गणितसारसंग्रह (महावीराचार्य - प्रो. लक्ष्मीचन्द्र जैन सविस्तार हिन्दी अनुवाद सटीक)

प्रस्तावना 3
लाते थे । यहाँ की रेखा गणित की तीन बातें उल्लेखनीय हैं । प्रथम तो यह कि अर्द्धवृत्त का कोण समकोण
होता है । दूसरी यह कि वे साध्य (कर्ण)² = (लम्ब)² + (आधार)², का उपयोग २०, १६, १२ और १७,
१५, ८ जैसी राशियों में कर चुके थे । तीसरी यह कि गणितीय विश्लेषणके उद्गमों के चिन्ह, जैसे, सम-
कोणिक त्रिभुजों के बराबर कोणों की संवादी भुजाएँ समानुपाती होती हैं । यह हुई बेबीलोन की प्रगति
जिसके पश्चात् वहाँ के प्रगति चिन्ह नहीं मिलते ।
अब स्थल मार्ग से अरब देश को पारकर नील नदी के किनारे बसे मिस्र देश में चलिये । यह
पिरेमिडों (स्तूपों) का विचित्र देश ईसा से प्रायः ४००० वर्ष पूर्व से लेकर २७८१ वर्ष पूर्व तक के पुरातत्व
की सामग्री का भंडार है । बेबीलोन की तरह इस देश की सभ्यता का आधार कृषि था । इसका पता
संभवतः ४२४१ वर्ष पूर्व के वहाँ के एक तिथिपत्र से चलता है जिसमें ३० दिन वाले १२ माह हैं, जिनमें ५
दिन जोड़ने से ३६५ दिन पूरे किये जाते हैं । इस ज्योतिर्विधान हेतु वहाँ अंकगणित भी विकसित की गई ।
बेबीलोन की तरह इस देश के अभिलेख सुरक्षित रहे आये; क्योंकि एक तो यहाँ की जलवायु मरुस्थली
थी, और दूसरे यहाँ मृतकों (बैल, मगर, बिल्ली और मानवों) के लिये बहुत मान्यता दी जाती थी । इसी
कारण मिस्रियों ने आवश्यकतानुसार यह खोज निकाला कि निरर्थक "कलम के गूदे" (papyri) से
पवित्र मगरों की लाशों को ढूँस-ढूँस कर भरने से उन्हें जीवित अवस्था का रूप देकर सुरक्षित रखा जा
सकता है । इन्हीं पेपीरियों (papyri) द्वारा ज्ञात होता है कि मिस्री ईसा से प्रायः ३५०० वर्ष पूर्व की
अंकगणित में करोड़ों की संख्या का उल्लेख करते थे । इस तिथि की उनकी चित्रलिपि (hierogly-
phics) में वर्णन है कि १,२०,००० मानव, ४००,००० बैल और १,४२२,००० बकरे कैदी बनाये
गये । गणना के बाद उन्होंने दशमलवपद्धति का अनुसरण किया, पर वह स्थान-मान (place value)
रहित थी । इसके पश्चात्, ईसा से १६५० वर्ष पूर्व की अंकगणित में गुणन भाग है । भिन्नों में २/३ को
विशेष प्रतीक द्वारा प्ररूपित किया गया है, अन्य भिन्नों को १/न सदृश रूप वाले भिन्नों के योग में हासित
किया गया है । प्रायः इसी समय की रिंड पेपिरस (Rhind papyrus) में २/९७ = १/५६ + १/६७९ + १/७७६
अंकित है । आमिस (Ahmes) ने २/न के सब भिन्नों को (जहाँ न का मान ५ से लेकर १०१
तक है ) पूर्ववत् लिखा है । आगे (ईसा से सम्भवतः २००० वर्ष पूर्व के एक प्रश्न से) बीजगणित के
उद्गम का आभास मिलता है, जो आजकल के प्रतीकों में क² + ख² = १००; ख = ३/४ क को हल करने
के समान है । मिस्री लोगों ने इसे हल करने के लिये कूट स्थिति की रीति (rule of false position)
का उपयोग किया है, जो ईसा की प्रायः १५ वीं सदी तक उपयोग में आती रही है। उन्हें
समानुपात (proportion) ज्ञान भी था, जो गणितीय विश्लेषण का एक मुख्य आधार है । प्रायः इसी
समय उन्होंने परिधि और व्यास की सूक्ष्म निष्पत्ति को २५६/८१ और ३.१६ बतलाया है । यद्यपि इस देश में
पैथेगोरस के साध्य ( ५² = ४² + ३² ) का कोई लिखित प्रमाण नहीं मिलता; तथापि उनके अवस्तरी
रज्जुओं (rope stretchers) में ५, ४, ३ का अनुपात रहता था । व्यावहारिक मापों के विषय में
कहा जाता है कि ईसा से प्रायः ३००० वर्ष पूर्व भी मिस्रवासी पर्याप्त उन्नति कर चुके थे। इसके कई उदाहरण
हैं। एक तो यह कि नदी के चारों ओर की ७०० मील जगह में उनके जल प्रमापी (water gauges)
एक सतह में थे । दूसरा यह कि उन्हें त्रिभुज का क्षेत्रफल तथा बेलन आदि के शुद्ध आयतन निकालना

ज्ञात था । इनके सिवाय एक और बात उल्लेखनीय है कि विश्व प्रसिद्ध ग्रेट पिरेमिड के अतिरिक्त एक
और सबसे महान् पिरेमिड, मिस्र के किसी अज्ञात गणितज्ञ के मस्तिष्क में था, जिसकी खोज १९३० में
मास्को पेपिरस ( Moscow papyrus ) के अनुवाद के पश्चात् हुई है । इस महान् गणितज्ञ ने
उसमें एक सही सूत्र दिया है, जिसके द्वारा वर्ग आधार वाले स्तूप के लम्बछिन्नक का आयतन निकाला
जा सकता है । सूत्र यह है : आयतन = १/३ उ ( अ² + अ ब + ब² ), जहाँ अ, ब, क्रमशः ऊर्ध्व तल
तथा अधोतल के आधारों की भुजाओं के माप हैं, और उ उसकी ऊर्ध्वाधर ऊँचाई ( vertical
height ) है । इसका समय लगभग ईसा से १८५० वर्ष पूर्व है । इस सूत्र में ग्रीक लोगों की निश्शेषण
विधि ( method of exhaustion ), और १७वीं सदी के केवेलियर ( Cavelieri ) की
“अविभाज्यों की रीति” (method of indivisibles) निहित है । अपने लिये वह सीमा (limit)
का सिद्धान्त है और बाद में अनुकल कलन ( integral calculus ) । इनका किंचित् और
सामान्य रूप ( generalised form ) आर्किमिडीज़ ने ईसा से प्रायः ५०० वर्ष पूर्व बतलाया
है । गणित को मिस्रवासी भी इस हद तक बढ़ाकर आगे न बढ़ सके ।
मिस्र के इस गणितीय इतिहास के पश्चात् हम भारत न पहुँचकर पहिले भूमध्यसागर के रास्ते ग्रीस
देश ( यूनान ) पहुँचते हैं, जो ईसा से प्रायः ६०० वर्ष पूर्व के पश्चात् रेखा और शांकव गणित में
अद्वितीय प्रगति करने के लिये प्रसिद्ध है । ग्रीस की गणित के इतिहास में ईसा से प्रायः ६५० वर्ष पूर्व
हुए थेल्स तथा ( ईसा से प्रायः ६०० वर्ष पूर्व ? ५२७ वर्ष पूर्व ? उत्पन्न हुए ) पैथेगोरस ने गणित को तर्क
पर आधारित किया, और प्राकृतिक घटनाओं को अंक गणित द्वारा प्रदर्शित किया । पैथेगोरस के समय
से प्रारम्भ हुई ग्रीस देश की प्रगति को देखकर यह अनुमान लगाना स्वाभाविक है कि यह प्रगति पूर्वीय
देशों के ज्ञान का आधार लेकर सम्भव हो सकी होगी । यह मान्यता है कि उसका सबसे महान्
आविष्कार “समान आतति बल (tension) वाले धागों की लम्बाइयों के अंकगणितीय कुछ अनुपातों
(ratios) पर संगीत-अंतरालों की निर्भरता” के विषय में था । उसके रैखिकीय साध्य से सभी परिचित हैं ।
इसी साध्य के द्वारा पैथेगोरस ने √२ की अपरिमेयता को बतलाया, और “भुजा” तथा “विकर्ण” संख्याओं
की श्रेढि संरचना के विषय में नियम निकाला । इनके सिवाय पैथेगोरीय वर्गों ने वास्तविक मूल वाले वर्ग
समीकरणों का रैखिकीय हल निकाला, अनुपात का सिद्धान्त निकाला, पांच नियमित सांद्रों की रचना
बतलाई, और दिये गये क्षेत्रफल की आकृति के तुल्य अन्य आकृतियाँ बनाकर बतलाईं । उनके द्वारा
प्रणीत रूपक ( figurate ) संख्यायें आज की अंकगणित के लिए बड़ी सुझावपूर्ण सिद्ध हुईं । जैसे,
त्रिभुजीय संख्याओं का प्रयोग एनपिडोक्लियन रसायनशास्त्र में करने पर यह सार निकलता है कि समस्त
द्रव्य वास्तव में त्रिभुज हैं । पैथेगोरस के समय से अंक-ज्योतिष का आरम्भ होना भी माना जाता है ।
कालान्तर में इटली के एलिया नगर निवासी ज़ीनो (Zeno-४९५ ?-४३५ ? ईस्वी पूर्व) के चार असद्भासों
( paradoxes ) में गणितीय अनन्त की अवधारणा के परिष्कृत करने का प्रयास परिलक्षित होता है ।
इसके सिवाय यूडो ( Eudous- ईसा से ४०८ पूर्व से ३५५ तक ) ने अनुपात का सिद्धान्त निकालकर
मिस्र के आयतन निकालने के सूत्रों को सिद्ध किया, तथा गणितीय विश्लेषण की वास्तविक संख्या पद्धति
system of real numbers ) की स्थापना की । सम्भवतः इसी सिद्धान्त के आधार पर निश्शेषण
विधि और डेडीकॅन्ड के बाद अनुकलकलन का उपयोग हुआ । कहा जाता है कि यूडोने भी पूर्व के
देशों का भ्रमण किया था । यूक्लिड ( ईसा से ३६५ वर्ष पूर्व से २७५ पूर्व ) ने अंकगणितीय विभाजन
पर आधारभूत साध्यों को सिद्ध किया । उसने रेखागणित को तर्क पद्धति पर बुना और अर्थमिति की

