बीजगणितम् (भास्कराचार्य द्वितीय - प्राचीन भारतीय समीकरण एवं बीजगणित सूत्र सटीक)

६३ बीजगणिते
या १ रु १५̇
अत्र यूथप्रमाणम् = या १ । अत्र पञ्चांशकस्त्र्यूनः = ─────────
५
याव १ या ३०̇ रु २२५ याव १ या ३०̇ रु २५०
वर्गितः=────────────────── एतदेकेन युतः = ──────────────────
२५ २५
यूथसम इति पक्षौ समच्छेदीकृत्य छेदगमे शोधने च कृते जातौ
याव १ या ५५̇ रु ० ।
याव ० या ० रु २५० ।
एतौ चतुर्भिः संगुण्य पञ्चपञ्चाशद्वर्गं ३०२५ प्रक्षिप्य मूले
या २ रु ५५̇ ।
या ० रु ४५ ।
अत्रापि प्राग्वल्लब्धं द्विविधं मानम्-५०, ५। (१)"द्वितीयमत्र न ग्रा-
ह्यमनुपपन्नत्वात् । न हि व्यक्ते ऋणगते लोकस्य प्रतीतिरस्तीति" ।
उदाहरणम् ।
कर्णस्य

अव्यक्तवर्गादिसमीकरणम् । ६७
या ४ रू ६ं३ ।
या ० रू २७ ।
पक्षयोः पुनः समीकरणं कृत्वा प्राग्वल्लब्धं द्विविधं यावत्तावन्मान-
म् = ४५/२, ९ । उत्थापिते छाये च ४५/२, ९ । द्वितीयच्छाया चतुर्दशभ्यो
न्यूनतातोऽनुपपन्नत्वान्न ग्राह्याऽत उक्तं द्विविधं क्वचिदिति ।
अत्र पद्मनाभबीजे ।
"व्यक्तपक्षस्य चेन्मूलमन्यपक्षर्णरूपतः ।
अल्पं धनर्णगं (१) कृत्वा द्विविधोत्पद्यते मितिः ॥"
इति यत् परिभाषितं (२) तस्य व्यभिचारोऽयम् ।
उदाहरणम् ।
चत्वारो राशयः के ते मूलदा ये द्विसंयुताः ।
द्वयोर्द्वयोर्यथासङ्गघाताश्चाष्टादशान्विताः ॥ ११ ॥
मूलदाः सर्वमूलैक्यादेकादशयुतात् पदम् ।
त्रयोदश सखे

s just 'क्षे १̇'!
Then 'क्षेव १'.
Then: "अत्र यदि याव. क्षे १ या.का. क्षे १ काव क्षे १ शिष्यते"
Wait, why does it say:
"अत्र यदि याव. क्षे १ या. का. क्षे १ काव क्षे १ शिष्यते" or "क्षेप १"?
Look at the text:
"अत्र यदि याव. क्षे १ या.का. क्षे १ काव क्षे १ शिष्यते"
Wait, does it have dots on those 1s?
Look at line 17:
"याव. क्षे १̇ या. का. क्षे २̇ काव क्षे १̇"?
Wait, look at line 18:
"तदा जातोऽयं याव. काव १ या.का.क्षे. २̇ क्षेव १ वर्गो यस्य मूलम् या.का १ क्षे १̇ इदम् ।"
Wait, look at line 18:
"या.का.क्षे. २̇" - yes, 2 with a dot, or 2 with negative!
Wait, look at the dot above २: yes, "या.का.क्षे. २̇"!
Wait, and in line 17:
"याव. क्षे १ या.का. क्षे २̇ काव क्षे १" or is it "क्षे १"?
Wait, in line 17:
"अत्र यदि या

क्षेत्रस्य फलम् = १५०
एतद्विषमत्र्यस्रचतुष्टयेन कर्णसमं चतु-
र्भुजं क्षेत्रमन्यत् कर्णज्ञानार्थं कल्पितम् ।
(१) वि० श०—भास्कराचार्येणाद्यार्धवत् कल्पना कृता तावतैवातिपरिचि-
ताऽऽसीत् तर्हि मध्यमाहरणसम्बन्धमात्रप्रदर्शनं ग्रन्थकृतां प्रागुक्त पूज्यचरणानामिह वा-
सना रुचिरा ।
(२) वि० श०—अत्र रूढस्य तत्कृतियोगपदमिति व्यक्तगणिताज्जायमानस्या-
स्य भुजकोटिवर्गयोगपदरूपाया सुखैवोपपत्तिरत्रानेति ।
(३) वि० श०—रे० ६ प्र० ८ मी-प्रतिज्ञावदिति ।
(४) वि० श०—सजातीये भवत इति ।

