बीजगणितम् (भास्कराचार्य द्वितीय - प्राचीन भारतीय समीकरण एवं बीजगणित सूत्र सटीक)

Here is the line-by-line transcription of the page into Unicode Devanagari:

३६ बीजगणिते
भावनया वा कनिष्ठज्येष्ठमूले जाते क ६० ज्ये १९९ क्षे १ । एवमनन्त-
मूलानि । अथवा रूपं कनिष्ठं प्रकल्प्य जाते पञ्चक्षेपपदे क १ ज्ये ४
क्षे ५ अतस्तुल्यभावनया मूले क ८ ज्ये २७ क्षे २५ । "इष्टवर्गहृतः"
इत्यादिना पञ्चकमिष्टं प्रकल्प्य जाते रूपक्षेपपदे क ८/५ ज्ये २७/५ क्षे १ ।
अनयोः पूर्वमूलाभ्यां सह भावनार्थं न्यासः—
प्र ११ क ८/५ ज्ये २७/५ क्षे १ ।
क ३ ज्ये १० क्षे १ ।
भावनया लब्धे मूले क १६१/५ ज्ये ५३४/५ क्षे १ ।
अथवा ह्रस्वं वज्राभ्यासयोरन्तरमित्यादिना अनयया भावनया
जाते मूले क १/५ ज्ये ६/५ क्षे १ । एवमनेकधा "इष्टवर्गप्रकृत्योर्यद्विवरं
तेन वा भजेत्" इत्यादि

चक्रवालम् । ३७
कें = इ. क + ज्ये । ज्ये = क. प्र + इ. ज्ये । क्षे' = क्षे ( इ² - प्र ) इष्टवर्गहतः
क्षेप इत्यादिना क्षे इष्टं प्रकल्प्य जाताः कनिष्ठज्येष्ठक्षेपाः
कें = (इ.क + ज्ये) / क्षे । ज्ये' = (प्र. क + इ.ज्ये) / क्षे । क्षे' = (इ² - प्र) / क्षे, अतोऽत्र चेत् कनिष्ठम-
भिन्नमपेक्षितं तदा प्रथमकनिष्ठं तथा केन चिदिष्टेन गुण्यं ज्येष्ठयुक्तं यथा विशुद्ध्येत तदर्थमा-
चार्येण कुट्टकः कृतः । अत उपपन्नं ह्रस्वज्येष्ठपदक्षेपानित्यादि। एवमभिन्नं यत् कनिष्ठमुत्प-
द्यते तत्र क्षेपश्च (इ² - प्र) / क्षे अयम् । अत्र भाज्यसंख्या यदि विपरीतशोधनेन सिद्धा
स्यात् तदा क्षेपहता लब्धिः क्षेपविजातीयाऽतो व्यस्त-प्रकृतितस्तद्युत इति युक्तमुक्तमाचार्यैः।
अथ नूतनः क्षेपः = (इ² - प्र) / क्षे अयं सर्वदाऽभिन्न एवागच्छति तेन इ² - प्र इदं क्षे-
पेण निःशेषं भवतीत्यस्य कारणज्ञानार्थं कल्प्यते अ, क, संख्ये मिथो दृढे, क, ग अन-
योर्घातश्च असंख्यया शुध्यति तदा अ, संख्यया ग, संख्या निःशेषा भवति ।
अ < क इति कल्पनीयं तथा परस्परभजनाल्लब्धयः ल, ल', ल'', इत्यादयः शे, शे',
शे'' इत्यादयः शेषाश्च कल्प्यास्तदा क = अ ल + शे, अ = शे. ल' + शे'
शे = शे' ल'' + शे'', प्रत्येकं ग संख्यया सङ्गुण्य असंख्यया यदि विभज्यते तदा
(क. ग) / अ = ग. ल + (ग. शे) / अ । ग = (ग. शे) / अ × ल' + (ग. शे') / अ
(ग. शे) / अ = (ग. शे') / अ × ल'' + (ग. शे'') / अ , ... ...
अथ (क. ग) / अ इयं संख्या ह्यभिन्ना तेन (ग. शे) / अ इयमपि अभिन्ना भवेत्
ततः (ग. शे') / अ इयं चाभिन्ना ततः (ग. शे'') / अ इयमप्यभिन्ना सिद्ध्यति । एवं सर्वे
शेषा ग-गुणिताः अ-हृताः शुध्यन्तीति सिध्यति । अथ अ, क संख्ये मिथो दृढे तेनान्तिमः
शेषो रूपसमस्तद्गुणिता गसंख्या यस्माऽसौ ग. संख्या, अ-हता शुद्धा भवतीति सिद्ध्यति ।
अथ पूर्वकनिष्ठज्येष्ठवधेन
पूर्वक्षेपः = प्र. क² - ज्ये² अतो ज्येष्ठकनिष्ठमहत्समापवर्तनवर्गेण क्षेपोऽपवर्त्य-
स्तेनेष्टवर्गहत. क्षेप इत्यादिना लघुक्षेपे सुखेन कनिष्ठज्येष्ठे ज्ञातुं शक्येते, एवं यदा-
ऽपवर्त्तनाभावस्तदैव लघुतमक्षेपे तत्कनिष्ठज्येष्ठे गृहीत्वा ततो ह्रस्वज्येष्ठपदक्षेपेभ्यः पर-