प्रस्तावना ५

(arithmetica) को व्यवस्थित किया, तथा रैखिकीय काशिकी पर विवेचन दिया । इस तरह पैथेगोरस
और यूक्लिड ने शांकव गणित को छोड़कर शेष प्राथमिक रेखागणित को ठोसरूप से सम्पूर्ण बना दिया ।
इनके पश्चात् आर्किमिडीज़ का नाम आता है, जो विश्व का दूसरा गणितीय भौतिकशास्त्री कहलाता है ।
यह गणितज्ञ ईसा से २८७ वर्ष पूर्व से २१२ वर्ष पूर्व तक रहा । इसने स्थैतिकी और उद्स्थैतिकी
(hydrostatics) के गणितीयविज्ञानों की जड़ जमाई, अनुकल कलन का अनुमान लगाया और
अपने नाम की समानकोणिक कुन्तल (equiangular spiral “p = aθ”) की स्पर्श रेखा-
खींचकर चलन कलन (differential calculus) का स्थूल रूप में प्रयोग किया । इनके सिवाय,
उसने विश्लेषण विधि का प्रयोग गोल, रम्भ, शंकु, गोलीय खंडों, परिभ्रमण से प्राप्त गोलज, अतिपरवलज
(hyperboloid) आदि की शांकव गणना में किया । इनमें से कुछ को यदि आजकल के प्रतीकों
में लिखा जाय तो अग्रलिखित को अनुकलित करना होगा: ∫₀^π Sinx dx; ∫₀^c (ax + x²) dx.
इनके सिवाय इसने परवलयज (paraboloid) के खंड का क्षेत्रफल निकालते
समय फल की रैखिकीय उपपत्ति दी, और उसी की अनन्त श्रेढि का योग,
अभिलेख बद्ध इतिहास के अनुसार, सर्वप्रथम निकाला । वह श्रेढि है ∑₀^∞ (४)⁻ⁿ
जिसमें इस तथ्य का उपयोग किया गया कि सीमा_(न→∞) (४)⁻ⁿ = ० । इस प्रकार आज की गणित
आर्किमीडीज़ के साथ उत्पन्न होकर उसी के साथ मृत होकर दो सहस्र वर्षों के पश्चात् देकार्त (Descartes)
और न्युटन द्वारा पुनर्जीवित की गईं । इसके पश्चात् , (ईसा से १५० वर्ष पूर्व) हिपरकस
(Hipparchus) ने ग्रहों की गतियों का रेखागणित द्वारा निरूपण किया । इसमें १५ वीं सदी में
कापरनिकस और १६ वीं सदी में केपलर ने परिवर्धन किया । कहा जाता है कि हेरन (सन् २०० ईस्वी)
ने त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालने के लिये निम्नलिखित नियम दिया :
△ = [ सा ( सा - का ) ( सा - खा ) ( सा - गा ) ]^(१/२)
पेप्पस (Pappus) ने २५० ईस्वी में तीन महत्वपूर्ण साध्य खोजे । उसने दीर्घवृत्तज
(ellipsoid) आदि की नाभि (focus), नियता (directrix) के गुणों को सिद्ध किया और
इस प्रकार विश्लेषकीय रेखागणित में शंकुच्छेदों के लिये साधारण द्विघात समीकार का आभास प्रकट
किया । उसने प्रक्षेपी ज्यामिति का एक साध्य खोजा, और अनुकल कलन से (परिभ्रमण से प्राप्त न
होनेवाले) सांद्रों की परिमा (आयतन) को निकालने के लिये साध्य खोजे । प्रायः इसी काल में डायोफेंटस
(Diophantus) ने एकघातीय, दो और तीन अज्ञात वाले, समीकरणों को साधित किया ।
ग्रीक गणित का तीव्र विकास प्रायः उस समय से देखा जाता है, जब कि ईसा से ४८० वर्ष पूर्व
हुई मैरथान (Marathon) आदि की लड़ाइयों में इन लोगों ने फारस देश पर अधिकार जमाकर
वहाँ की गणित सीखी । यह कहना कठिन है कि फारस को यह गणित ज्ञान भारत से प्राप्त हुआ या
बेबीलोन, सुमेर और फैनीकिया (Phoenicia) से ।
विश्व सभ्यता के प्राचीन केन्द्र भारत में (ईसा से प्रायः ३००० वर्ष पूर्व के) उच्च सभ्यता के चिह्न
सिंधु नदी की घाटी में मिलते हैं ! उस समय के भारतीय ईंट के मकान बनाते थे, शहर की बन्दिश करते
थे और स्वर्ण, रजत् , ताम्र, कांस आदि धातुओं का उपयोग कर उच्च श्रेणी का जीवन व्यतीत करते थे ।

6 गणितसारसंग्रह
मोहेनजो-दड़ो के लेखों तथा मुहरों को पूर्ण रूप से पढ़ा नहीं जा सका है। उनमें कई ऐसे चिह्न हैं, जो
सम्भवतः बड़ी संख्याओं को दर्शाने के लिये अंकित किये गये होंगे, पर उनके वास्तविक मान का पता
पाने का कोई उपाय नहीं दिखाई देता। वेदों में भी सभ्यता की उच्चावस्था स्पष्ट रूप से दिखाई देती है।
'ब्राह्मण साहित्य' (प्रायः २०००– ००० ई० पू०) में धार्मिक और दार्शनिक तत्व तो हैं ही, इनके
अतिरिक्त उसमें अंकगणित, रेखागणित, बीजगणित और ज्योतिर्विज्ञान की झलक भी दिखाई देती है।
व्याकरण तथा स्वर विद्या सम्बन्धी खोजों से प्रतीत होता है कि ब्राह्मी लिपि, ईसा से पूर्व परिपूर्ण
की गई होगी, और सम्भवतः उसके पहिले ब्राह्मी संख्याओं का आविष्कार हुआ होगा। ब्राह्मण साहित्य
काल में बीजगणित मुख्यतः रैखिकीय थी। किसी दिये गये वर्ग को दी गई भुजा वाले आयत में बदलने
की रैखिकीय विधि जो शुल्ब (प्रायः ८००–५०० ई० पू०) में वर्णित की गई है, एक अज्ञात वाले
एक घातीय समीकार को हल करने के समान है। यथा, अय = स², जहाँ य अज्ञात पद है। जब
दिये गये क्षेत्र को किसी दूसरे अधिक या कम क्षेत्रफल वाले क्षेत्र में बदलना होता था, तब उस क्रिया में
वर्ग समीकरण का उपयोग होता था। वैदिक आहुतियों की सबसे महत्वपूर्ण महावेदी, समद्विबाहु समलम्ब
चतुर्भुज (trapezium) के आकार की थी, जिसका आधार ३०, सामने की भुजा २४ और ऊँचाई
(लम्ब) ३६ एकक (units) थी। वेदी के क्षेत्र को म एकक से बढ़ाने के लिये अज्ञात भुजा क्ष मानने
पर य का निम्नलिखित मान प्राप्त होता है :
३६ य × ((२४ य + ३० य) / २) = ३६ × ((२४ + ३०) / २) + म,
या ९७२ य² = ९७२ + म,
या य = ± √(१ + म / ९७२) ।
यदि म को ९७२ (न - १) रखा जाय ताकि बढ़ी हुई वेदी का क्षेत्रफल, पूर्व क्षेत्र से 'न' गुना
हो जाय, तो क्ष = √ न प्राप्त होता है। इस प्रकार के कुछ विशेष प्रकरण, शुल्ब में वर्णित हैं। न = १४
या १४ ३/७ वाले प्रकरण ब्राह्मण साहित्य में पाये जाते हैं। इसी में शिने सित (बाज पक्षी के आकार की
वेदी) का क्षेत्रफल बढ़ाने के लिये [क² = १३ ८/१२ = (सन्निकटतः) १४] वर्ग समीकरण का उपयोग किया
गया है। इनके सिवाय, निम्नलिखित प्रकार के अनिर्धारित (undetermined) समीकरण भी वेदियों
की रचना में उपयोग में लाये गये हैं :
क² + ख² = ग² (क, ख, ग तीनों अज्ञात हैं);
क² + अ² = ग² (क और ग अज्ञात हैं);
एवं, अक + बख + सग + दघ = प }
क + ख + ग + घ = फ } , जहाँ क, ख, ग और घ अज्ञात हैं।
इसके बाद, एक ज्योतिष का छोटा सा ग्रंथ वेदांग ज्योतिष ✽ महात्मा लगध द्वारा किसी स्वतंत्र
ज्योतिष ग्रंथ के आधार पर यज्ञ की सुविधा के लिये संग्रहीत किया गया प्रतीत होता है। यह ग्रंथ
सम्भवतः काश्मीर के श्रीनगर से भी उत्तर में, काबुल के अक्षांश के आसपास, कहीं रचित हुई ज्ञात होता है
✽ देखिये डा० गोरख प्रसाद द्वारा सम्पादित 'सरल विज्ञान सागर' पृष्ठ ४१०, (इलाहाबाद
विज्ञान परिषद्), भाग १, अंक १-४, (१९४६)