This is accurate, strictly follows the image, and fulfills all user requirements.अव्यक्तवर्गादिसमीकरणम् । ६९
इयं (१)कल्पना गणितेऽतिपरिचिता स्यात् ।
उदाहरणम् ।
[L

७८ बीजगणिते
एवं मध्ये चतुर्भुजमुत्पन्नमथ कोटिभुजान्तरसमं भुजमानम् = ५ ।
अस्य फलम् = २५ ।
भुजकोटिग्धो द्विगुणस्त्र्यस्राणां चतुर्णां फलम् = ६०० । एतद्योगः
सर्वं बृहत्क्षेत्रफलम् = ६२५ । एतद्यावत्तावद्वर्गसमं कृत्वा लब्धं कर्ण
मानम् = २५ । यत्र व्यक्तस्य न पदं तत्र करणीगतः कर्णः ।
एतत्करणसूत्रे वृत्तम् ।
दो.कोट्यन्तरवर्गेण द्विघ्नो घातः समन्वितः ।
वर्गयोगसमः स स्याद्द्वयोरव्यक्तयोर्यथा ॥ १४ ॥
अतो लाघवार्थं (१)दोःकोटिवर्गयोगस्य पदं कर्ण इत्युपपन्नम्। तत्र
तान्येव क्षेत्रस्य खण्डान्यन्यथा विन्यस्य दर्शनम् ।
(१) वि० रा०-दो कोट्यन्तरवर्गेण युतश्च द्विघ्नभुजकोटिघातस्तस्यैक्यस्य श्रुतिरिति ।

अव्यक्तवर्गादिसमीकरणम् ७१
उदाहरणम् ।
भुजात् त्र्यूनात् पदं व्येकं कोटिकर्णान्तरं सखे ।
यत्र तत्र वद क्षेत्रे दोःकोटि-(१)श्रवणाम्मम॥ १५ ॥
अत्र कोटिकर्णान्तरमिष्टम्=२। अतो विलोमेन भुजः=१२। तद्यथा
गदितमिष्टम्=२। अस्य सरूपस्य ३ वर्गः=९। त्रियुतः=१२। अस्य
वर्गः=१४४। तत्कोटिकर्णवर्गान्तरम्। अतो "राश्योर्वर्गान्तरं योगा-
न्तरघातसमं स्यात्" वर्गो हि समचतुरस्रक्षेत्रफलम्।
अयं किल सप्तवर्गः ४९।
(१) वि० दा०-श्रवणं श्रुनिश्चयतः श्रवण इति विशद इति शिष्टप्रमुख
परम्परीणः ।

७२ बीजगणिते
अस्मात् पञ्चवर्गं २५ विशोध्य शेषस्य २४ दर्शनम् ।
इहान्तरं द्वौ २। योगो द्वादश १२। योगान्तरघातसम-२४ कोष्ठ-
कानि वर्तन्ते । तद्दर्शनम् ।
इत्युपपन्नं "वर्गान्तरं योगान्तरघातसमम्" इति । अत इदं वर्गा-
न्तरं १४४ कल्पितकोटिकर्णान्तरेण २ भक्तं जातम् = ७२ । अयं योगो
द्विधाऽन्तरेणोनयुतोऽर्धित इति संक्रमणेन जातौ कोटिकर्णौ ३५,
३७। एवमेकेन भुजकोटिकर्णाः ७, २४, २५। त्रिभिः १२, १३५/६,
१५३/६ । चतुर्भिर्वा २८, ९६, १०० । एवमनेकधा । एवं सर्वत्र ।
अस्य सूत्रं वृत्तम् ।
वर्गयोगस्य यद्राश्योर्युतिवर्गस्य चान्तरम् ।
द्विघ्नघातसमं स्यादुक्तयोरव्यक्तयोर्यथा ॥ १६ ॥
अत्र राशी ३, ५। अनयोर्युतिवर्गः=६४ । तयोर्वर्ग