३८ बीजगणिते
चतुर्द्धार्कयुताद्येयमभिन्ने भवतः पदे ।
चतुर्द्विक्षेपमूलाभ्यां रूपक्षेपार्थभावना ॥ ४ ॥
उदाहरणम् ।
का सप्तषष्टिगुणिता कृतिरेकयुक्ता
का चैकषष्टिगुणिता च सखे सरूपा ।
स्यान्मूलदा यदि कृतिप्रकृतिर्नितान्तं
त्वच्चेतसि प्रवद तात तता लतायत् ॥ १ ॥
स्वैर्हृतेभ्यः कुट्टकः कर्त्तव्यः । अतोऽत्र ये कनिष्ठज्येष्ठक्षेपास्ते परस्परं दृढा एव ।
ततोऽभिन्नं नूतनकनिष्ठम् = इ. क + ज्ये
─────────────────────
क्षे
अस्मादिष्टमानम् = नू.क क्षे - ज्ये
───────────────── । अनेन नूतनज्येष्ठस्य
क
प्र क + इ.ज्ये
───────────── अस्यांशमाने स्थापने कृते जातमंशमानम्
क्ष
= ज्ये. नू.क. क्ष

? Look at सृ: it has the loop of 'स' and 'ृ': सृणमिष्टं` (an error for 'ऋणमिष्टं' or 'मृणमिष्टं' -> 'सृण' = स-ऋण = with negative sign! Yes! स-ऋण = ऋण सहित!).
"सृणम्" = स + ऋणम् = negative!
"रूपद्वय-२ सृणमिष्टं प्रकल्प्य" -> literally "taking an optional number -2 (two units, negative)".
That is brilliant Sanskrit: "सृणम्" (स-ऋणम्)!

Let's check line 16:
पड्युते vs षड्युते:
षड्युते - in Devanagari typesets, ष and प can look similar, but here it's definitely षड्युते (6 added, since क्षेप is 6: 67 * 5^2 + 6 = 67 * 25 + 6 = 1675 + 6 = 1681 = 41^2!).
Yes, 6 is षट्, so षड्युते = 6 added!

Let's check line 9:
तक्षगाभ्यां or तक्षणाभ्यां?
Wait, look at the letter:
त क्ष गा or णा?
It has

४० बीजगणिते
द्वितीयोदाहरणे न्यासः—प्र ६१ क १ ज्ये ८ क्षे ३ ।
कुट्टकार्थे न्यासः—भा १ हा ३ क्षे ८ ।
'ह्रस्वघ्ने धनक्षेपे" इति लब्धिगुणौ ३/१ । इष्टाहतेति द्वाभ्यामुत्थाप्य
जातौ लब्धिगुणौ ५/७ । गुणवर्गे ४९ । प्रकृतेः शोधिते १२ व्यस्त इति
ऋणम् १२ इदं क्षेपहृतं जातः क्षेपः ४ं । अतः प्राग्वज्जाते चतुःक्षेप-
मूले क ५ ज्ये ३९ ।
इष्टवर्गहृतः क्षेपः स्यादित्युत्पन्नरूपशुद्धिमूलयोर्भावनार्थं न्यासः—
क ५/२ ज्ये ३९/२ क्षे १ं ।
क ५/२ ज्ये ३९/२ क्षे १ं ।

• अतो भावनया जाते रूपक्षेपमूले क १९५/२ ज्ये १५२३/२ ।
  अनयोः पुनः रूपशुद्धिपदाभ्यां भावनार्थं न्यासः
  क ५/२ ज्ये ३९/२ क्षे १ं ।
  [