प्रस्तावना 7
वेदांग ज्योतिष का एक युग ५ सौर वर्ष का होता था, जिसमें ६० सौर मास, २ अधिमास, ६२ चांद्र मास
और १८३० अहोरात्र या सावन दिन समझे जाते थे । एक युग में १२४ पक्ष और एक पक्ष में १५ तिथियाँ
मानी गई थीं । इस ग्रंथ के अतिरिक्त त्रिलोक प्रज्ञप्ति, सूर्य प्रज्ञप्ति, चंद्रप्रज्ञप्ति और ज्योतिष करण्डक ग्रंथों
में ग्रीकपूर्व जैन-ज्योतिष गणितीय विचार-धारा दृष्टिगत होती है ।
प्रोफेसर वेबर ( Weber ) के कथनानुसार सूर्य प्रज्ञप्ति ग्रंथ, वेदांग ज्योतिष के समान केवल
धार्मिक कृत्यों के सम्पादन के लिये ही रचित नहीं हुआ, वरन् इसके द्वारा ज्योतिष की अनेक समस्याएँ
सुलझाकर प्रखर प्रतिभा का परिचय दिया गया ।
ईसा से ४०० वर्ष पूर्व के पश्चात् हिन्दू गणित पुनरुद्धार हुआ । उस समय सूर्य सिद्धान्त और
पैतामह सिद्धान्त लिखे गये । गणित दो भागों में विभक्त हुई, एक तो अंकगणित तथा बीजगणित और
दूसरी ज्योतिष तथा क्षेत्रगणित । वैसे तो, बहुत पहिले से भारतीय गणना का आधार १० था । जब ग्रीक
१०⁴ तक और रोमन १०³ तक के ऊपर की गणना जानते न थे, तब भारत में अनेक संकेतना स्थानों
का ज्ञान था । ईसा से ५०० वर्ष पूर्व से ही शतकमान पर आधारित संख्याओं के नामों की श्रेणी को जारी
रखने के प्रयत्न हो चुके थे । ईसा से १०० वर्ष पूर्व के ग्रंथ अनुयोग सूत्र में (२)⁹⁶ तक की संख्या का
उपयोग हो चुका था । इसमें स्पष्ट रूप से २ को आधार चुना गया था । जब स्थान-मान का विकास हुआ
तब इकाई से लेकर दशमलव मान पर संख्या को लिखने के लिये संकेतना स्थान दिये गये ।
शून्य प्रतीक ❀ का उपयोग पिंगल ने ( ईसा से २०० वर्ष पूर्व ? ) अपने चौंदा सूत्र के छन्दों में
किया है । ईसा के कुछ सदियों पश्चात् की ( बक्षाली गाँव की खुदाई से प्राप्त ) भोज पत्रों पर लिखित
एक पोथी में भी अंक शैली का प्रयोग देखा गया है । इसमें गणना में शून्य का उपयोग हुआ है ।
शून्य प्रतीक सहित स्थान-मान संकेतना पद्धति, गणित के सभी आविष्कारकों द्वारा बुद्धि की प्रगति के लिये
दिये गये अंशदान में उच्चतम कोटि की है । यह अभी तक अज्ञात है कि दशमलव स्थान-मान पद्धति का
जन्मदाता कौन विद्वान्-विशेष अथवा ऋषि-मण्डल था । साहित्यक तथा पुरालेख-सम्बन्धी प्रमाणों से यह
निश्चित किया गया है कि यह पद्धति २०० ई० पू० के लगभग भारतवर्ष में ज्ञात थी । इस नवीन पद्धति
के प्रयोग का प्राचीनतम लिखित प्रलेख ५९४ ई० का गुर्जर का दान पत्र है । यहाँ यह उल्लेख करना
आवश्यक प्रतीत होता है कि सेन्ट्रल अमेरिका के माया लोगों की तिथिपत्री में भी शून्य आया है ।
ये २० को आधार लेकर कोई स्थान-मान पद्धति का उपयोग करते थे । यह माया गणना ईसा से २००
से लेकर ६०० वर्ष बाद की मानी गई है । †
ईसा की पाँचवी सदी में जगत् प्रसिद्ध गणितज्ञ आर्यभट पटना में हुए । इनके पहिले पौलिश,
रोमक, वाशिष्ठ, सौर और पैतामह नाम से ज्योतिष के पाँच सम्प्रदाय प्रचलित थे । रोमक सम्प्रदाय यूनानी
❀ भारतीय शून्य के आविष्कार के विस्तार के विषय में Encyclopaedia Britannica,
vol. 23, p. 947, ( 1929 ) पर उल्लिखित लेख देखिये ।
† स्थान-मान संकेतना के संबंध में न्युगोबाएर (Neugebauer) का अभिमत उल्लेखनीय है,
"It seem to me rather plausible to explain the decimal place value notation as a
modification of the sexagesimal place value notation with which the Hindus became
familiar through Hellenistic astronomy."—The exact Sciences in Antiquity, Provi-
dence ( 1957 ), p. 189.

8 गणितसारसंग्रह
गणना शैली का द्योतक है । इनके ग्रंथ आर्यभटीय से ज्ञात होता है कि इन्होंने सब ग्रंथों का सार
ग्रहणकर अपने समय के ज्योतिष ज्ञान को बढ़ाने में अभूतपूर्व कार्य किया । इन्होंने सूर्य तारों को स्थिर
बतलाया, पृथ्वी की परिधि निश्चित की और सूर्य, चंद्र ग्रहण के कारणों का वैज्ञानिक ढंग से स्पष्टीकरण
किया । इस ग्रंथ के गणित पाद अध्याय में अंकगणित, बीजगणित और रेखागणित के बहुत से कठिन
प्रश्नों को ३० श्लोकों में भर दिया गया है । उसमें उन्होंने क्षेत्रफल, घनफल, त्रिकोणमिति, छाया
सम्बन्धी प्रश्न, वृत्त की जीवा और शरों का सम्बन्ध, दो राशियों का गुणनफल और अन्तर जान कर
राशियों को अलग करने की रीति, वर्ग समीकरण का एक उदाहरण, त्रैराशिक, भिन्नों के गुणन भाग की
रीति, कुछ कठिन समीकरणों को हल करने के नियम, दो ग्रहों का युतिकाल जानने का नियम, और
कुट्टक नियमादि का कथन किया है । ज्या का वाचक शब्द साइन, ज्या की संस्कृत पर्याय 'शिंजनी' के
रूपांतर का अपभ्रंश है ।
सातवीं सदी* में गणित का प्रशंसनीय विकास ब्रह्मगुप्त द्वारा हुआ । २१ अध्याय के ग्रंथ ब्राह्म-
स्फुट के गणिताध्याय में इन्होंने विशेषतः व्यस्त त्रैराशिक, भाण्ड प्रतिभाण्ड, मिश्रक व्यवहार, ब्याज,
श्रेणियाँ, छाया माप आदि में अंकगणित का प्रयोग किया, और कुट्टक गणित में ऋणात्मक संख्याओं के लिये
नियम निकाले, अनिर्धृत (indeterminate) समीकरणों पर कार्य किया, और सूर्य घड़ी में त्रिकोणमिति
का प्रयोग किया । अ क्ष² + १ = य², (जिसमें क्ष और य अज्ञात है) जैसे अनिर्धृत समीकरणों का
विवेचन भी ग्रंथकार ने किया । इस समीकरण का नाम भूल से पेलियन (Peleian) समीकरण पड़ गया
है । यह द्विघातीय वर्ग रूपों और वर्ग क्षेत्रों के अंकगणितीय सिद्धान्तों का मूलभूत आधार है । इनके
सिवाय क्षेत्र व्यवहार, वृत्तक्षेत्र गणित, खात व्यवहार, चिति व्यवहार, क्रकचिका व्यवहार, राशि, छाया
व्यवहार आदि का विवेचन भी किया गया है ।

• इस सदी में मुसलमानों की संस्कृति के सहसा उत्थान तथा १२ वीं सदी में उसके सहसा
  पतन के सम्बन्ध में इतिहास बड़ा रोचक है । सन् ६२२ में पैगम्बर मुहम्मद साहिब के अनुयायी अपनी
  यात्राओं पर हरे झंडे के नीचे संगठित होकर चल पड़े । सन् ६३५ में दमसक (Damascus) पर विजय
  प्राप्त कर सन् ६३७ में जेरुसलम (यरूशलम) जीता गया । चार वर्ष पश्चात् सिकन्दरिया का पुस्तकालय
  नष्ट किया गया । मिस्र को अधिकार में लेकर ६४२ ईस्वी में फारस पर आधिपत्य जमाया गया । १०० वर्ष
  पश्चात् विजेतागण ७११ ईस्वी में स्पेन में पहुँचे, जहाँ उन्होंने सभ्यता को ८ शताब्दियों तक बढ़ाया ।
  इसी काल में वे भारत की अंकगणित तथा ग्रीस की रेखागणित को यूरोप ले आये । पूर्व में अब्बासीद
  (Abbasid) खलीफाओं के आधिपत्य में बगदाद पूर्व की सभ्यता का केन्द्र ७५० से १२५८ ईस्वी
  तक रहा, और स्पेन में कारडोवा (Cordova) पश्चिम की बौद्धिक रानी (the intelle-
  ctual queen of the west) बना । इस अन्तराल में विज्ञान के आदान-प्रदान के सम्बन्ध में
  Encyclopaedia Britannica में निम्नलिखित उल्लेख है—“The muslim civilization, parti-
  cularly as represented at Baghdad, c 800. c 1000, developed a type of mathe-
  matics which combined the characteristic features of the Greek and Hindu treat-
  ment of the science. Eastern faith in astrology and skill in number met with Western
  faith in philosophy and skill in geometry, and the Baghdad scholars, absorbing
  each, produced text books in general algebra, elementary number, astronomy
  and trigonometry which, through the efforts of Latin translators, gave new life to
  mathematics in Europe"-vol. 15, p 84, (1929)