अव्यक्तवर्गादिसमीकरणम्। ७३
तं स्वरूपाणि यथा—
अव्यक्त करणसूत्रं वृत्तम्।
चतुर्गुणस्य घातस्य युतिवर्गस्य चान्तरम्।
राश्यन्तरकृतेस्तुल्यं द्वयोरव्यक्तयोर्यथा ॥ १७ ॥
अत्र राशी ३, ५। अनयोर्युतिवर्गात् चतुर्षु कोणेषु घातचतुष्टये-
ऽपनीते मध्ये राश्यन्तरवर्गसमानि कोष्ठकानि दृश्यन्त इत्युपपन्नम्।
१०

७४ बीजगणिते
तद्दर्शनम् ।
उदाहरणम् ।
चत्वारिंशद्युतिर्येषां दोःकोटिश्रयसां वद ।
भुजकोटिवधो येषु शतं विंशतिसंयुतम् ॥ १८ ॥
अत्र किल भुजकोट्योर्वधो द्विगुणः = २४० । तद्युतिवर्गस्य वर्गयो-
श्चान्तरं यो हि भुजकोट्योर्वर्गयोगः स एव कर्णवर्गः । अतो भुज-
कोटियुतिवर्गस्य कर्णवर्गस्य चान्तरमिदं २४० योगान्तरघातसमं
स्यात् । अत इदमन्तरं २४० योगेनानेन ४० भक्तं जातं भुजकोटियु-
तिकर्णान्तरम् = ६ । "योगोऽन्तरेणोनयुतोऽर्धित" इत्यादिना संक्रमणेन
जातो भुजकोटियोगः = २३ । कर्णः = १७ । "चतुर्गुणस्य घातस्य" इति
भुजकोटियुतिवर्गादस्मात् ५२९ चतुर्गुणघातेऽस्मिन् ४८० शोधिते
शेषं जातो दोःकोट्यन्तरवर्गः = ४९ । अस्य मूलम् ७

अव्यक्तवर्गादिसमीकरणम् । ७५
अनयोरन्तरम्=यां ११२ रू ३१३६। एतद्विघातस्यास्य ८४००/या १ ।
सममिति समच्छेदीकृत्य छेदगमे जातौ पक्षौ
याव ११२ या ३१३६ रू ० ।
याव ० या ० रू ८४०० ।
एतौ द्वादशाधिकशतेनापवर्त्य शोधितौ जातौ
याव १ या २८ रू ० ।
याव ० या ० रू ७५ ।
एतौ रूपेण संगुण्य चतुर्दशवर्गसमरूपाणि प्रक्षिप्य मूले
या १ रू · १४ ।
या ० रू ११ ।
उक्तवच्छोधने कृते लब्धं यावत्तावन्मानम्=२५। अत्र विकल्पेन
द्वितीयं कर्णमानम्=३ उत्पद्यते। एतदनुपपन्नत्वान्न ग्राह्यम्। अत्र पृच्छायां
घातः=४२००। कर्ण-२५भक्तो जातो भुजकोटिवधः=१६८। तथैवं
भुज

७६ बीजगणिते
थोदाहरणमानीयते । अव्यक्तकल्पनया तु महती क्रिया भवति ।
इति भास्करीये बीजगणितेऽव्यक्तवर्गादिसमीकरणं (एकवर्णसम्ब-
न्धि मध्यमाहरण) समाप्तम् ।
───────────────────────
अथानेकवर्णसमीकरणं बीजम् । यत्र सूत्रं सार्धवृत्तत्रयम् ।
आद्यं वर्णं शोधयेदन्यपक्षा-
दन्यान् रूपाण्यन्यतश्चाद्यभक्ते ।
पक्षेऽन्यस्मिन्नाद्यवर्णोन्मितिः स्याद्-
वर्णस्यैकस्योन्मितीनां बहुत्वे ॥ १ ॥
समीरतच्छेदगमे तु ताभ्य-
स्तदन्यवर्णोन्मितयः प्रसाध्याः ।
अन्त्योन्मितौ कुट्टविधेर्गुणाप्ती
ते भाज्यतद्भाजकवर्णमाने ॥ २ ॥
अन्येऽपि भाज्ये यदि सन्ति वर्णा-
स्तन्मानमिष्टं परिकल्प्य साध्ये ।
विलोमकोत्थापनतोऽन्यवर्ण-
मानानि भिन्नं यदि मानमेवम् ॥ ३ ॥
भूयः कार्यः कुट्टकोऽत्रान्त्यवर्णं
तेनोत्थाप्योत्थापयेद्व्यस्तमाद्यन् ॥
इदमनेकवर्णसमीकरणं बीजम् । यत्रोदाहरणे द्वित्र्यादयोऽव्यक्तर-
शयो भवन्ति तेषां यावत्तावदादयो वर्णा मानेषु कल्प्यास्तेऽत्र
पूर्वाचार्यैः कल्पिता । यावत्तावत्,-कालक,-नीलक,-पीतक,-लोहि-
तक,-हरितक,-श्वेतक,-चित्रक,-कपिलक,-पिङ्गलक,-धूम्रक,-पाटलक,