चक्रवालम् । ४१
अखिले कृतिमूलाभ्यां द्विधा रूपं विभाजितम् ॥ ५ ॥
द्विधा ह्रस्वपदं ज्येष्ठं ततो रूपविशोधने ।
पूर्ववद्वा प्रसाध्येते पदे रूपविशोधने ॥ ६ ॥
उदाहरणम्—
त्रयोदशगुणो वर्गो निरेकः कः कृतिर्भवेत् ।
को वाऽष्टगुणितो वर्गो निरेको मूलदो वद ॥ २ ॥
अत्र प्रकृतिर्द्विकत्रिकयोर्वर्गयोर्योगः १३ । अतो द्विकेन रूपं हृतं रूप-
शुद्धौ कनिष्ठं पदं १/२ स्यात् । अस्य वर्गात् प्रकृतिगुणादेकोनान्मूलं
ज्येष्ठम् ३/२ । अथवा त्रिकेन रूपं हृतं कनिष्ठं १/३ स्यात् । अतो ज्येष्ठम् २/३ ।
अथवा कनिष्ठम् १ । अस्य वर्गात् प्रकृतिगुणाच्चतुरूनान्मूलं ज्येष्ठम् ३ ।
क्रमेण न्यासः क १ ज्ये ३ क्षे ४ । इष्टवर्गहृतः क्षेप इत्यादिना जाते
रूपशुद्धौ पदे क १/२ ज्ये, ३/२ । अथवा प्रकृतेर्नव व्यस्त

४२ बीजगणिते
गुणे पञ्चसप्ततिमिते क्षेपे ५, १५। दशगुणे जाते त्रिशतीक्षेपे १०, ३०।
अथेच्छायानीतपदयोः रूपक्षेपपदानयनदर्शने सूत्रं सार्धवृत्तम्।
स्वबुद्ध्यैव पदे ज्ञेये बहुक्षेपविशोधने ।
तयोर्भावनयाऽऽनन्त्यं रूपक्षेपपदोत्थया * ॥
वर्गाच्छिन्ने गुणे ह्रस्वं तत्पदेन विभाजयेत् ॥ ७ ॥
उदाहरणम् ।
द्वात्रिंशद्गुणितो वर्गः कः सैको मूलदो वद ।
न्यासः प्र ३२ । अतः प्राग्वत् कनिष्ठज्येष्ठे १, ३ ।
अथ वा "वर्गाच्छिन्ने गुणे ह्रस्वं तत्पदेन विभाजयेत्' इति
प्रकृतिः ३२ । चतुश्छिन्ना लब्धम् ८। अस्यां प्रकृतौ कनिष्ठज्येष्ठे १,
३ । येन वर्गेण ४ प्रकृतिश्छिन्ना तस्य पदेन २ कनिष्ठे भक्ते जाते ते
एव पदे क १/२ ज्ये ३ ।
अथ वर्गरूपायां प्रकृतौ भावनाव्यतिरेकेणानेकपदानयने करण-
सूत्रं वृत्तम् ।
( १ ) इष्टभक्तो द्विधा क्षेप इष्टोनाढ्यो दलीकृतः ।
गुणमूलहृतश्चाद्यो ह्रस्वज्येष्ठे क्रमात् पदे ॥ ८ ॥
उदाहरणम् ।
का कृतिर्नवभिः क्षुण्णा द्विपञ्चाशद्युता कृतिः
को वा चतुर्गुणो वर्गस्त्र्यधिकत्रिंशयुतः कृतिः ॥ ४ ॥

• वि०- कल्पते यस्मिन्प्रति क्षेपे प्रकृतौ कनिष्ठं क, ज्येष्ठं ज्ये तदा
  प्र . क² + क्षे = ज्ये²
  या, गु² . प्र क² / गु² + क्षे = ज्ये²
  या, गु² . प्र ( क / गु )² + क्षे = ज्ये²
  अत्र यदि गु² . प्र इयमन्या प्रकृतिस्तदा तत्सम्बन्धि कनिष्ठं क / गु स्यादित्युपपन्नं
  वर्गाच्छिन्ने गुणे ह्रस्वमित्यादि ।
  • ( १ ) वर्गान्तरं योगान्तरापगममित्यादिना क्षेपं वर्गान्तरमितं इष्टमन्तरं च प्रक-
  ल्प्य कर्मणा सूत्रेण इष्टेनेति ।

एकवर्णसमीकरणम् । ४३
अत्र प्रथमोदाहरणे क्षेपः ५२ । द्विकेनेष्टेन हृतो द्विष्टः । इष्टोनाढ्यो
दलीकृतो जातः १२, १४ । अनयोराद्यः प्रकृतिमूलेन भक्तो जाते ह्रस्व-
ज्येष्ठे ४, १४ । अथ वा क्षेपं ५२ चतुर्भिर्विभज्य एवं जाते ह्रस्व-
ज्येष्ठे ३/२, १७/२ ।
द्वितीयोदाहरणे क्षेपम् ३३ एकेनेष्टेन विभज्यैवं जाते ह्रस्वज्येष्ठे ८,
१७ । त्रिभिर्जाते २, ७ ।
अथ वा प्रकृतिसमक्षेपे उदाहरणम् ।
त्रयोदशगुणो वर्गस्त्रयोदशविवर्जितः ।
त्रयोदशयुतो वा स्याद्वर्ग एव निगद्यताम् ॥ ५ ॥
प्रथमोदाहरणे प्रकृतिः १३ । जाते कनिष्ठज्येष्ठे १, ० । अत्रेष्टवर्ग-
प्रकृत्योर्यद्विवरम्” इत्यादिना रूपक्षेपमूले ३/२, ११/२ । आभ्यां भावनया
त्रयोदशर्णक्षेपमूले ११/२, ३९/२

is under the top bar with 'े'.
Before 'दे', there is 'त' or 'स'?
Let's look at the letters:

• First glyph: 'ब्ध'
• Second glyph: 'ते' (त with stroke on top)
• Third glyph: 'त'
• Fourth glyph: 'दे'
  Wait, does that say "ब्धते तदेकस्य"?
  Or does it say "ब्धं तदेकस्याव्यक्तस्य"?
  Wait, look closely:
  Glyph 1: ब्ध
  Glyph 2: त (with e-matra? Yes, 'ते')
  Glyph 3: wait, is glyph 3 'त'?
  Wait, compare glyph 2 and glyph 3 with 'ते' in 'जायते' (later in the same line).
  In 'जायते': 'जा' 'य' 'ते' ।
  The 'ते' has a loop-less 'त' with 'े'.
  Now look at the start of L19:
  Glyph 1: ब्ध
  Glyph 2: it is 'त' with 'े' = 'ते'.
  Glyph 3: wait, is that a 'त' or 'प'?
  Wait, could it be "ब्धं"? Where is 'तदेकस्य'?
  Wait, let's read the whole line:
  "ब्धते तदेकस्याव्यक्तस्य मानं व्यक्तं जायते । तेन कल्पितोऽ

एकवर्णसमीकरणम् । ४५
अत्राश्वमौल्यमज्ञातं तस्य मानं यावत्तावदेकं प्रकल्पितम् या १ ।
तत्र त्रैराशिकं यद्येकस्य यावत्तावन्मूल्यं तदा षण्णां किमिति फल-
मिच्छागुणं प्रमाणभक्तं लब्धं षण्णामश्वानां मूल्यम् । या ६ । अत्र
रूपशतत्रये प्रक्षिप्ते जातमाद्यस्य धनम् या ६ रु ३००। एवं दशानां मौ-
ल्यम् या १०। अत्र रूपशते ऋणंगते प्रक्षिप्ते जातं द्वितीयस्य धनम्
या १० रु १००।
एतौ समधनाविति पक्षौ स्वत एव समौ जातौ समशोधनार्थे
न्यासः—*या ६ रु ३०० ।
या १० रु १०० ।
अथ एकाव्यक्तं शोधयेदन्यपक्षादिति आद्यपक्षाद्व्यक्तेऽन्यपक्षा-
द्व्यक्ताच्छोधिते शेषम् या ४ । द्वितीयपक्षरूपेषु आद्यपक्षरूपेभ्यः शोधि-
तेषु शेषम् रु ४०० । अव्यक्तराशिशेषेण या ४ रूपशेषे रु ४०० उद्धृते
लब्धमेकस्य यावत्तावतो मानं व्यक्तम् १००। यद्येकाश्वस्येदं मौल्यं
तदा षण्णां किमिति त्रैराशिकेन लब्धं षण्णां मौल्यं ६०० रूपशतत्रय-
युतं ९०० जातमाद्यस्य धनम् । एवं द्वितीयस्यापि ९०० ।
अथ द्वितीयोदाहरणे प्रथमद्वितीययोस्ते एव धने
या ६ रु ३०० ।
या १० रु १०० ।
अत्राद्यपक्षधनाद्धेन द्वियुकेन तुल्यमन्यस्य धनमुदाहृतमत आ-
द्यधनार्धे द्वियुते अथवाऽन्यधने द्विहीने द्विगुणे कृते पक्षौ समौ भवत-
स्तथा कृते शोधनार्थे
न्यासः—या ३ रु १५२ । } अथवा { या ६ रु ३०० ।
या १० रु १०० । } { या २० रु २०४ ।
उभयोरपि शोधनार्थे कृते लब्धं यावत्तावन्मानम् ३६ । अनेन
पूर्ववदुत्थापने कृते जाते धने ५१६, २६० ।
अथ तृतीयोदाहरणे ते एव धने । अत्राद्यधनत्र्यंशः परधनमिति
परं त्रिगुणीकृत्य

• वि० टी०—संप्रति ६या + ३०० = १०या - १०० ∴ ४०० = ४या
  ∴ या = १०० एवं समीकरणानि सर्वत्र भिद्यंते ।