प्रस्तावना 9
इसके पहिले कि हम दक्षिण में गणित की प्रगति महावीराचार्य के ग्रंथ से प्रदर्शित करें, एक और
नवीन खोज हमें आकर्षित कर लेती है । महावीराचार्य के सम्भवतः पूर्वकालीन, सुप्रसिद्ध धवलाकार
वीरसेनाचार्य ने ईसा की सम्भवतः द्वितीय सदी के उद्भट आचार्य श्री पुष्पदंत और भूतबलि द्वारा रचित
षट्खंडागम ग्रंथों की धवला नामक टीका पूर्ण करने में अपना सारा जीवन अर्पित किया । यह ग्रंथमाला गत
बीस वर्षों में ही डाक्टर हीरा लाल जैन प्रभृति विद्वानों द्वारा प्रकाश में लाई गई है । टीकाकार ने स्थान
स्थान पर किन्हीं गणित ग्रंथों से, सूत्रों को उद्धृत किया है । डा० अवधेशनारायण सिंह द्वारा इस ग्रंथ
के शांकव गणित के अतिरिक्त गणित की नवीन निम्नलिखित खोजें प्रकाश में लाई गई हैं,† जिनका
उपयोग जैन दर्शन के अध्ययन हेतु संभवतः ईसा की प्रारम्भिक शताब्दियों में प्रचलित हो गया होगा ।
प्रथम तो बड़ी बड़ी संख्याओं का उपयोग जिनको व्यक्त करने के लिये प्रतीक संकेतना अन्य ग्रन्थों में
उपलब्ध है ।‡ जैसे, २ की तीसरी वर्गित संवर्गित राशि वह है जो २५६ में उसीका २५६ बार गुणन करने
पर प्राप्त होती है । दूसरे सलागागणन अथवा लघुगणक ( logarithm ) का बृहत् उपयोग, जिसके
आविष्कारक १७ वीं सदी के 'जान नेपियर' एवं 'जुस्त बर्गी' माने जाते हैं । तीसरे, अनन्त राशियों का
गणित, जिसके विकास के लिये १९ वीं सदी में हुए जार्ज केंटर के प्रयत्न सुप्रसिद्ध हैं। जहाँ तक
रेखागणित का सम्बन्ध है, यतिवृषभ ( ४०० ?, ६०० ? ईस्वी पश्चात् ) की तिलोय पण्णत्ती में एवं
वीरसेन की धवला टीका ( डा० हीरालाल जैन द्वारा सम्पादित, पुस्तक ४ ) में सम्भवतः ईसा पूर्व के ग्रंथ
अग्गयणिय, दिट्ठिवाद, परिकम्म, लोयविणिच्छय, लोय विभाग, लोगाइणि आदि में से उद्धृत गाथायें एवं
उल्लेख महत्वपूर्ण हैं । इन दो ग्रंथों के ऐतिहासिक महत्वपूर्ण प्रकरणों में से कुछ ये हैं : दृष्टिवाद से जम्बूद्वीप
की परिधि का माप, उपमा प्रमाण, विविध क्षेत्रों का घनफल निकालने की विधियाँ; बाण, जीवा, धनुष
पृष्ठ आदि में सम्बन्ध, धनुषक्षेत्र का क्षेत्रफल, सजातीय तथा समक्षेत्र घनफल वाली आकृतियों का रूपान्तर
एवं उनकी भुजाओं के बीच सम्बन्ध आदि ।
इस प्रकार धवलादि सिद्धान्त ग्रंथों में अलौकिक गणित का आधार लिया गया है, जिस पर अभी
कोई ग्रंथ प्रकाश में नहीं आया है । लौकिक गणित के सम्बन्ध में सर्वप्रथम महावीराचार्य का यह
गणित सारसंग्रह नामक ग्रंथ सम् ९११२ में सुप्रसिद्ध हुआ। महावीराचार्य का यह ९ अध्याय वाला
ग्रंथ ऐतिहासिक दृष्टि से महत्वपूर्ण सिद्ध हुआ । इसकी खोज ने यह सिद्ध कर दिया कि भारत के सुदूर
दक्षिण में भी उत्तर के विद्या केन्द्रों की तरह, विद्या के केन्द्र थे । इस सुदूर दक्षिण में, गणित के विज्ञान
को बढ़ाने में उस समय प्रयत्न किया गया, जब कि उत्तरीय भारत में ब्रह्मगुप्त और भास्कर के समय के
† इनके विस्तृत विवरण के लिये निम्नलिखित लेख देखिये—
Singh, A. N., History of Mathematics in India from Jain Sources; The Jain
Antiquary Vol. XV, No. II. ( 1949 ), pp. 46-53; Vol. XVI, No. II, ( 1950 )
pp. 54-69.
‡ देखिये—
(१) लक्ष्मीचंद्र जैन, तिलोयपण्णत्ती का गणित, प्रस्तावना लेख ( जम्बूदीवपण्णत्तीसंगहो ),
शोलापुर ( १९५८ ) ।
(२) टोडरमल, अर्थ संदृष्टि ( गोम्मटसार ), गांधी हरि भाई देवकरण जैनग्रंथमाला, कलकत्ता
( प्रकाशन वर्ष उल्लिखित नहीं )

10 गणितसारसंग्रह
बीच श्रीधराचार्य को छोड़कर कोई प्रकांड गणितज्ञ न हुआ । महावीराचार्य ने अपने समय के नृपतुंग
अमोघवर्ष के आश्रय में रहकर, पूर्ववर्ती गणितज्ञों के कार्य में कुछ सुधार किया, नवीन प्रश्न दिये, दीर्घवृत्त
(ellipse) का क्षेत्रफल निकाला तथा मूलबद्ध और द्विघातीय समीकरण आदि में सुंदर ढंग से पहुँच की ।
इनके ग्रन्थ में ब्रह्मदत्त के कुट्टक से एक और अध्याय अधिक है, पर इसके अध्यायों के विषय एकसे नहीं
हैं । सबसे पहिले, इस ग्रंथ की ४९ वीं गाथा पढ़ने से मालूम होता है कि महावीराचार्य ने शून्य के
विषय में सबसे पहिले भाग करने की क्रिया दर्शाने का साहसपूर्ण प्रयत्न किया । किसी संख्या में शून्य द्वारा
विभाजन के लिए, उन्होंने लिखा कि संख्या शून्य द्वारा विभाजित होने पर बदलती नहीं है । जिस दृष्टिकोण
को लेकर यह लिखा गया वह इसलिए ठीक है कि जब कुछ वस्तुओं को लेकर उन्हें कुछ व्यक्तियों में
बाँटा जाय तो वे वस्तुएँ विभाजित हो जावेंगी । जब उन्हें शून्य व्यक्तियों में वितरित करना हो,
अर्थात् बाँटना हो तो वस्तुएँ ज्यों की त्यों बच रहेंगी । पर, गणितीय विश्लेषण के दृष्टिकोण से
सीमा क
न → ० — = ∞
न
होती है जहां क एक परिमित ( finite ) संख्या है ।
इसके पश्चात् , गाथा ६३ से लेकर ६८ तक संकेतनात्मक स्थानों के नाम दिये गये हैं । उनके
पहिले १९ वें स्थान तक संख्या की गणना के नाम दिये जा चुके थे । उन्होंने २४ स्थान तक नाम दिये
जिसमें २४ वें स्थान का नाम महाक्षोभ लिखा है । ये २४ स्थान, सम्भवतः २४ तीर्थंकरों की संख्या
के आधार पर दिये गये होंगे । इसी तरह रत्न शब्द को “तीन” दर्शाने के लिए उपयोग किया गया,
जबकि गणितज्ञों ने उसका उपयोग “पांच” दर्शाने के लिये किया । जैन दर्शन में सम्यक्दर्शन ज्ञान चारित्र
को रत्नत्रय कहा गया है । इसी प्रकार तत्व, पन्नग, भय, कर्म आदि कई शब्दों का उपयोग जैन दर्शन के
आधार पर संख्यायें दर्शाने के लिये किया गया है । बड़ी संख्या को दर्शाने के लिए ग्रन्थकार ने स्थानार्हो
का उपयोग किया है । जैसे, ३०२१ लिखने के लिए चंद्र, अक्षि, आकाश, अग्नि लिखा है ।
ग्रंथकार ने भाग देने की एक वर्त्तमान विधि का कथन किया है । इस सुविधाजनक विधि से
उभयनिष्ठ गुणनखंडों को हटाकर विभाजन किया जाता है । किसी भी भिन्न को इकाई भिन्नों की किसी
संख्या के योग द्वारा व्यक्त करने के लिए कुछ नियम भी दिये गये हैं । ये नियम सर्वथा मौलिक हैं ।
मिश्रक व्यवहार में भी दो नये प्रकार के प्रश्नों को हल करने के लिए नियम दिये गये हैं । ब्याज निकालने
के प्रश्न में गाथा ( ३८ ) में दिये गये सूत्र से पता चलता है कि महावीराचार्य को निम्नलिखित सर्वसमिका
( identity ) ज्ञात थी :
अ स इ अ + स + इ + ...
— = — = — = ......... = —————————————— साथही, ( अ + ब )³ = अ³ + ३अ²ब
ब द फ ब + द + फ + ...

• ३ब² अ + ब³, द्वारा प्रदर्शित सूत्र उनके पूर्ववर्त्ती गणितज्ञों द्वारा दिया गया पर महावीर ने इस सूत्र
  का साधारण रूप बनाकर प्रस्तुत किया, जिसके लिए नियम भी बतलाये गये हैं—
  ( अ + ब + स + द + ...... )³ = अ³ + ३अ² ( ब + स + द + ......
• ३अ ( ब + स + द + ......)+( ब + स + द + ...... )³, इत्यादि ।
  ग्रंथकार ने कूट स्थिति द्वारा भी अध्याय ३ तथा ४ के कई प्रश्न हल किये हैं । कूट स्थिति के
  नियम का उपयोग बीजगणित के विकास की पूर्वावस्था को दर्शाता है, जबकि अज्ञात के लिये कोई प्रतीक
  न होता था । भारत में यह नियम केवल अंकगणित में उपयोग में लाया गया, क्योंकि बीजगणित पहिले से

प्रस्तावना 11
ही पर्याप्त प्रगति कर चुकी थी । बख्शाली हस्तलिपि में इसे यहच्छ, बाँछा या कामिका के नाम से
अभिधानित किया गया है ।
महावीर के बीजगणित तथा काल्पनिक राशि * के विषयमें उनकी प्रतिभा का परिचय देने के
सम्बन्ध में ई. टी. बेल की अभ्युक्ति है—
“The rule of signs became common in India after their restate-
ment by Mahavira in the ninth century.... The early history of comp-
plex numbers is much like that of negatives, a record of blind mani-
pulations, unrelieved by any serious attempt at interpretation or
understanding. The first clear recognition of imaginaries was Maha-
vira’s extremely intelligent remark in the ninth century that, in the
nature of things, a negative number has no square root. He had
mathematical insight enough to leave the matter there, and not to
proceed to meaningless manipulations of unintelligible symbols.” †
इसके अतिरिक्त ग्रंथकार ने व्यापकीकृत (generallized) पद्धति वाले एकघातीय समीकरणों
को हल करने के नियम दिये हैं, और अनेक अज्ञात वाले युगपत् द्विघात समीकरणों को हल किया है ।
उन्हें ज्ञात था कि वर्ग समीकरण के दो मूल होते हैं ।‡
जहाँ डाओफेन्टस ने म, न भुजाएँ लेकर समकोण त्रिभुज बनाया, वहाँ महावीर ने म, न भुजाएँ
लेकर आयत की रचना की है । अध्याय ७ की ९५½, ९७½, ११२½ वीं गाथाओ में महावीर ने दिये गये
कर्ण (अ) को लेकर सभी सम्भव समकोणों को प्राप्त करने के लिये, अर्थात् क२ + ख२ = अ२ को लेकर
हल करने के लिये तीन नियम दिये हैं । प्रथम दो नियम एक दृष्टि से ठीक नहीं हैं, क्योंकि
√(अ२ – प४) या √(अ२ – प२) परिमेय ( rational ) तब तक नहीं हो सकते, जब तक कि प को
ठीक तरह न चुना जाय । तीसरा नियम बड़े महत्व का है । यह रीति, बाद में यूरोप में, पीज़े ( Pisa )
के लेनर्डो फीबोनाट्‌चि ( Leonardo Fibonacci ) ने १२०२ ईस्वी में फिर से खोजी गई । इस
विधि का उद्गम शुल्व सूत्रों में है ।
ब्रह्मगुप्त और महावीर दोनों ने चतुर्भुज क्षेत्र का क्षेत्रफल निकालने के लिये निम्नलिखित
सूत्र दिया है:— √(सा – फा) (सा – खा) (सा – गा) (सा – घा) जहां सा, अर्धपरिमाप है और
का, खा, गा, घा भुजाओं के माप हैं । पर यह सूत्र केवल चक्रीय चतुर्भुजों के लिए ठीक उतरता है ।
इसी प्रकार, विषम त्रिभुज के क्षेत्रफल के सम्बन्ध में नियम दिये गये हैं ।