= क^२ + २ भु.को, अतः   यो^२ - २यो.क = २ भु. को = २ ष / क   अतः
यो^२क - २ यो. क^२ = २ व. ∴ २क^२. यो - यो^२. क = - २ व ।
अतः क^२ - (यो ० क / २) + (यो / ४)^२ = (यो / ४)^२ - ष / या . ∴ क - यो / ४ = य . ∴ क =
+ प  यो / ४ - अतो विशेषोऽयमुपपन्नम् ।

अनेकवर्णसमीकरणम् । •७७
शवलक,-श्यामलक,-मेचक,-इत्यादि अथवा । (१) कादीन्यक्षराणि अ-
व्यक्तानां संज्ञा असंकरार्थं कल्प्याः । अतः प्राग्वदुद्देशकालापविधिं
कुर्वता गणकेन पक्षौ समौ कार्यौ पक्षा वा समाः कार्याः । ततः
सूत्रावतारोऽयम् ।
तयोः समयोरेकस्मात् पक्षादितरपक्षस्याद्यं वर्णं शोधयेत् तदन्य-
वर्णान् रूपाणि च इतरपक्षाच्छोधयेत् । तत आद्यवर्णशेषेणेतरपक्षे भक्ते
भाजकवर्णोन्मितिः । बहुषु पक्षेषु ययोर्द्वयोः साम्यमस्ति तयोरेवं
कृते सति अन्या उन्मितयः स्युः । ततस्तासून्मितिषु एकवर्णोन्मितयो
यद्यनेकधा भवन्ति ततस्तासां मध्ये द्वयोर्द्वयोः समीकृतच्छेदगमेनाद्यं
वर्णं शोधयेदित्यादिनाऽन्यवर्णोन्मितयः स्युः । एवं (क) यावत्तावत्स-
म्भवः । ततोऽन्त्योन्मितौ भाज्यवर्णो योऽङ्कः स भाज्यराशिर्यो भाज-
के स भाजकः । रूपाणि क्षेपः । अतः कुट्टकविधिना यो गुण उत्पद्यते
तद्भाज्यवर्णमानं या लब्धिस्तद्भाजकवर्णमानं तयोर्मानयोर्दृढभाजक-
भाज्याविष्टेन वर्णेन गुणितौ क्षेपकौ कल्प्यौ । ततः स्वस्वमानेन सक्षे-
पेण पूर्ववर्णोन्मितौ वर्णावुत्थाप्य स्वच्छेदेन हरणे यल्लभ्यते तत्पूर्व-
वर्णस्य मानम् । एवं विलोमकोत्थापनेतोऽन्यवर्णमानानि भवन्ति ।
यदि त्वन्त्योन्मितौ द्वयादयो वर्णा भवन्ति तदा तेषामिष्टानि मानानि
कृत्वा स्वस्वमानैस्तानुत्थाप्य रूपेषु प्रक्षिप्य कुट्टकः कार्यः ।
अथ यदि विलोमकोत्थापने क्रियमाणे पूर्ववर्णोन्मितौ तन्मि-
तिर्भिन्ना लभ्यते तदा कुट्टकविधिना यो गुण उत्पद्यते सक्षेपः स
भाज्यवर्णमानं तेनान्त्यवर्णमानेषु तं वर्णमुत्थाप्य पूर्वोन्मितिषु विलो-
मकोत्थापनप्रकारेणान्यवर्णमानानि साध्यानि । इह यस्य वर्णस्य
यन्मानमागतं व्यक्तमव्यक्तं व्यक्ताव्यक्तं वा तस्य मानस्य व्यक्ताङ्केन
गुणने कृते तद्वर्णाक्षरस्य निरसनमुत्थापनमुच्यते ।
उदाहरणानि ।
माणिक्यश्यामलनीलमौक्तिकमितीरिति ॥ १ ॥
(१) वि०सं०-"अथ या-का-दीन्यक्षराणि" इति पाठो युक्तः यतो "नामैकदेशग्र-
हणे नामग्रहणम्" इत्यतः या,का,नी,पी,इत्यादीन्यक्षराणि अव्यक्तानां संज्ञा असंकरार्थं
पृथग्भूतार्थं कल्प्या इति । अत्र "अथवा कादीन्यक्षराणि" क, ख, ग-इत्याद्यक्षराणि
एवमर्थं विधाय परम्परात्- पाठः स्वीक्रियते इति विद्वद्भिर्विवेचनीयम् ।
(क) वि.सं.-"एवं तावद्यावत्संभवम्" इति साधुः पाठः ।