४६ बीजगणिते
न्यासः । या ६ रु ३०० ।
या ३० रु ३००̇ ।
समक्रियया लब्धं यावत्तावन्मानम् २५ । अनेनोत्थापिते जाते
धने ४५०, १५० ।
उदाहरणम्
माणिक्यामलमनीलमौक्तिकमितिः पञ्चाष्टसप्तक्रमा-
देकस्यान्यतरस्य सप्त नव षट् तद्रत्नसंख्या सखे ।
रूपाणां नवतिर्द्विषष्टिरनयोस्तौ तुल्यवित्तौ तथा
धीमन् प्रतिरत्नजानि सुमते मूल्यानि शीघ्रं वद ॥ ३ ॥
अत्राव्यक्तानां बहुत्वे कल्पितानि माणिक्यादीनां मूल्यानि
या(१) ३, या २, या १ । यदि एकस्य रत्नस्य इदं मूल्यं तदोद्दिष्टानां
किमिति लब्धानां यावत्तावतां योगे स्वस्वरूपयुते जातौ पक्षौ
या १५, या १६, या ७ रु ९० ।
या २१, या १८, या ६ रु ६२ ।
एते अनयोर्धने इति समशोधने कृते लब्धं यावत्तावन्मानम् ४ ।
अनेनोत्थापितानि माणिक्यादीनां मूल्यानि १२, ८, ४ । एवं समं
धनम् २५२ । अथ वा माणिक्यमानं यावत्तावन्नीलमुक्ताफलयोर्मूल्ये
व्यक्ते एव कल्पिते ५, ३ । अतः समीकरणेन लब्धं यावत्तावन्मानम्
१३ । अनेनोत्थापिते जातं समधनम् २१६। एवं कल्पनावशादनेकधा ।
उदाहरणम् ।
एको ब्रवीति मम देहि शतं धनेन
त्वत्तो भवामि हि सखे द्विगुणस्ततोऽन्यः ।
ब्रूते दशार्पयसि चेन्मम षड्गुणोऽहं
त्वत्तस्तयोर्वद धने मम किंप्रमाणे ॥ ४ ॥
( १ ) वि० टी०—"अव्यक्तानां द्व्यादिकानामपीह यावत्तावद्द्व्यादिनिघ्नं हतं
वा" इत्यतः ३या, २या, या एव मानं माणिक्यादीनां तदैव भवितुमर्हति यदि
मौक्तिकमूल्यान्नीलमूल्यं द्विगुणं माणिक्यमूल्यं त्रिगुणमन्यथैकवर्णसमीकृतिर्विधि-
रिति स्पष्टम् ।

))
What if it is:
पृ (v) थक् (-) पृ (v) थक् (-) -> wait!
In पृथक्पृथक्:
हि (4, v)
पृ (5, v)
थक् (6, -)
पृ (7, v)
थग् (8, -)
Wait! 4, 5, 6, 7, 8:
हि (v) पृ (v) थक् (-) पृ (v) थग् (-)
This is: v v - v - !
Then syllables 9, 10, 11 must be: v v v!
And 12 must be: - !
What is 9, 10, 11, 12?
"यदि गणिते":
य (9, v)
दि (10, v)
ग (11, v)
णि (12)? No, ते (13)!
Wait:
य (v) दि (v) ग (v) णि (v)? But 12 must be long (-)!
So "यदि गणिते" has णि (short), that wouldn't make 12 long!
Wait, what word is in the image?
Look at line 14:
"मौल्यं ब्रूहि पृथक्पृथग्दीह गणिते कल्याऽसि कल्याणिनि ॥ ५ ॥"
Wait, look at "दीह":
Is it "दीह" or "

४८ बीजगणिते.
उदाहरणम् ।
पञ्चांशोऽलिकुलात् कदम्बमगमत् त्र्यंशः शिलीन्ध्रं तयो-
र्विश्लेषस्त्रिगुणो मृगाक्षि कुटजं डोलायमानोऽपरः ।
कान्ते केतकमालतीपरिमलप्राप्तैककालप्रिया-
दूताहूत इतस्ततो भ्रमति खे भृङ्गोऽलिसंख्यां वद ॥ ६ ॥
अत्रालिकुलप्रमाणं यावत्तावत् १ । अतः कदम्बादिगतालिप्रमाणं
यावत्तावत् १४/१५ । एतदृष्टेन भ्रमरेण युतमलिप्रमाणमिति
न्यासः—या १४/१५ रू १ ।
या १ रू ० ।
एतौ समच्छेदीकृत्य छेदगमे पूर्ववल्लब्धं यावत्तावन्मानम् १५ ।
एतदलिप्रमाणम् ।
अथान्यमेकमप्युदाहरणं क्रियालाघवार्थं प्रदर्श्यते ।
पञ्चकशताद्दत्तधनात् फलस्य वर्गं विशोध्य परिशिष्टम् ।
दत्तं दशकश