• देखिये, मूल गाथा ५२, प्रथम अध्याय ।
  † Development of Mathematics,pp. 173,175 (1945)
  ‡ उपर्युक्त वर्णन से कहा जा सकता है कि भारतीयों ने बीजगणित के विज्ञान को दो मुख्य
  भागों में विभक्त किया । एक भाग तो बीज ( विश्लेषण analysis ) का विवेचन करता है,
  और दूसरा भाग ऐसे विषयों का जो बीज के लिये आवश्यक हैं । वे विषय, चिह्नों के नियम,
  शून्य और अनन्ती की अंकगणित, अज्ञातों के साथ क्रियाएँ, करणी, कुट्टक और पेलियन समीकरण
  ( Pellian equation ) हैं ।

12 गणितसारसंग्रह
महावीराचार्य और ब्रह्मगुप्त आदि के प्रश्नों तथा अन्य प्रकरणों की भिन्नता के सम्बन्ध में डेविड
यूजीन स्मिथ का निम्नलिखित वक्तव्य द्रष्टव्य है :
“......For example, all of these writers treat of the areas of
polygons, but Mahāvīrācārya is the only one to make any point of
those that are reentrant. All of them touch.upon area of a segment
of a circle, but all give different rules. The so called janya operation
is akin to work found in Brahmagupta and yet none of the problems
is the same. The shadow problems, primitive cases of trigonometry
and gnomonics, suggest a similarity among these three great writers,
and yet those of Mahāvīrācārya are much better than the one to be
found in either Brahmgupta or Bhasker, and no question is dupli-
cated.”*
महावीराचार्य द्वारा गणितग्रंथ के सिवाय ‘ज्योतिष पटल’ ग्रंथ भी रचित किए जाने की सम्भावना
“भारतीय ज्योतिष”† के लेखक पं० नेमिचंद्र शास्त्री ने प्रकट की है। अभी तक इसके लिये पुष्ट प्रमाण
प्राप्त नहीं हो सके हैं ।
गणित इतिहास का उपर्युक्त सामान्य अवलोकन हमने मुख्यतः ई. टी. बेल के “Develop-
ment of Mathematics”, और विभूतिभूषण दत्त तथा अवधेशनारायण सिंह के, “History
of Hindu Mathematics” नामक ग्रंथों का आधार लेकर दिया है। चीन के सम्बन्ध में
अभी हमें यथेष्ट सामग्री नहीं मिल सकी है ।
गणित इतिहास का विशिष्ट अवलोकन
अब हम भारतीय गणित इतिहास के अंधतम काल में प्रवेश करने का प्रयत्न करेंगे । इस काल
में, विशेषकर यूनान और भारत में सम्भवतः बेबिलन, मिस्र और भारत की प्राचीन मृतप्रायः गणित
में अकस्मात् गति आई । गणित द्वारा अलौकिकीय विषयों को बांधने के अभूतपूर्व प्रयास होने लगे ।
इस प्रयास के चिह्न यूनान में मुख्यतः पिथोगोरस के वर्गों में और विशेष रूप से भारत में तीर्थंकर
महावीर के तीर्थ में परिलक्षित किए गये हैं। ‡ आत्मा को सत्य की ओर आकर्षित करने के लिए
केवल इन्हीं वर्गों में दर्शन, धर्म की धाराओं में गणित का प्रयोग अद्वितीय है । यह निश्चित है
कि इस काल में विश्व की प्राचीन गणित में इस प्रयोजन से बीज बोया गया, कि बीजगणित के
द्वारा प्रस्फुटित पारमार्थिक बोध, उपादेय में एकाग्रता की सिद्धि दे सके । एक ओर यूनान में
पिथोगोरस द्वारा प्रतिपादित अहिंसा के साथ ही साथ संख्या सिद्धान्त से पुष्ट दर्शन जन्म मरण के चक्र

• Introduction to English Translation & Notes of गणितसार संग्रह by M. Ranga-
  charya, ( 1912 ).
  † भारतीय ज्ञानपीठ, काशी ।
  ‡ चीन में तत्सम्बन्धित प्रयासों की खोज के लिये अभी हमें उपयुक्त सामग्री प्राप्त नहीं हुई है ।
  (फिर भी, जो कुछ हमें मिल सका है उसे अंत में प्रस्तुत किया है ।

प्रस्तावना १३
से विमुक्त होने का साधन प्रतीत होता है, वहां भारत में "सुखी रहें सब जीव जगत के" जैसी भावनाओं
से प्रेरित तत्वों के सामान्यकरण की सीमा
"खम्मामि सव्व जीवाणं, सव्वे जीवा खमन्तु मे ।
मेत्ती मे सव्व भूदेसु, वैरं मज्झं ण केणवि ॥"
में परिलक्षित होकर राशि सिद्धान्त की प्रयुक्ति से अनन्तत्व को प्राप्त हुई दिखाई देती है । हमारा
यह संकेत है कि यूनान और भारत के गणित की तुलना का उक्त आधार सम्भवतः उपयोगी सिद्ध
होगा । इस तुलना का अभिप्राय किसी देश की महानता आदि दिखाने का नहीं है, वरन् यह बतलाने
का है कि सत्य और अहिंसा के तत्व विश्व के गुरुता केन्द्र को शांति के प्रांगण में खींचकर ले जाते हैं,
और इस खिंचाव में जो आदान प्रदान होता है वहां सापेक्षता कृत परिवाद विश्वबंधुत्व के अंचल में
विलीन हो जाते हैं । यही कारण है कि ऐसे समय में उक्त तत्वों से अभिप्रेरित खोजों के इतिहास को
महत्व नहीं दिया जाता, जिससे इतिहास काल का मौन और अंध रहना स्वाभाविक प्रतीत होता है ।
पुनर्जागरण के इतिहास के तत्वों की खोज करने के लिए हम पिथेगोरस का भ्रमण पथ
अपनावेंगे । इस भ्रमण पथ के विषय में अभ्युक्ति प्रसिद्ध है, कि -
"Like many others of the sages in that Kingdom ( Egypt ), he
was carried captive to Babylon, where he conversed with the Persian
and Chaldean Magi; and travelled as far as India, and visited the
Gymnosophists." *
तदनुसार हम सर्व प्रथम मिस्र देश के बर्द्धमान महावीर कालीन पुनर्जागरण के इतिहास पर प्रकाश
डालेंगे । थेलीज़ ( ६४० ई. पू.) और पिथेगोरस, दोनों का भ्रमण मिस्र में सेइटिक युग (Saitic Period)
६६३-५२५ ईस्वी पूर्व में हुआ होगा । इस समय मिस्र में कूफू ( Khufu ) कालीन सिद्धान्तों की जो पुन-
र्जागृति हुई वह ( क्षितिज में उदय होने वाले 'अज्ञान अंधकार विनाशक' सूर्य—Horus em akhet के
परम्परागत प्रतीक) गीज़ा (Giza) के स्फिंक्स (Sphinx) से सहसम्बन्धित थी । कूफू के सम्बन्ध में नवीन
मत यह है कि इस पराक्रमी नृप ने ई. पूर्व २६०० के लगभग बलि प्रथा का अंत कर जनता क हित में
उन्हें विभिन्न कार्यों में संलग्न किया था । मध्यपूर्व की प्रायः सभी प्राचीन सभ्यताओं वाले देशों में स्फिंक्स की
विभिन्न मुद्राएं रूढ़ि रूप से पूजा की पात्र रही हैं। जिसके मुख को छोड़ कर शेष अंग सिंह का है ऐसे स्फिंक्स
के मिस्री नाम क्रमशः समस्तावतारों में सूर्य ( Horem-akhet-Kheperi-Ra-Atum 1420-
1441 B. C. ), जीवित मूर्ति ( Seshepankh ), सिंह ( Sinuhe ), आदि रहे हैं। इस स्फिंक्स
मूर्ति में मानव वदन देकर, इतिहासकारों के मतानुसार, सिंह के आतङ्क में बुद्धि, शक्ति और दया का
सम्मिश्रण किया गया है । टालेमीय ( Ptolemaic ) कालीन लेख में इस मूर्ति को तीन मुकुट युक्त
बतलाकर मानों तीनों लोकों के नाथ की उपाधि से विभूषित किया है "And Horus of Edfu
transformed himself into lion which had the face of a man, and
which was crowned with the Triple Crown (')."† सम्भवतः २६ वे राजवंश काल
( ईस्वी पूर्व ५८८-५६९ ? ) की महत्वपूर्ण इन्वेन्टरी स्टीले ( Inventory Stela ) में अंकित लेख

• Encyclopedia Americana, vol. 23, p. 47, ( 1944 ).
  † Salem Hossan : Tne sphinx, p, 80, Cairo ( 1949 )

14 गणितसारसंग्रह
अहिंसा की प्रवर्त्तना के संवाद को प्रकाश में लाता हुआ स्फिंक्स की कहानी में वर्द्धमान महावीर की
जीव दया की सदृशता प्रकट करता प्रतीत होता है :
“......The plans of the Image of Hor-em-akhet were brought
in order to bring to revision the sayings of the disposition of the
Image of the very Redoubtadle.............He came to make a tour,
in order to see the thunderbolt, which stands in the Place of the
Sycamore, so named because of a great sycamore, whose branches
were struck when the Lord of Heaven descended upon the place of
Hor-em-akhet, and also this image retracing the erasure according
to the above mentioned disposition, which is written,......of all the
animals killed at Rostaw. It is a table for the vases full of these
animals which, except for the thighs, were eaten near these 7 gods,
demanding......(The God gave) the thought in his heart, of a
written decree on the side of this Sphinx, in an hour of the night (¹).
The figure of this God, being cut in stone, is solid, and will exist to
eternity, having always its face regarding the orient.”*
उपर्युक्त लेख का मुख्य भाग पवित्र मूर्तियों एवं प्रतीकों के प्ररूपण से पूर्ण है जो कूफ़ू द्वारा प्राप्त हुईं
मानी जाती हैं। निम्नतम कोटि के जीवों के प्रति मिस्र में प्रचलित दया का उल्लेख आर्चबिशप व्हेतली
ने किया है, “In Egypt there are hospitals for superannuated cats, and
the most loathsome insects are regarded with tenderness;......,” तथा
वहाँ मांसभक्षण निषेध एवं ब्रह्मचर्य पूजा के महत्वपूर्ण लक्षण माने जाते हैं, “Chastity, abstinence
from animal food, ablutions, long and mysterious ceremonies of
preparations of initiation, were the most prominent features of
worship.........Ӡ
कूफ़ू द्वारा निर्मित महास्तूप के स्फिंक्स का स्थल सेइटिक काल ( Saitic Period ) में
जीव दया की प्रेरक पशु पूजा का केन्द्र रहा है। इसकी पुष्टि, सलीम हसन के शब्दों में यह है, “At
the time when this stela was inscribed, there was a great revival of
the worship of the Apis bull at Memphis, and that animal may also
have been venerated in the Giza district at least during the Saitic
Period and later...............”
इसके प्रायः ३०० वर्ष उपरान्त का इतिहास अंधकारमय है। यहां “इतिहास पिता” हिरोडोटस
भी मौन है । ३०० ई. पू. से लेकर ३०० ई. प. तक का काल हेलेनीय ( Hellenism ) युग है।
इस समय सिकंदरिया यूनानी कला और विज्ञान का केन्द्र रहता है। फलित ज्योतिष का उदय होता है।

• The Sphinx, pp. 222-224, ( 1949 ),
  † W. E. H. Lecky, History of European Morals, Vol. I., pp 289, 325 ( 1899 ).