७८ बीजगणिते
अथ माणिक्यादीनां मौल्यानि यावत्तावदादीनि प्रकल्प्य तद्गु-
णरत्नसंख्यां च कृत्वा रूपाणि च प्रक्षिप्य समशोधनार्थं
न्यासः—या ५ का ८ नी ७ रू ९० ।
या ७ का ९ नी ६ रू ६२ ।
आद्यं वर्णं शोधयेदित्यादिना जाता यावत्तावदुन्मितिः
या = का १̇ नी १ रू २८
२
इयमेकैव, एकत्वादियमेवान्यतोऽद्य कुट्टकः कार्यः । इह भाज्ये
वर्णद्वयं वर्त्ततेऽतो नीलकमानमिष्टं रूपं १ कल्पितम् । अनेन नीलक-
मुत्थाप्य रूपेषु प्रक्षिप्य जातम् या = का १̇ रू २९
२
अतः कुट्टकविधिना "हरतष्टे धनक्षेपे"—इत्यादिना गुजाती
सक्षेपे पी २ रू १ ।
पी १̇ रू १४ ।
अत्र शून्येन पीतकमुत्थाप्य जातानि माणिक्यादीनां मौल्यानि
१४, १, १ । अथवैकेन १३, ३, १ । द्वाभ्यां वा १२, ५, १ । त्रिभिर्वा
११, ७, १ । एवमिष्टवशादानन्त्यम्(१) ।
उदाहरणम् ।
एको ब्रवीति मम देहि शतमिति ॥ २ ॥
अत्र धने या १, का १ । परधनाच्छतमपास्य पूर्वधने शतं प्रक्षि-
प्य जातं या १ रू १००, का १ रू १००̇ परधनादाद्यं द्विगुणमिति
परधनेन द्विगुणेन समं कृत्वा लब्धा यावत्तावदुन्मितिः
या = का २ रू ३००̇
पुनराद्यधनाद्दशस्वपनीतेषु परधने क्षिप्तेषु जातम्
या १ रू १०̇ ।
का १ रू १० ।
(१) वि०सं०—चतुर्दशमिते पीतकमाने कल्पिते यामाने शून्यमत इष्टवशादान-
न्त्यमित्यसमञ्जसमिव । उक्तोदाहरणे या = का १̇ नी रू २८ / २ अत्र भाज्यस्थवर्णयोर्वा
का-मानमिष्टं परिकल्प्य यामानमानीयते तदेष्टवशादानन्त्यमिति साधु ।

अनेकवर्णसमीकरणम् । ७९
आद्यादपरः षड्गुण इति आद्यं षड्गुणं परसमं कृत्वा लब्धं
यावत्तावदुन्मानम् या=का १ रु ७०/६ ।
अनयोः कृतसमच्छेदयोश्छेदगमे समीकरणं तत्रानेन वा एक-
वर्णत्वात् पूर्वबीजेनागतं कालकवर्णमानम् का=१७० ।
अनेन यावत्तावदुन्मानद्वयेऽपि कालकमुत्थाप्य रूपाणि प्रक्षिप्य
स्वच्छेदेन विभज्य लब्धं यावत्तावदुन्मानम् या=४० ।
उदाहरणम् ।
अश्वाः पञ्चगुणाङ्गमङ्गलमिता येषां चतुर्णां धना-
न्युष्ट्राश्च द्विमुनिश्रुतीक्षितिमिता अष्टद्रिभूपावकाः ।
तेषामश्वतरा वृषा मुनिमहीनेत्रेन्दुसंख्याः क्रमात्
सर्वे तुल्यधनाश्च ते वद सपञ्चाश्वादिमौल्यानि मे ॥ ३ ॥
अश्वाश्वादीनां मौल्यानि यावत्तावदादीनि प्रकल्प्य तद्गुणगुणि-
तायामश्वादिसंख्यायां जातानि चतुर्णां धनानि ।
प्रध=या ५ का २ नी ८ पी ७ ।
द्विध=या ३ का ७ नी २ पी १ ।
तृध=या ६ का ४ नी १ पी २ ।
चध=या ८ का १ नी ३ पी १ ।
एतान् समानीत्येषां प्रथमद्वितीययोः साम्यकरणाल्लब्धा याव-
त्तावदुन्मितिः या=का ५ नी ६ं पी ६ं/-२ ।
द्वितीयतृतीययोरप्येवं लब्धा यावत्तावदुन्मितिः
या=का ३ नी १ पी १ं/३ ।
एवं तृतीयचतुर्थयोः या=का ३ नी २ं पी १/२ ।
पुनरासां मध्ये प्रथमद्वितीययोः समीकृतच्छेदगमे साम्यकरणेन
लब्धा कालकोन्मितिः का=नी २० पी १६/९ ।
एवं द्वितीयतृतीययोरपि का=नी ८ पी ४/३ ।

