत ५३, ५८, ६६, ७१, ७२, ७५, १०४
समधन ७६ हेम ६३, ६७-६९, ७१
समचतुरश्र १६१

English Translation
OF THE
PATIGANITA
𝓘𝓷𝓭𝓸𝓵𝓸𝓰𝓲𝓬𝓪𝓵 𝓣𝓻𝓾𝓽𝓱𝓼

SRIDHARA'S
PATIGANITA
Homage and introduction :

1. Having paid obeisance to the Unborn God, the cause
   of creation, preservation and destruction of the worlds, I shall
   briefly state the (pâṭî)gaṇita for the use of the people.
   Contents:
   2-6. (The topics dealt with) here are the twenty-nine
   parikarmas (logisties) arranged as follows :
   (1) saṅkalita (addition),
   (2) vyavakalita (subtraction),
   (3) pratyutpanna (multiplication),
   (4) bhâgahâra (division),
   (5) varga (square),
   (6) varga-mûla (square root),
   (7) ghana (cube),
   (8) ghana-mûla (cube root),
   (9-16) the same (operations) for fractions,
   (17-22) reduction of fractions (kalâ-savarṇa) of six varieties,
   viz.,
   (i) bhâga (fractions connected by + or - ),
   (ii) prabhâga (fractions connected by “ of ”),
   (iii) bhâga-bhâga (a whole number divided by a frac-
   tion),
   (iv) bhâgânubandha (a whole number increased by a
   fraction, or a fraction increased by a fraction
   of itself),
   (v) bhâgâpavâha (a whole number diminished by a
   fraction, or a fraction diminished by a fraction
   of itself), and
   (vi) bhâgamâtâ (a blending of two or more fractions of
   previous forms),

2 DEFINITIONS
(23) trairâśika (rule of three),
(24) vyasta-trairâśika (inverse rule of three),
(25) pañca-râśika (rule of five),
(26) sapta-râśika (rule of seven),
(27) nava-râśika (rule of nine),
(28) bhâṇḍa-prati-bhâṇḍa (barter of commodities),
(29) jîva-vikraya (sale of living beings) ;
and the nine vyavahâras (determinations) arranged as follows :
(1) miśraka (mixtures),
(2) śreḍhî (series),
(3) kṣetra (plane figures),
(4) khâta (excavations),
(5) citi (piles of bricks),
(6) krâkaca (sawn pieces of timber),
(7) râśi (heaps or mounds of grain),
(8) châyâ (shadow), and then
(9) śûnya-tatva (the mathematics of zero).
DEFINITIONS
Names of notational places :
7-8. Eka, daśa, śata, sahasra, ayuta, lakṣa, prayuta, koṭi,
arbuda, abja, kharva, nikharva, mahâ-saroja, śaṅku, saritpati, antya,
madhya, and parârdha. are each stated to be ten times the pre-
ceding by those who have a knowledge of them.¹
That is to say, the units’ place is called eka, the tens’ place is called
daśa, the hundreds’ place is called śata, and so on.
Lists of names of notational places given by some writers extend
beyond 18 places. Of these, three are as follows :
Mahâvîra’s (850 A.D.) list : (1) eka, (2) daśa, (3) śata, (4) sahasra,
(5) daśa-sahasra, (6) lakṣa, (7) daśa-lakṣa, (8) koṭi, (9) daśa-koṭi, (10) śata-
koṭi, (11) arbuda, (12) nyarbuda, (13) kharva, (14) mahâ-kharva, (15) padma,
¹ Cf. GT, p. 1, vv. 2-3 ; L (ASS), vv. 10-11 ; GK, I, p. 1, vv. 2-3.