प्रस्तावना 15
यूनानी विज्ञान का उच्चतम विकास होता है, पर अंकगणित और ज्योतिष ( astronomy ) वही
आदिकालीन रहते हैं ।
मिस्र में प्रचलित अंकगणित से यूनानियों ने क्या सीखा ? इस प्रश्न पर वाएर्डेन का मत है कि
यूनानियों ने मिस्र की गुणन विधि तथा भिन्नों का कलन सीखा होगा । इस प्रकार के कलन को उच्च बीज-
गणित के विकसित करने का आधार नहीं बनाया जा सकता है । यूनानियों ने ज्यामिति को भी स्वतंत्र
रूप से विकसित किया । मिस्र की ज्यामिति के कुछ फल अवश्य ही प्रशंसनीय रहे हों, पर यूनानियों के
लिए वह केवल प्रयुक्त अंकगणित ही थी । रोमन युग में भी, जब कि फलित ज्योतिष का विकास हुआ,
मिस्र की गणित ज्योतिष यूनान और बेबिलन की गणित ज्योतिष से बहुत पीछे रही ।
यहां मिस्र और भारत की अभिलेखबद्ध सामग्री पर दृष्टिपात करना कहां तक उपयोगी सिद्ध
होगा, नहीं कहा जा सकता :
( १ ) न केवल मास्को पेपायरस में, वरन् रिंड पेपायरस ( सम्भवतः ईसा से १७०० वर्ष पूर्व ) में
भी परिधि और व्यास के अनुपात ( π ) का मान (१६/९)² अथवा ३·१६०५......माना गया है । *
ठीक यही मान नेमिचंद्राचार्य ने इस प्रकार उल्लिखित किया है,
“यदि किसी वृत्त की त्रिज्या त्र और उसके समाई किसी वर्ग की भुजा भ हो,
तो त्र = ९/१६ भ होता है”†‡
π का एक दूसरा मान √१० है, जो दशमलव के दो अंकों तक इसी रूप में प्राप्त होता है ।
इसे यति वृषभ ने तिलोय पण्णत्ती में दृष्टिवाद से अवतरित उल्लिखित किया है । ❂
( २ ) समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल निकालने के सूत्रों का उपयोग तिलोय पण्णत्ती की गाथाओं,
१ - १६५, १८१ आदि में हुआ है । उपरोक्त सूत्रों से अवतरित सूत्र का उपयोग मिस्र के यंत्रियों ने
चतुर्भुज का स्थूल क्षेत्रफल निकालने के लिए किया । यह सूत्र एडफू के सूर्य मंदिर में ( सम्भवतः ईसा
से १०० वर्ष पूर्व का ) प्राप्त हुआ है । ✕
( ३ ) मिस्र में π का एक दूसरा मान बीजों की राशियों अथवा उनसे भरी जाने वाली वरिमाओं
के माप से परिगणित परिधि और व्यास का अनुपात (ratio) के रूप में ३·२ प्राप्त होता है । + व्यास
को यदि इकाई लिया जाय तो वीरसेनाचार्य द्वारा उल्लिखित सूत्र “व्यासं षोडश गुणितं......” से π का
मान ३ १/५ प्राप्त होता है । ÷
(४) रज्जु (Rope) जिनागम के विविध विषयों का निरूपण करता है । यह आयाम की एक
विश्व इकाई है जिसका सम्बन्ध सूच्यंगुल, द्वीप समुद्रों की संख्या, आदि से स्थापित किया है । ∤ केन्टर के

• J.L. Coolidge : A History of Geometrical Methods, p. 11, (1940).
  † त्रिलोक सार, गाथा १८ ।
  ‡ विभूति भूषण दत्त, जैन सिद्धान्त भास्कर, भाग २, किरण २, पृ० ३४ ।
  ❂ ति. प. ४-५०, ५७ ।
  ✕ षट्खंडागम, पुस्तक ४, गाथा १, ३ आदि ।

• T. Health, Greek Mathematics, vol. I., p. 125, (1921).
  ÷ षट्खंडागम, पु. ४, पृ. ४०, गाथा १४ ।
  ∤ लक्ष्मीचंद्र जैन, तिलोय पण्णत्ती का गणित, शोलापुर, पृ० ९९-१०१, ( १९५९) ।

16 गणितसारसंग्रह
अनुसार, मिस्र के यंत्री, पिथेगोरस के साध्य का उपयोग रज्जु के द्वारा करते थे, और वे रज्जु बांधने
या खींचने वाले कहलाते थे। वाएडर्डेन का मत है कि केन्टर का यह कथन कि ये लोग ३ः ४ः ५ वाले
रज्जु का उपयोग करते थे, और उन्हें पिथेगोरस का साध्य ज्ञात था, सही नहीं है। इतना अवश्य है
कि पिरेमिड आदि के निर्माण में मिस्री बहुत शुद्ध रूप से समकोण बनाते थे। ☸
(५) मिस्र में द्विगुणित करने का परिकलन (duplatio) और अर्द्धच्छेद प्रक्रिया (mediatio)
प्राचीन काल से प्रचलित थी। † यही यूनान में नीओपिथेगोरियन वर्ग ने उपयोग में उतारा, और यही
हम षट्खंडागम‡ जैसे ग्रंथों में बिखरे हुए पाते हैं। भिन्नों के परिगणन मिस्र के इन पेपायरसों में तथा
धवला टीका में विस्तृत रूप में देखने मिलता है। इनके सिवाय 'ह' (aha) परिकलन राशि कलन की
परम्परा को सूचित करते हैं। कूट (false) स्थिति के मिस्री प्रयोग महावीराचार्य के गणितसार संग्रह में
देखने में आये हैं।
(६) वर्ग आधार वाले स्तूप (और सम्भवतः उसके समच्छिन्नकों) के घनफल निकालने में मिस्र में
शुद्ध और प्रसिद्ध सूत्रों का उल्लेख मिलता है। ✕
यहां भारत में वीरसेन द्वारा युक्ति बल से सिद्ध किया गया वर्ग आधार वाले लोकाकाश का
चित्रण, उसके तथा वातवलय की परतों के घनफल का कलन, आदि हमें मिस्र के स्तूपों के वास्तविक
भेद को जानने के लिए प्रेरित करते हैं। कूफू द्वारा निर्मित कराया गया महास्तूप मेधावी वैज्ञानिकों के
अधीक्षण में धर्म, गणित, ज्योतिष तथा अन्य महत्त्वपूर्ण ऐतिहासिक घटनाओं के संयुक्त संस्कार के फल
स्वरूप निर्मित किया गया होगा। हिरॉडोटस के अनुसार मिस्र वासी स्तूप आकार को जीवन का प्रकार
रूप (emblem) मानते थे। स्तूप का विस्तृत आधार हमारी वर्तमान दशा के अस्तित्व का प्रारम्भ एवं
उसका बिन्दु में अवसान, (सांसारिक) अस्तित्व का अन्त माना जाता था। हो सकता है कि इसी कारण
उन्होंने अपनी समाधियों में इस आकृति का उपयोग किया हो। + ईसा से प्रायः ४८४ वर्ष पूर्व हुए
हिरॉडोटस की उक्त अभ्युक्ति की पुष्टि मेम्फिस के प्रायः उत्तर में स्थित पिरेमिड युग से पूर्व के मंदिर की
परम्परा द्वारा होती है। इस मंदिर में सबसे पवित्र 'पिरेमिड के आकार का' एक पत्थर था। यह विश्वास किया
जाता था कि यह पत्थर सूर्य (अज्ञान अंधकार विनाशक) भगवान् को फीनिक्स (Gr. Phoinix) पक्षी
के रूप में प्रकट होने में आधार रूप था। ۞ प्राचीन किंवदन्ती के अनुसार यह पक्षी ५०० या ६०० वर्ष
जीवित रहने के पश्चात् अपनी चिता बनाकर स्वयं के पंखों से सुलगाता है, और अपनी ही भस्म में से निकल
कर उड़ जाता है। इस प्रकार वह अमरता का प्रतीक, अथवा सर्वोत्कृष्ट, सम्पूर्ण रूप (paragon)
भी माना जाता है। यह विवरण हमें कर्म सिद्धान्त की मान्यता का प्रारूप प्रतीत होता है, जहां कर्म
ईंधन को तपकी ज्वालाओं में विदग्ध कर मुक्ति या कैवल्य प्राप्त किया जाता है।
हिरॉडोटस ने स्तूप के विस्तृत आधार को हमारी वर्त्तमानदशा के अस्तित्व का प्रारम्भ बतलाया है।
चार महान भुजाएँ संसारी जीवन का प्ररूपण करती हैं जो सम्भवतः पिथेगोरस का Tetractys है और
जैन मान्यता का चतुर्गति चक्र (चदुचंकमण) है। इस दशा का बिन्दु रूप में प्रकट होना (और सांसारिक)
☸ B. L. van der Waerden, Science Awakening, Holland, p. 6, Eng. trans. (1945).
† Ibid, p. 18,
‡ षट्खंडागम, पृ० ४, गणित प्रस्तावना ।
✕ B. L. Waerden, Science Awakening, pp. 34,35.
☨ The Encyclopedia Americana, p. 40, vol. 23, (1944).
۞ I. E. S. Edwards, The Pyramids of Egypt, (Pelican), p. 21, (1947).