एकवर्णसमीकरणम् । ४९
(१) अथ वा प्रथमप्रमाणफलेन द्वितीयप्रमाणफले विभक्ते यल्ल-
भ्यते तद्गुणगुणितेन द्वितीयमूलधनेन तुल्यमेव प्रथममूलधनं स्यात्
कथमन्यथा समे काले समं फलं स्यात् । अतो द्वितीयस्यायं गुणः २ ।
एकगुणं द्वितीयमूलधनमेकोनगुणगुणितं फलवर्गे वर्त्ततेऽत एकोन
गुणेन इष्टकल्पितफलान्तरस्य वर्गे भक्ते द्वितीयमूलधनं स्यात् । तत्
फलवर्गयुतं प्रथममूलधनं स्यात् । अत्र कल्पितफलवर्गः ४ । अतः
प्रथमद्वितीयमूलधने ८, ४ । फलम् २ । यदि शतस्य पञ्च फलान्तरं
तदाऽष्टानां किमिति लब्धमेकमासेऽष्टानां फलम् २/५ । यद्यनेनैको मास-
स्तदा द्विकेन किमिति लब्धा मासाः ५ ।
उदाहरणम् ।
एककशताद्दत्तधनात् फलस्य वर्गं विशोध्य परिशिष्टम् ।
पञ्चकशतेन दत्तं तुल्यः कालः फलं च तयोः ॥ ८ ॥
अत्र गुणकः ५ । एकोनेगुणेन ४ इष्टफलस्यास्य वर्गे १६ भक्ते
जातं द्वितीयधनम् ४ । इदं फलवर्गयुतं जातं प्रथमधनम् २०
अतोऽनुपातद्वयेन कालः २० ।
एवं स्वबुद्ध्यैवेदं सिद्ध्यति

५० बीजगणिते
या, अन्योन्यमेकैकं रत्नं दत्त्वा समधना जातास्तेषां मानानि,
मा ५ नी १ मु १ घ १ ।
मा १ नी ७ मु १ घ १ ।
मा १ नी १ मु ९७ घ १ ।
मा १ नी १ मु १ घ २ ।
"समानां (१) समक्षेपे समशुद्धौ समतैव स्यात्" इति एकैकं माणि-
क्यादिरत्नं पृथक् पृथगेभ्यो विशोध्य शेषाणि समान्येवं जातानि
मा ४, नी ६, मु ९६, घ १ ।
यद्येकस्य वज्रस्य मूल्यं तदेव माणिक्यचतुष्टयस्य नीलषट्कस्य
तदेव मुक्ताफलानां षण्णवतेरत ९६ समधनं प्रकल्प्य पृथगेभिः
शेषैर्विभज्य मौल्यानि लभ्यन्ते तथा फलितेनेन ९६ जातानि मौल्यानि
माणिक्यादीनाम् २४, १६, १, ९६ ।
उदाहरणम् ।
पञ्चकशतेन दत्तं मूलं सफलान्तरं गते वर्षे ।
[L16

५२ बीजगणिते
उदाहरणम् ।
स्वार्धपञ्चांशनवमैर्युक्ताः के स्युः समाराशयः ।
अन्यांशद्वयहीनाश्च षष्टिशेषांश्च तान् वद ॥ १४ ॥
अत्र समराशिमानं यावत्तावत् १ । अतो विलोमविधिना "अथ
स्वांशाधिकोन" इत्यादिना राशयः या २/३, या ५/६, या ९/१० । इहा-
न्यान्भागद्वयेनोनाः सर्वेऽप्येवं शेषाः स्युः या २/५ । एतत् षष्टिसमं
कृत्वाऽऽपन्नायावत्तावन्मानेन १५० उत्थापिता जाता राशयः १००,
१२५, १३५ ।
उदाहरणम् ।
त्रयोदश तथा पञ्च करण्यो भुजयोर्मिती ।
भूरज्ञाता च चत्वारः फले भूमिं वदाशु मे ॥ १५ ॥
(१) अथ भूमेर्यावत्तावत्कल्पने क्रिया प्रसरतीति स्वेच्छया इय-
ती क १३ भूमिः कल्प्यते फलविशेषाभावात् । अतोऽद्य कल्पित