८० बीजगणिते
, अनयोः समच्छेदीकृतयोः साम्यकरणेन लब्धं नीलकोन्मानम्
नी = पी ३१ / ४ । (१)
अन्योन्मितौ कुट्टविधेर्गुणाप्ती इति कुट्टककरणेन लब्धो गुणकः
सक्षेपः = लो ४ रु ० एतत् पीतकमानम् । लब्धिः = लो ३१ रु ० एतन्नी-
लकमानम् । कालकोन्मानेन नीलकपीतौ स्वस्वमानेनोत्थाप्य स्वच्छे-
देन विभज्य लब्धं कालकमानम् = लो ७६ रु ० । अथ यावत्तावन्माने
कालकादीन् स्वस्वमानेनोत्थाप्य स्वच्छेदेन विभज्य लब्धं यावत्ताव-
न्मानम् = लो ८५ रु ० । लोहिते रूपेणैकेनोत्थापिते जातानि यावत्ता
वदादीनां परिमाणानि ८५, ७६, ३१, ४ । द्विकेनेष्टेन १७०, १५२, ६२,
८ । त्रिकेण २५५, २२८, ९३, १२ । एवमिष्टवशादानन्त्यम् ।
उदाहरणम् ।
(२) त्रिभिः पारावताः पञ्च पञ्चभिः सप्त सारसाः ।
सप्तभिर्नव हंसाश्च नवभिर्बर्हिणां त्रयम् ॥ ४ ॥
द्रम्मैर्व्याप्यते द्रम्मशतेन शतमानय ।
एषां पारावतादीनां विनोदार्थं महीपते ॥ ५ ॥
(१) वि० टी० — अत्र नीलकमानमभिन्नमपेक्षते चेत्तदंशं पीतकमानं चतुरर्हो
न भवेत् तथा चतुरपवर्त्तनीयमप्यतो यदि पी = ४ । तदा नी = ३१, का = ७६,
या = ८५ एव कुट्टकं विनाऽपीति ।
(२) वि० ३, ५, ७, ९ द्रम्माः ।
५, ७, ९, ३ पक्षिणः ।
अत्र कपोतादीनां मूल्यानि क्रमेण
या १, का १, नी १, पी १, इति कल्प्यते
त्रैराशिकेन कपोतादीनां मानानि
या ५ / ३ , का ७ / ५ , नी ९ / ७ , पी ३ / ९
तत्र या १ का १ नी १ पी १ रु ० / = रु १०० } इदमेकम् ।
या ५ / ३ + का ७ / ५ + नी ९ / ७ + पी ३ / ९ + रु ०

अनेकवर्णसमीकरणम् । ८१
या ०+का ०+नी ०+पी ०+रु १०० । इदमन्यत् समीकरण च जातम्।
तत समच्छेदादिना जाते यावत्तावदुन्मिती या=का १ नी १ पी १ रु १००
का १४७ नी १३५ पी ३५ रु १०५००
या= ---------------------------------
१०५
अनयोश्छेदगमेन जातौ पक्षौ
का १०५ नी १०५ पी १०५ रु १०५००
का १४७ नी १३५ पी ३५ रु १०५००
नी ४० पी १४० रु ७०००
समशोधनेन कालकोन्मिति का= ------------------------ (१)
२८