DEFINITIONS 3
(16) mahâ-padma, (17) kṣoṇî, (18) mahâ-kṣoṇî, (19) śaṅkha, (20) mahâ-śaṅkha,
(21) kṣiti, (22) mahâ-kṣiti, (23) kṣobha, and (24) mahâ-kṣobha.¹
Yallaya's (1480 A. D.) list : (1) eka, (2) daśa, (3) śata, (4) sahasra, (5)
ayuta, (6) lakṣa, (7) prayuta, (8) koṭi, (9) daśa-koṭi, (10) śata-koṭi, (11) arbuda,
(12) nyarbuda, (13) kharva, (14) mahâ-kharva, (15) padma, (16) mahâ-
padma, (17) śaṅkha, (18) mahâ-śaṅkha, (19) kṣoṇi, (20) mahâ-kṣoṇi, (21)
kṣiti, (22) mahâ-kṣiti, (23) kṣobha, (24) mahâ-kṣobha, (25) parârdha, (26)
sâgara, (27) ananta, (28) cintya, and (29) bhûri.²
Pâvaḷûri Mallikârjuna's list : (1) eka, (2) daśa, (3) śata, (4) sahasra,
(5) daśa-sahasra, (6) lakṣa, (7) daśa-lakṣa, (8) koṭi, (9) daśa-koṭi, (10) śata
koṭi, (11) arbuda, (12) nyarbuda, (13) kharva, (14) mahâ-kharva, (15) padma,
(16) mahâ-padma, (17) śaṅkha, (18) mahâ-śaṅkha, (19) kṣoṇi, (20) mahâ-kṣoṇi,
(21) kṣiti, (22) mahâ-kṣiti, (23) kṣobha, (24) mahâ-kṣobha, (25) nidhi,
(26) mahâ-nidhi, (27) parârdha, (28) parata, (29) ananta, (30) sâgara, (31)
avyaya, (32) aprameya, (33) atula, (34) ameya, (35) bhûri, and (36) mahâ-bhûri.³
Table of money-measures :
9. A purâṇa is equivalent to sixteen paṇas ; a paṇa is
equivalent to four kâkiṇîs ; and a kâkiṇî is equivalent to
twenty varâṭakas (cowries).⁴
Śrîpati's (1039 A.D.) dramma is equivalent to Śrîdhara's purâṇa.⁵
According to Nârâyaṇa (1356 A. D.) :⁶
12 paṇas = 1 dramma,
36 drammas = niṣka.
Table of weights :
10. A mâṣa is equal (in weight) to five guñjâs (Abrus
seeds) ; a weight of sixteen mâṣas is called a karṣa ; a karṣa of
gold is called a suvarṇa ; and four karṣas make a pala.⁷
Nârâyaṇa mentions one more weight, viz., tulâ, which is equal to
100 palas.⁸

¹ See GSS, i. 63-68.
² This list is given in the end of Yallaya's commentary on Â. ii.
³ This list is given in Pâvalûri Mallikârjuna's Gaṇita-śâstra.
⁴ Cf. GT, p. 2, vs. 4 ; L (ASS), vs. 2.
⁵ See GT, p. 2, vs. 4.
⁶ See GK, I, p. 1, vs. 4.
⁷ Cf. GK, I, p. 2, vs. 5.
⁸ See GK, I, p. 2, vs. 5.