एकवर्णसमीकरणम् । ५३
यावव १ याव ३६ रु ६४
—————————————— अयं भूम्यर्धवर्गगुणो जातः फलवर्गः
याव ४
यावव १ याव ३६ रु ६४
—————————————— अयं फलवर्गसम
१६
इति पक्षौ समच्छेदीकृत्य छेदवर्गं च विधाय न्यासः
यावव १ याव ३६ रु ६४
यावव . याव . रु २५६
समशोधनेन यावव १ याव. ३६ रु ०
यावव ० याव ० रु ३२०
पक्षयोः ३२४ संयोज्य मूले गृहीत्वा
न्यासः--- याव १ रु १८ ⎫ “अव्यक्तमूलंगुणहृत्पत” इत्यादिना
याव . रु २ ⎭ लब्धं यावद्वर्गमानं द्विविधम् = रु १६ वा रु २० ।
ततो यावत्तावन्मानम् रु ४, वा क २० ।
एवमत्रान्यप्रकल्पने क्रिया प्रसरति ।
बहिर्लम्बक्रियायाऽऽचार्योक्तविधिनाऽपि भुवो मानमन्यद्विंशति करणीसममायाति
मूले तु सुराद्यमाचार्येणान्तर्लम्ब(५)क्रियया भुवो मानं साधितमिति ।
( ५ ) वि० सं०-लम्बमानेऽव्यक्ते कल्पिते फं = (लं X भू) / २ ∴ २ फ = लं X भू
= या X भू. ∴ २फ/या = भू = ८/या । त्रिभुजे भुजवर्गान्तरमवाधावर्गान्तरसममत
भु. व. अं = ८ । ८/या अनया भुवाऽऽबाधायोगमितया हृतं जातमवाधान्तरम् = या ॥
∴ लध्वाबाधा = ल. आ. = (८ - या²) / २या , बृ. आ. = (८ + या²) / २या । ∴ ल. आ.²
= (६४ - २ X ८ या² + या⁴) / ४ या² लघुभुजवर्गात् ५रुस्माच्छोधित आबाधावर्गो लम्बवर्गः
= (२० या² - ६४ + २ X ८ या² - या⁴) / ४ या² = या² = ∴ ५या⁴ - ३६या² = - ६४।
∴ या⁴ - (३६/५)या² = - ६४/५ ∴ या⁴ - २ X (३६/१०)या² + (१८/५)² = (१८/५)² - ६४/५ = ४/२५

५४ बीजगणिते-
न्यासः ।
स्वाबाधावर्गं स्वभुजवर्गादपास्य जातो
लम्बवर्गः=यावं १ं रु १५ क २००ं
द्वितीयाबाधावर्गः=याव १ या क ७२ं या २ रु १९ क ७२ं ।
स्वभुजवर्गात् रु ६ अपास्य जातो द्वितीयो लम्बवर्गः
= याव १ं या २ं याक ७२ रु १३ं क ७२ ।
एतौ (१) समाविति समशोधने कृते जातौ पक्षौ
रु २८ं क ५१२ ।
(२) या २ याक ७२ं ।
अत्र (३) भाजकस्याव्यक्तशेषस्य याकारस्य प्रयोजनाभावादपगमे
कृते भाज्यभाजकौ जातौ "अत्र धनर्णताव्यत्ययमोप्सितायाश्छेदे क-
रण्या असकृद्विधाय" इति द्विसप्ततिमितकरण्या धनत्वं प्रकल्प्य क ४
क ७२ । अनया भाज्ये गुणिते जातम्
क ३६८६४ क ३१३६ क ५६४४८ क २०४८ ।
एतास्ते तयोः क ३६८६४ क ३१३६ । मूलं १९२ । ५६ । अनयो-
र्योगः रु १३६ ।
∴ या = २, √(१६)/५ ∴ भू = ४, √२० अतोऽपि
क्रिया प्रसरितेति ।
( १ ) वि० श० - लम्बवर्गौ ।
( २ ) वि० श०- या २ या० क ७२ं = या ( रु २. क ७२ं )
( ३ ) वि. श.-अत्राव्यक्तशेषमिदम् = रु २ एवंच अनेन रूपशेषेऽस्मिन्
रु २८ं क ५१२ भक्ते जातं या-मानम् या = (रु २८ं क ५१२) / (रु २ क ७२ं) अत्र
"भाजकस्याव्यक्तशेषस्य याकारस्य प्रयोजनाभावादपगमे कृते जातौ भाज्यभाजकौ"
इत्यन्तं गद्यमरोचकम् । "धनर्णता" इत्यादिमूलोक्तमुचितम् ।