प्रस्तावना 17
अस्तित्व का अंत माना जाना, जैन मान्यता की पंचम गति, मोक्ष से समन्वय स्थापित करना प्रतीत होता
है । यह चतु चंक्रमण स्वस्तिक के अर्थ को भी स्तूप की भुजा प्ररूपणा में समन्वित करना दृष्टिगत होता है ।
कर्म सिद्धान्त की मान्यता की सदृशता कुछ अंशों में हमें निम्नलिखित उद्धरणों में भी दृष्टिगत
होती है—
ब्रह्मार्पणं ब्रह्म हविर्ब्रह्माग्नौ ब्रह्मणा हुतम् ।
ब्रह्मैव तेन गंतव्यं ब्रह्म कर्म समाधिना ॥❀
पुनः यज्ञ के इस निर्वचन को लेकर यह कथन है—
गत सङ्गस्य मुक्तस्य ज्ञानावस्थित चेतसः ।
यज्ञायाचरतः कर्म समग्रं प्रविलीयते ॥†
इसी अभिप्राय को निम्नलिखित श्लोक में निदर्शित किया है—
यथैधांसि समिद्धोऽग्निर्भस्मसात्कुरुतेऽर्जुन ।
ज्ञानाग्निः सर्व कर्माणि भस्म सात्कुरुते यथा ॥‡
पिरेमिड में स्थित अन्य वस्तुओं के नाम धार्मिक महत्ता से ओतप्रोत थे । समाधि का नाम
“अनन्तत्व का दुर्ग” था, तथा साथ में रखी जानेवाली नाव सम्भवतः संसारसागर से पार ले जाने की
प्रतीक रूप थी। जो कुछ हो, इतना अवश्य है, कि मृत्यु के उपरांत आनेवाली घटनाओं की आशंका
में इसी जीवन के अंतराल में पूरी तैयारियाँ की जाती थीं, सम्भवतः न केवल राजा के लिए, वरन्
राज्यसत्ताद्वारा इस स्तूप प्रतीक प्ररूपणा के सहारे समस्त बुद्धि जीवी वर्ग के लिये भी । सबसे प्राचीन
हीलिआपोलिस के मंदिर के पिरेमिड प्रतीक को सबसे बृहत्रूप में स्थापित करने का श्रेय अहिंसाके
प्रबल समर्थक खूफू को ही है ।
इस प्रकार बने हुए स्तूपों को मिस्री में मेर m (e) r कहा जाता है, जिसका निर्वचन
'आरोहण स्थल' ( place of ascension ) किया जाता है । यह निर्वचन यद्यपि भाषा विज्ञान
विषयक नियमों के विरुद्ध नहीं है, तथापि संशयात्मक है। फिर भी, पिरेमिड ग्रंथों ( texts ) में
इस प्रकार का उल्लेख है कि “उस (राजा) के लिये स्वर्ग सोपान डाली गई है ताकि वह स्वर्गारोहण कर
सके ।”() यह विश्वास न केवल प्राचीन मिस्र में ही प्रचलित था, वरन् मेसोपोटेमिया, एसिरिया और
बेबिलन में भी प्रचलित था जहाँ आठ मंजिलों की इमारतें सम्भवतः इसी हेतु निर्मित की गई थीं। इनका
नाम ज़िगूरात था और सिपार ( Sippar ) के ऐसे भवन का नाम 'उज्ज्वल स्वर्ग का सोपान भवन'
था। इन स्तूपों का अन्य प्रचलित पिरेमिड है, जो यूनानी भाषा के पिरेमिस शब्द से उत्पन्न हुआ है ।
मिस्री गणितीय ग्रन्थ के अनुसार सम्भवतः यह एक ज्यामितीय पद है, जिसका अर्थ, “वह जो अस (us)
से (सीधा) ऊपर जाता है” बिलकुल अस्पष्ट, किन्तु पिरेमिड (स्तूप) के उत्सेध का द्योतक है । हम अभी
नहीं कह सकते कि तिलोयपण्णत्ती में वर्णित समवशरण की विधियों में निर्मित थूह क्या इन्हीं से सह-
सम्बन्धित हैं ?
❀ श्रीमद्भगवद् गीता ४-२४
† वही, ४-२३
‡ वही, ४-३७
() The Pyramids of Egypt, pp. 236, 237.
ग० सा० सं० प्र०-३

18 गणितसारसंग्रह
यूनानी गणित के बीजीय तत्वों सम्बन्ध, आजकल बेबिलन की बीज गणित से जोड़ा जाता है । इस
प्रकार ओ. न्युगोबाएर (Neugebauer), ओ. बेकेर (Becker), राइडमाइस्टर (Reidemeister)
प्रभृति विद्वानों ने यह देखकर कि बीजगणित डाओफेन्टस से प्रारम्भ न होकर प्रायः २००० वर्ष पूर्व
मेसोपोटेमिया से प्रारम्भ होती है, यह भी संभावना व्यक्त की है कि पिथेगोरस के अर्थमितिकी सिद्धान्त
को बेबिलन का अर्थमितिकी सिद्धांत कहना उचित होगा ।
इसी प्रकार बी. एल. वाएर्डेन ने भी निम्नलिखित तथ्यों को प्रमाणित करने का प्रयास
किया है*—
१– थेलीज़ और पिथेगोरस ने बेबिलन की गणित को लेकर प्रारम्भ किया परन्तु उसे बिलकुल
भिन्न, विशिष्ट रूप से यूनानी, लक्षण दिया ।
२–पिथेगोरीय वर्गों में और बाहर, गणित को उच्चतर और सतत उच्चतर रूप में विकसित किया
गया । इस प्रकार गणित धीरे धीरे दृढ़तर तर्क की जिज्ञासा का समाधान करने लगा ।
इस सम्बन्ध में वाएर्डेन का मत है कि गणित इतिहास के अध्ययन में निम्नलिखित बातों को
अनावश्यक न समझा जावे—
( १ ) संस्कृति का सामान्य इतिहास, जिसमें न केवल ज्योतिष और यांत्रिकी वरन् भवन निर्माण
विद्या ( architecture ), शिल्प ( technology ), दर्शन और यहाँ तक कि धर्म (पिथेगोरस) के
विषयों को समाविष्ट किया जावे ।
( २ ) राजनैतिक और सामाजिक दशाएँ ।
( ३ ) व्यक्तिगत चरित्र और उसका जीवन कार्य ।
गणित क्षेत्र में सबसे महत्वपूर्ण आधारभूत चार क्रियाएँ होती हैं, जिनका उपयोग संकेतों द्वारा
गणित के विकास को चरम सीमा तक पहुँचाया जा सकता है । संकेतों में स्थानार्ह पद्धति तथा
दाशमिक पद्धति लाना बड़े महत्व की वस्तु है । इसके आधार पर बड़ी संख्याओं का लेखन तथा
अन्य गणनाओं को सुगम बनाया जा सकता है । इसमें संदेह नहीं कि ज्योतिष में आधुनिक
षाष्ठिक पद्धति का इतिहास सम्भवतः ४९५९ वर्ष पुराना है । बेबिलन वासियों ने षाष्ठिक पद्धति
सुमेरवासियों ( स्युमिअरिएन ) से ली और इस पद्धति को यूनानी ज्योतिषी टालेमी ( १२० ई० ) ने
अपनाया तथा उसमें शून्य प्रतीक का उपयोग कर अपने काल की दाशमिक पद्धति के समाई बनाया ।†
षाष्ठिक पद्धति में स्थिति सम्बन्धी प्रतीकों का उपयोग तो होता था, परन्तु उसमें कई दोष भी थे ।
१ और ६० के प्रतीकों, तथा १,०,३०, और १,३०, के प्रतीकों में अंतर न था ।‡
भारतीयों द्वारा यूनानी ज्योतिष के अंशदान लेने के आधार पर सम्भवतः वाएर्डेन ने फ्रायडेन्थल
( Freudenthal ) के मत का समर्थन किया है :
“Freudenthal’s hypothesis reduces therefore to the following :
Before becoming subject to the Greek influence, the Hindus had a
versified, positional system, arranged decimally and starting with

• Science Awakening, p. 5.
  † Science Awakening, p. 39.
  ‡ चीन में भी पञ्चाङ्ग में षाष्ठिक दाशमिक पद्धति उपयोग में लाई गई थी, जिसमें ६० को
  उच्चतर इकाई अथवा 'चक्र' निरूपित किया गया था । Cf. Struik. D. J., A concise History of
  Mathematics, Dover, ( 1948 ).

प्रस्तावना १९
the lowest units. They had the digits 1-9 and similar symbols for, 10,
20,.... Along with Greek astronomy, the Hindus became acquainted
with the Sexagesimal system and the zero. They amalgamated this po-
sitional system with their own; to their own Brahmin digits 1-9, they
adjoined the Greek O and they adopted the Greek-Babylonian order.
It is quite possible that things went in this way. This detracts
in no way from the honour due to the Hindus; it is they who deve-
loped the most perfect notation for numbers, known to us.”*
वाएडॅेन का उक्त समर्थन, उनकी निम्नलिखित अभ्युक्ति पर भी आधारित प्रतीत होता है :
“In this manner Buddha continues through 23 stages. Accord-
ing to an arithmetic book, koti is a hundred times one hundred
thousand ( sata sata sahassa ), so that the largest number mentioned
by Buddha is 10⁷. 10⁴⁶ = 10⁵³. But in most arithmetics, these same
words ayuta and niyuta have other values, viz. 10⁴ and 10⁵.
But Buddha has not yet reached the end : This is only the
first series, he says. Beyond this there are 8 other series.
It is clear that these numerals were never used for actual
counting or for calculations. They are pure fantasies which, like
Indian towers, were constructed in stages to dazzling heightsӠ
इस सम्बन्ध में हम इन विद्वानों का ध्यान तिलोयपण्णत्ती और द्रव्य प्रमाणानुगम, षट् खंडागम
पुस्तक ३ की ओर आकर्षित करना चाहते हैं। तिलोयपण्णत्ती के ज्योतिषीय प्रकरणों को देखने से
पता चलता है कि जिन स्वतंत्र, मौलिक ग्रंथों से उसमें सामग्री ली गई है, उनमें कालगणना का
प्रत्यक्ष आधार यूनानी षाष्ठिक पद्धति नहीं है। साथ ही, द्रव्य प्रमाणानुगम के अध्ययन से प्रतीत
होता है कि ईसा के अनेक वर्ष पूर्व, सम्भवतः वर्द्धमान महावीर काल में ही अथवा बाद में,
जीवों के गुणस्थान, मार्गणास्थान आदि में संख्या प्ररूपण के लिए बड़ी-बड़ी संख्याओं के लेखन,
गणन आदि की आवश्यकता पड़ी होगी। इस आवश्यकता के लिये उन्हें कोई क्रांतिकारी सरल
पद्धति को ग्रहण करना आवश्यक हो गया होगा। उस समय विश्व के या तो किसी छोर से उन्हें
शून्य के आधार पर स्थानार्हासहित दाशमिक पद्धति अपनाना पड़ी होगी, अथवा उन्हें ही शून्य को
लेकर इस पद्धति का आविष्कार करना पड़ा होगा। जैसा कि हम आगे देखेंगे कि यूनान के पिथेगोरस
के वर्ग और भारत के वर्द्धमान महावीर के तीर्थ में ऐसी कई बातों में सदृशताएँ हैं कि हमें यह
सम्भावना प्रतीत होती है कि ईसा से प्रायः ५०० या ६०० वर्ष पूर्व के बीच भी यूनानियों और भारतीयों
में आदान प्रदान हुआ। न केवल स्थानार्हासहित दाशमिक पद्धति ही, वरन् जीव द्रव्य के प्रमाण की
संख्या का बोध क्षेत्र, काल आदि का आधार लेते हुए अनेक मौलिक पद्धतियों के आधार पर कराया
गया है, जो विश्व के प्राचीन गणित ग्रंथों में दिखाई नहीं देता है। कुछ ऐसे प्रकरण हैं, जैसे सलागा अर्थ

• Science Awakening, pp. 56, 57.
  † Ibid, p. 52.