4 DEFINITIONS
Table of measures of capacity :
11. A khârî is equal to sixteen droṇas ; a droṇa is equal
to four âḍhakas ; an âḍhaka is equal to four prasthas ; and a
prastha is equal to four kuḍavas.¹
The terms droṇa, âḍhaka and kuḍava are also found to be mentioned
in the Vedâṅga-Jyautiṣa,² where an âḍhaka is defined to be a vessel capable
of holding 50 palas of water.
According to the commentator of the present work there are 3200 palas
in a khârî, so that
1 droṇa = 200 palas,
1 âḍhaka = 50 palas,
1 prastha = 12½ palas,
and 1 kuḍava = 3⅛ palas.
Thus we see that the âḍhaka used in the time and locality of the com-
mentator was the same as that used in the time of the Vedâṅga-Jyautiṣa.
From the Triśatikâ³ of Śrīdhara and the Lîlâvatî⁴ of Bhâskara II
(1150 A D.) it appears that the khârî used in Magadha was equivalent to
a cubic cubit. Nârâyaṇa's khârî is equivalent to 5 cubic cubits.⁵
Table of linear measures :
12. Twenty-four aṅgulas (finger-breadths) make a hasta
(cubit) ; four hastas make a daṇḍa (staff) ; two thousand of
them make a krośa ; and four krośas make a yojana.⁶
Nârâyaṇa's daṇḍa is bigger than Śrīdhara's, being equivalent to 10
cubits ; but his other measures are the same as those given here.⁷
Table of time-measures :
13. Sixty ghaṭîs make a nychthemeron (a day-and-night) ; ⁸
thirty of them make a month ; twelve of them make a year.
These are the definitions (used) in this (pâṭî) gaṇita.
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
¹ Cf. GSS, i. 36-37 ; L (ASS), vv. 7-8.
² See Ârca-Jyautiṣa, vs. 17 ; Yâjuṣa-Jyautiṣa, vs. 24.
³ See râśi-vyavahâra.
⁴ See L (ASS), p. 10, vs. 7.
⁵ See GK, I, p 3, vv. 10-13.
⁶ Cf. GSS, i. 29-31(i) ; GK, I, pp. 2-3.
⁷ See GK, I, p. 2, vv. 6 ii)-7(i).
⁸ Thus 1 ghaṭî = 24 minutes.

LOGISTICS 5
LOGISTICS (Parikarma)
(1) Addition (saṅkalita)
Rule for finding the sum of a series of natural numbers :
14(i). When the first term (ādi) and the common differ-
ence (caya) of a series (in arithmetic progression) are (each)
unity, the sum (saṅkalita) is equal to half the number of terms
(pada) multiplied by the number of terms plus one.¹
That is,
Sₙ = 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1) / 2 .
Rule for finding the number of terms of a series of natural
numbers when the sum is given :
14(ii). The number of terms (gaccha) is equal to the
(integral) square root of twice the sum of the series, which
must be the same as the residue left (after the extraction
of the square root).
That is,
n = integral part of √(2 Sₙ) .
Ex. 1. What are the sums of 1 to 10, each multiplied
by 10, terms of the series whose first term and common
difference are each unity ? Also, from those sums quickly say
the number of terms of the (various) series.
*‘1 to 10, each multiplied by 10’ means 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80,
90 and 100.
Alternative rules :
15. Or, the sum of a series (of natural numbers) is
equal to one-half of—the square of the number of terms plus
the number of terms.
And that (sum) multiplied by 8, (then) increased by 1,
(then) reduced to its square root, (then) diminished by 1,

¹ Cf. GK, I, p. 114, lines 15-16.

6 LOGISTICS
and (then) halved, is the number of terms (in the series).
That is,
Sₙ ≡ 1 + 2 + 3+.... + n = (n² + n) / 2 ,
and n = (√(8 Sₙ + 1) - 1) / 2 .
(2) Subtraction (vyavakalita)
Rule for finding the remainder accruing on subtracting one
series of natural numbers (‘subtrahend series’) from another
series of natural numbers (‘minuend series’) :
16. Having added (nidhāya) the number of terms of the
subtrahend series (vyavakalita-pada) plus one to the number of
terms of the minuend series (saṅkalita-pada), multiply that (sum)
by the difference of the number of terms (of the two series) :
that (product), when halved, becomes the residue of subtrac-
tion (of the given series).
That is,
Sₙ - Sₘ = (n - m) [n+ (m+1)] / 2 ,
where n > m, and Sₖ stands for
1 + 2 + 3 +...+ k .
Ex. 2. What are the respective remainders obtained
when the sums of 1 to 10, each multiplied by 10, terms of the
series whose first term and common difference are (each)
unity are severally subtracted from the sum of 100 terms (of
the same series) ?
Rule for finding the number of terms of the subtrahend series,
when the difference of the minuend and subtrahend series as
well as the number of terms of the minuend series is given :
17. Having subtracted the residue of subtraction (i.e.,
the difference of the minuend and subtrahend series) from
the sum of the minuend series, and multiplied the remainder
(obtained) by 2, the square root thereof, which must be equal