ना १० पा ३५ रु १७५०
( १ ) वि०ज्ञा०— = ------------------------ अत्र "अन्येऽपि भा-
७
ज्ये—" इत्यतो नीलकरपीतकयोरन्यतरस्य व्यक्तमानकल्पनमुचितम् । तत्र पूर्वं
कल्पित पीतकसम-निरवयवमयूरमूल्यलब्धा मयूरा आपि निरवयवा शतान्त
र्वर्त्तिनस्त्रिगुणिताङ्क समाना एव । अथ 'शतेन शतमानय' इति नियमात् त्रिंश
त्सम पीतकमाने कल्पितेऽसगतिरत पा=३३ तदा
नी १० ( रु ३३ X ३५ ) रु १७५० नी १० रु ५९५
का = --------------------------------- = ---------------- अत्र 'क्षेपा-
७ ७
भायोऽथ वा यत्र क्षेप शुद्धेद्भरोद्धृत ।" इत्यतो वल्ल्यादिविडम्बनां विनैव
लब्धिगुणी ८५ । ० वा { ल=रु ८५ । } संक्षेपौ { लो १० रु ८५ = का । } अत्र षट्पर्यन्त
{ गु=रु ० } { लो ७ रु ० = नी । }
लोहितकमाने कल्पितेऽसगतिरतो यदि लो = ७ तदा { का = १५
{ नी = ४९
{ पी = ३३
उत या = ३ ( १ ) । यदि लो = ८ तदा { का = ५
{ नी = ५६
अत या = ६ ( २ ) । { पी = ३३
नी १० रु ४९०
अथ यदि पी = ३६ तदा का = -------------- अत
७
का = लो १० रु ७० । अत्र यदि लो = १ तदा { का = ४०
नी = लो ७ रु ० । { नी = २१
२२

८२ बीजगणिते
अतः या = ३ ( ३ ) । " क्षे = ४ " { का = १०
नी = २८
" या = ६ ( ४ ) । " क्षे = ५ " { का = १०
नी = ३५
" या = ९ ( ५ ) । " क्षे = ६ " { का = १०
" या = १२ ( ६ ) । नी = ४२
नी १० रु १८५
अथ यदि पी = १९ तदा का = ------------ अतः
७
का = क्षे १० रु ५५ | अत्र यदि क्षे = १ तदा { का = ४५
नी = क्षे ७ रु ० | नी = ७
अतः या = ९ ( ७ )* | " क्षे = २ " { का = ३५
नी = १४
" या = १२ ( ८ ) | " क्षे = ३ " { का = २५
नी = २१
" या = १५ ( ९ ) | " क्षे = ४ " { का = १५
नी = २८
" या = १८ ( १० ) | " क्षे = ५ " { का = ५
[L20

अनेकवर्णसमीकरणम् । ८३
अतः या = ३३ (१५) ” लो = २ ” } का = ५
” या = ३६ (१६) नी = १४
एवं पारावतादीनां शतान्तर्वर्तीनि निरवयवमूल्यानि षोडशधा, ततः शतान्तर्व-
र्तिनः पक्षिणोऽपि तन्मूल्यलब्धाः षोडशधैव ।
नी १० पी ३५ रू १७५०
अथ पूर्वदर्शितकालकमानम् = का = -----------------------
७
१७५० - १० नी - ३५ पी ३ नी
= ----------------------- = २५० - ५ पी - नी - -----
७ ७
अतो नीलकमानं सप्तगुणमेव भवेदतः कल्प्यते
यदि नी = ७ तदा का = २५० - ५ पी - १० = २४० - ५ पी ।
” नी = १४ ” का = २५० - ५ पी - १४ - ६ = २३० - ५ पी ।
” नी = २१ ” का = २५० - ५ पी - २१ - ९ = २२० - ५ पी ।
” नी = २८ ” का = २५० - ५ पी - २८ - १२ = २१० - ५ पी ।
” नी = ३५ ” का = २५० - ५ पी - ३५ - १५ = २०० - ५ पी ।
” नी = ४२ ” का = २५० - ५ पी - ४२ - १८ = १९० - ५ पी ।
” नी = ४९ ” का = २५० - ५ पी - ४९ - २१ = १८० - ५ पी ।
” नी = ५६ ” का = २५० - ५ पी - ५६ - २४ = १७० - ५ पी ।
प्रथमं नी = ७ कल्पिते यदि तत्र पीतकमानं किमपि त्रिगुणितमेव तत् षट्त्रिंशत्-
पञ्चासप्ततिरेवातो
यदि पी = ३९ ” का = ४५ अतः या = ९ (१)
” पी = ४२ ” का = ३० ” या = २१ (२)
” पी = ४५ ” का = १५ ” या = ३३ (३)
यदि पी = ३९ ” नी = १४ तदा का = ३५ अतः या = १३ (४)
” पी = ४२ ” नी = १४ ” का = २० ” या = २५ (५)
” पी = ४५ ” नी = १४ ” का = ५ ” या = ३७ (६)
यदि पी = ३६ ” नी = २१ तदा का = २२० - ५ × ३६ = ४०
अतः या = १ (७)