एकवर्णसमीकरणम् ।
शेषकरण्योरनयोः क ५६४४८, क २०४८ अन्तरं(क) योग इति
जातो योगः क ३६१९२।
भाजके च क ४६२४ । अनया भाज्ये हृते लब्धं यावत्तावन्मानम्
रू २ क ८ ।
इयमेव लघ्वाबाधा, एतदूना भूरन्याऽबाधा रू १ क २। यावत्ताव-
न्मानेन लम्बवर्गानुत्थाप्य स्वाबाधावर्गं स्वभुजवर्गादपास्य वा जातो
लम्बवर्ग. रू ३ क ८ । एतस्य मूलसममेव लम्बमानम् रू १ क २ ।
उदाहरणम् ।
असमानसमच्छेदान् राशींस्तांश्चतुरो वद ।
यदैक्यं यद्धनैक्यं वा येषां वर्गैक्यसंमितम् ॥ १७ ॥
अत्र राशयः या १, या २, या ३, या ४ । एषां योग. या १० ।
वर्गयोगेनानेन याव ३० सम इति पक्षौ यावत्तावताऽपवर्त्य
न्यास. । या ३० रू ० ।
या ० रू १० ।
समशोधनादिना प्राग्वल्लब्धयावत्तावन्मानेनोत्थापिता राशय
१/३, २/३, ३/३ (१), ४/३ ।
अथ द्वितीयोदाहरणे राशय. या १, या २, या ३, या ४ । एषां
घनैक्यम् याघ १०० । एतद्वर्गैक्यमानेन याव ३० सममिति पक्षौ यावद्घ-
र्गेणापवर्त्य प्राग्वल्लब्धयावत्तावन्मानेनोत्थापिता जाता राशय.
३/१०, ६/१०, (१) ९/१०, १२/१०, (१) ।
(क) वि० श०—अत्र “योग करण्योर्महताम्” इत्यादिना द्वयोर्योग
= ५८४९६ महती । द्वयोर्घात = ११५६०५५०४, अतो मूलम् = १०७५२
द्विगुणम् = २१५०४ लघु च प्रकॢप्य जातमन्तरम् क ३६१९२ । वा “लब्ध्या
हताया” इत्यादिना ५६४४८ / २०४८ हरभाज्याविह गनाडुभिरपवर्तितौ । अत ५६४४८ / २०४८
= ४४१ / १६ अत पदम् = २१ / ४, निरेकम् = १७ / ४ स्वहृतम् = २८९ / १६ । लघुघ्नम् =
२८९ × २०४८ / १६ = २८९ × क १२८ = ३६१९२ ।
(१) वि० श०—एषु नापवर्तनमन्यथोदाहरणीयराशित्वसिद्धिरिति ।

५६ बीजगणिते
उदाहरणम्।
त्र्यस्रक्षेत्रस्य यस्य स्यात् फलं कर्णेन सुमितम्।
दोःकोटिश्रुतिघातेन समं यस्य च तद्वद् ॥ १८ ॥
न्यासः।
या ५ अत्रेष्टक्षेत्रभुजानां यावत्तावद्गुणितानां न्यासः।
या ३ या ३, या ४, या ५। अत्र च भुजकोटिघातार्धं
या ४ फलम् याव ६। एतत् कर्णेनानेन या ५ सममिति
पक्षौ यावत्तावताऽपवर्त्य प्राग्वल्लब्धेन यावत्तावन्मानेनोत्थापिता
जाता भुजकोटिकर्णा ५/२, १०/३, २५/६। एवमिष्टशादन्येऽपि।
अथ द्वितीयोदाहरणे कल्पितं तदेव क्षेत्रम्। यस्य फलम् = याव ६।
एतद्दोःकोटिकर्णघातेनानेन याघ ६० सममिति पक्षौ यावद्वर्गेणापवर्त्य
समीकरणेन प्राग्वज्जाता दोःकोटिकर्णा ३/१०, २/५, १/२। एवमिष्ट-
वशादन्येऽपि।
उदाहरणम्।
युतौ वर्गोऽन्तरे वर्गो द्वयोर्घाते घनो भवेत्।
तौ राशी शीघ्रमाचक्ष्व दक्षोऽसि गणिते यदि ॥ १९ ॥
अत्र राशी याव ५, याव ४। योगेऽन्तरे च यथा वर्गः स्यात् तथा
कल्पितौ। अत्रानयोर्घातः यावघ २०। एष घन इति इष्टयावत्तावदङ्कस्य
घनेन समीकरणे पक्षौ यावत्तावद्घनेनापवर्त्य प्राग्वज्जातौ राशी
१००००, १२५००।
उदाहरणम्।
घनैश्च जायते वर्गो वर्गैक्यं च द्वयोर्घनः।
तौ चेद्वेत्सि तदाऽहं त्वा मन्ये बीजविदां वरम् ॥ २० ॥
अत्र कल्पितौ राशी याव १, याव २। अनयोर्घनयोगः यावघ ९।
एष स्वयमेव वर्गो जातोऽस्य मूलम् = याघ ३।
ननु यावत्तावद्वर्गघनतोऽयं राशिर्न घनवर्गः कथमस्य घनात्मकं
॰ ॰ चेदुच्यते यावानेव घनवर्गस्तावानेव वर्गघन स्यादित्यत
एव द्विगतचतुर्गतषड्गताष्टगता वर्गाः स्युः। एषामेकद्वित्रिचतुर्गतानि
मूलानि यथाक्रमं स्युः। एवं त्रिषण्णवगता घनाः। एकद्वित्रिगतानि तेषां
मूलानि। एवं सर्वत्र ज्ञातव्यम्।