MULTIPLICATION 7
to the residue left (after the extraction of the square root),
should be declared as the number of terms (of the subtrahend
series).
That is, m = integral part of √2[Sₙ - D] ,
where D ≡ Sₙ - Sₘ .
(3) Multiplication (pratyutpanna)
Four methods of multiplication :
18-19. Having placed the multiplicand (guṇya) below
the multiplier (guṇa-rāśi) as in the junction of two doors,
multiply successively in the inverse or direct order, moving
(the multiplier) each time. This process is known as kavāṭa-
sandhi ("the door-junction method").
When the multiplication ( pratyutpanna ) is performed by
keeping that (i.e., the multiplier) stationary, the process is
called tatstha (i.e., "multiplication at the same place") on that
account.¹
20. The process of multiplication called khaṇḍa (or
khaṇḍa-guṇana, "multiplication by parts") is of two varieties
(called rūpa-vibhāga and sthāna-vibhāga), depending on whether
the multiplicand or multiplier is broken up into two or more
parts whose sum or product is equal to it, or the digits stand-
ing in the different notational places (sthāna) of the multipli-
cand or multiplier are taken separately.
These are the four methods of multiplication.²
For details of these methods, see B. Datta and A. N. Singh, History
of Hindu Mathematics, Part I, pp. 136-143, and 146-149.
Ex. 3. Multiply 1296 by 21, 896 by 37, and 8065 by 60.
Operations with cipher :
21. When something is added to cipher, the sum is

¹ See Siṁhatilaka Sūri's comm. on Śrīpati's Gaṇita tilaka, Rule 15-
16(i). The tatstha method of multiplication has been called tatsthāna-guṇana
by Gaṇeśa See L (ASS), p. 17.
² Cf. GSS, ii. 1 ; GT, pp. 4-5, vv. 15-16(i). Also see MSi, xv. 3 ;
SiŚe, xiii. 2 ; GK, I, p. 4, vv. 13-14.

8 LOGISTICS
equal to the additive (kṣepa) ; when cipher is added to or
subtracted from a number, the number remains unchanged.
In multiplication and other operations on cipher, the result is
cipher. Multiplication (of a number) by cipher also yields
cipher.¹
That is, 0 + a = a,
a ± 0 = a,
0 × a or 0 ÷ a = 0,
a × 0 = 0.
(4) Division (bhāgahāra)
Rule for division :
22. Having removed the common factor, if any, from
the divisor and the dividend, divide (by the divisor the digits
of the dividend) one after another in the inverse order : this
is the method of division. ²
Âryabhaṭa II (c. 950 A.D.) gives more details of the process :
“Having placed the divisor underneath the (last digits) of the
dividend, subtract the proper multiple of the divisor from the (last digits
of the) dividend ; the multiple (thus obtained) is the (partial) quotient
Next having moved the divisor (one place to the right) divide what
remains. (Continue this process until all the digits of the dividend have
been taken).”³
(5) Squaring (varga)
Rule for squaring :
23. To obtain the square of a number (proceed suc-
cessively as follows) : Having squared the last digit (antya-
pada) (i.e., having written the square of the last digit over the
last digit), multiply the remaining digits by twice the last,
moving it from place to place (towards the right, and set down
the resulting products over the respective digits); then (rub
out the last digit and) move the remaining digits (one place
to the right).⁴
¹ Cf. GSS, i. 49 ; MSi, xv. 10(ii)-11(i) ; GK, I, p. 13, vs. 30.
² Cf. GSS, ii. 19 ; GT, p. 6, lines 21-24 ; L (ASS), I, vs. 18(ii) ;
GK, I, p. 5, vs. 16(ii).
³ MSi, xv. 4. Also see SiŚe, xiii. 3 ; L (ASS), I, vs. 18(i) ; GK, I,
p. 5, vs. 16(i).
⁴ Cf. GSS, ii. 31 ; GT, p. 7, lines 24-25 ; L (ASS) I, 19 ; GK, p. 6,
vs. 17.