रूपचतुष्टय? Wait, if it was 4 values, why does footnote say १, २, ३, ४, ५? Wait! Footnote says: अत्र पीतकस्य, १, २, ३, ४५ ।Wait, is it४, ५or४?Look at footnote:१, २, ३, ४, ५ ।Wait, could L15 sayरूपपञ्चकं? Look at L15: रू प च तु ष्ट यं->रूपचतुष्टयं! Yes, it literally spells रूपचतुष्टयं! Wait, why रूपचतुष्टयं? In Bhaskara's Bijaganita, original text might have said रूपचतुष्टयं(taking 1, 2, 3, 4), and the commentator added 5! Notice the footnote starts with:( १ ) वि—(वि = टिप्पणीकार/विद्वज्जन/विवरण). The commentator writes:अत्र पीतकस्य, १, २, ३, ४, ५ । एभि रुत्थापने कृते जाता पञ्चविधा कालकोन्मितयYes, "वि—अत्र पीतकस्य..." is the footnote comment on(१)रूपचतुष्टयं! And पञ्चविधा` because he included 5! That explains it perfectly!

Let's check पञ्चविधा कालकोन्मितय:

अनेकवर्णसमीकरणम् । ८५
कल्पितम्। अनेन पीतकमुत्थाप्य रूपेषु प्रक्षिप्य जातम् का=नी २ रू १४
(१) अतः कुट्टकविधिना लब्धिगुणौ सक्षेपौ लो २ रू १४=ल०
लो १ रू ०=गु०
यावत्तावदुन्माने स्वस्वमानेन कालकादीनुत्थाप्य स्वस्वच्छेदेन
विभज्य लब्धं यावत्तावन्मानम् या=लो १ रू २ । लोहितकमिष्टं रूपत्र-
येणोत्थाप्य जातानि यावत्तावदादीनां मानानि १, ८, ३, ४ । एभिर्मौ-
ल्थानि जीवाश्चोत्थापिताः (पारावतादयः शतान्तर्वर्त्तिनः) ।
पक्षिणः ५, ५६, २४, १२ ।
मौल्यानि ३, ४०, २१, ३६ ।
अथवा चतुष्केणेष्टेन मानानि २, ६, ४, ४ । उत्थापिते जाताः
पक्षिणः शतान्तर्वर्त्तिनः १०, ४२, ३६, १२ ।
मौल्यानि ६, ३०, २८, ३६ ।
अथवा पञ्चकेन मानानि ३, ४, ५, ४ । एभिरुत्थापने कृते जाताः
पृ १५, २८, ४५, १२ । } एवमिष्टवशादनेकधा (२) ।
मौ ९, २०, ३५, ३६ । }
उदाहरणम् ।
षड्भक्तः पञ्चाग्रः पञ्चविभक्तो भवेच्चतुष्काग्रः ।
चतुरुद्धृतस्त्रिकाग्रो द्वयग्रस्त्रिसमुद्धृतः कः स्यात् ॥ ६ ॥
अत्र राशिः या १ । अयं षड्भक्तः पञ्चाग्र इति षड्भिर्भागे ह्रिय-
नी = लो १ रू० , लो १ रू० , लो १ रू० , लो १ रू० , लो १ रू०,
पी = लो ० रू१ , लो ० रू२ , लो ० रू३ , लो ० रू४ , लो ० रू५
अत्र संख्यात्मकं धनमानार्थं प्रथममानत्रयमकिञ्चित्करं चतुर्थे लोहितकस्य ३,
४, ५, ६ एभिरुत्थापने कृते चत्वारि मानानि, पञ्चमे च लोहितकस्य १, २,
साभ्यामुत्थापने कृते मानद्वयम् । एवं यावत्तावदादीनां षण्मानान्वेव भवन्ति भास्कर-
प्रदर्शितगणितेन ।
(१) वि० टी०—यद्वा भाज्ये रूपमात्रं हरस्तत्र कुट्टकवचनमप्रमेय । भाज्य-
स्याल्पत्वात्पूर्वं वर्णान्तरेणोत्थाप्य भाज्यपूर्ववर्णमानानि गुणेन हन्यन्ते ।
(२) वि० टी०—अत्र निष्पार षोडशौयेति ।