20 गणितसारसंग्रह
( शलाका प्रमाण, Logarithm ),* राशि सिद्धान्त आदि जिनके आविष्कार यूरोप में सत्रहवीं और
उन्नीसवीं सदी में हुए हैं । इस प्रकार "आवश्यकता, आविष्कार की जननी है", के आधार पर हम यह
सम्भावना भी व्यक्त करते हैं कि वर्द्धमान महावीर के तीर्थ में उनके अनुयायियों द्वारा स्थानार्हा प्रतीक
सहित दाशमिक पद्धति के अभाव की पूर्ति करने के प्रयास अवश्य ही किये गये होंगे ।
यूनानियों द्वारा बेबिलनवासियों के अंशदान का उपयोग सम्भवतः थेलीज़ द्वारा ग्रहण काल का
बतलाया जाना पुष्ट करता है । बेबिलन में ग्रहणों के अवलोकन की तिथियाँ सम्भवतः ७४७ ई० पू०
में हुए नबोनसार नृपति के काल में निश्चित हुईं प्रतीत होती हैं । इसके पश्चात् ई० पू० ५८०
में नेब्युकडनेज़र †† ( द्वितीय ) ( Nebuchadnezzar II 605-562 B. C. ) के राज्यकाल
तक कला और विज्ञान में उन्नति तथा चंद्रमा और ग्रहों के अवलोकन के प्रमाण मिलते हैं । इसके पश्चात्
उत्तरोत्तर काल में ज्योतिष के विकास के प्रमाण मिलते हैं । नेब्युकडनेज़र के सम्बन्ध में एक दो ऐसे तथ्य हैं
जो हमें डा० प्राणनाथ विद्यालंकार द्वारा प्राप्त प्रभास पाटण के ताम्रपत्र के लेख, "बेबीलोन के नृपति
नेबुचंदनेज़ार ने रैवतगिरि के साथ नेमि के मंदिर का जीर्णोद्धार कराया था' ।"‡‡ की ओर
आकर्षित करता है । ये तथ्य इस प्रकार हैं :
“From his inscriptions we gather that Nebuchadrezzar was a
man of peculiarly religious character”.†
“His peaceful energies were devoted to building magnificent
palaces and temples and herein he excelled”.‡
परन्तु उपर्युक्त कोई पुष्ट प्रमाण नहीं है, जिसके आधार पर हम भारत और बेबिलन का वर्द्धमान
महावीर के तीर्थ से सम्बन्धित पुनर्जागरण से सम्बन्ध बतला सकें । इसके सम्बन्ध में भारतीय शिल्प और
न्याय प्रणालीका की बेबिलन के शिल्प और न्याय प्रणाली से तुलना सम्भवतः उपयोगी सिद्ध हो । अभी
तक उपलब्ध सामग्री के आधार पर गणित सम्बन्धी तुलना आदि हम अगले पृष्ठों में देंगे ।
बेबिलन के उच्च रूप से विकसित बीजगणित की सम्भाव्यता के विषय में यह प्रमाण दिया जाता है
कि उनके पास उत्कृष्ट पाष्ठिक प्रतीक प्ररूपणा थी, जिससे संख्या और भिन्नों को दर्शाया जा सकता था, और
उनमें समानसरलतापूर्वक गणनाएँ की जा सकती थीं । इस प्रकार उन्हें एक तथा दो अज्ञात वाले रैखीय
और वर्ग समीकरणों के हल करने की रीति ज्ञात थी । इनके सिवाय (अ + ब)² जैसे बीजीय सूत्रों का
ज्यामितीय प्ररूपण, समान्तर रेखाओं से उदयभूत अनुपात के सम्बन्ध, पिथेगोरसका साध्य, त्रिभुज और
समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल आदि का ज्ञान सम्भवतः उन्हें पूर्व प्रचलित परम्परा से था । संख्यासिद्धान्त में
श्रेणियों का संकलन भी दृष्टिगत होता है । परन्तु यह सब ज्ञान पिथेगोरस को धर्म और दर्शन में गणित के

• टोडरमल ने अर्थसंदृष्टि में अर्थ को द्रव्य, क्षेत्र, काल और भाव का प्रमाण निरूपित किया है ।
  †† अथवा नेब्युकडरेज़र Cf. Encyclopaedia Britannica, vol. 16, p. 184 ( 1956 ).
  ‡‡ मु. कांतिसागर, श्रमण संस्कृति और कला, पृ. ९७ ( १९५२); खंडहरों का वैभव, भारतीय
  ज्ञानपीठ काशी, पृ. ११ ( १९५३ ); तथा Times of India, 19-3-1935.
  † Encyclopaedia Britannica, Vol. 16, p. 185, ( 1956 ).
  ‡ J. B. Bury & others, The Cambridge Ancient History, P. 216, Vol. III,
  1 (954 ).

प्रस्तावना 21
प्रयुक्त करने, तथा गणित में गति लाने में कहां तक प्रेरक रहा होगा, इस पर हमें अभी विचार करना
शेष है। उपर्युक्त गणित के प्रयोग हम प्राकृत ग्रंथों में देखते हैं, परन्तु विशेषरूप से दो तथ्य हमें आश्चर्य
में डाल देते हैं:—
( १ ) तिलोय-पण्णत्ती के चतुर्थ अधिकार में गाथा १८० और १८१ में दिये गये सूत्र जीवा और धनुष
का प्रमाण निकालने के लिए उद्धृत हुए हैं। गणना √१० के आधार पर इन सूत्रों की संरचना का
प्रमाण मिलता है। जीवा के विषय में बिल्कुल ऐसा ही सूत्र,
जीवा = √[ ४[ ( व्यास / २ )² - ( व्यास / २ - बाण )² ] के रूप में, बेबिलन के अभिलेखों के
आधार पर २६०० ई० पूर्व (?) उपस्थित होना आश्चर्य जनक है। जहाँ π का मान ३ होना स्वीकृत हो
चुका था वहाँ पिथेगोरस के साध्य के आधार पर इस सूत्र का होना उपयुक्त प्रतीत होता है । धनुष के
सम्बन्ध में दिया गया सूत्र, π का मान √१० लेने के आधार पर है जो बेबिलन में अप्राप्य है ।‡
( २ ) वीरसेन ने क्षेत्र प्रयोग विधिके आधार पर जो बीजीय समीकरणों का रैखिकीय निरूपण दिया
है, वह भी क्या बेबिलन अथवा यूनान से लिया गया है, अथवा पारपरिमित गणात्मक संख्याओं के
निरूपण के लिये प्रचलित अनेक विधियों में से एक यह विधि भी जैनाचार्यों की मौलिक रूप से आविष्कृत
विधि है, यह भी विचारणीय है ।*
( ३ ) षाष्टिका पद्धति का उद्गम स्थल बेबिलन माना जाता है । ६० को आधार लेने के कई
कारण प्रस्तुत किए गये हैं। यह पद्धति ज्योतिष में विशेष रूप से स्थान पाये हुए है। तिलोय पण्णत्ती में
सूर्य का एक पूर्ण परिभ्रमण ६० मुहूतों में माना है। ६०, माने हुए १०९८०० गगन खंडों का एक गुणनखंड
भी है । यह गणना भी बेबिलन और चीन से सहसम्बन्ध खोजने में सम्भवतः सहायक सिद्ध हो सकती है ।
अब हम यूनान में प्रवेश करते हैं। यहाँ, निस्संदेह, ज्योतिष गणना में राशि सिद्धान्त, १२ घंटे का
दिन, छाया माप निरूपण ( सूर्य घड़ी के रूप में Gnomon और Polos ), चन्द्र और ग्रहों की गतियों
का अवलोकन, बेबिलनीय प्रभावों से अछूता नहीं है। परन्तु यह सब प्रभाव क्या पिथेगोरस कालीन है,
अथवा पिथेगोरस पर ज्योतिष का भी प्रभाव किसी दूसरे देश का था, इस पर विचार करना है । इस में
सन्देह नहीं कि उक्त प्रभाव पिथेगोरस के बाद दृष्टिगत अवश्य होता है । परन्तु हमें पिथेगोरस के काल
का अध्ययन बड़ी सावधानी से करने की आवश्यकता है । इसके विषय में हम सर्वप्रथम कुछ किंवदंतियों
और तथ्य पाठकों के सम्मुख रखना चाहेंगे।
( १ ) यूनान के “सात ज्ञानियों” में से थेलीज़ प्रथम था, जिनके विषय में कहा जाता था,
“Sayings such as the celebrated Delphic “Know thyself” were
ascribed to themӠ
( २ ) सूर्य ग्रहण के विषय में जो फलित थेलीज़ ने घोषित किया था, उसके विषयमें वाएर्डेन का
का यह कथन है—
“Herodotus reports ( see p. 84 ) that, during the battle on the
Halys, day was suddenly turned into night and that Thales had pre-
‡ J. L. Coolidge : A History of Geometrical Methods, pp. 6, 7 ( 1940 ).

• षट् खंडागम पु., ३, पृ. ४२-४३ ।
  † Science Awakening, p. 85.

22 गणितसारसंग्रह
dicted this event to the Delians for that year. According to Diogenes
Laertius, Xenophanes voiced his admiration of Thales for this pre-
diction. Thus, besides Herodotus, we have the older witness Xenopha-
nes for this accomplishment. At present it is generally agreed that
this event refers to the solar eclipse of 585 B. C.
How was it possible for Thales, who according to all our sources,
is the first Greek astronomer, to predict a solar eclipse ? Such a
feat requires the experience of more than forty years, no matter how
one proceeds. It is not possible for one man alone to gather this ex-
perience. But Thales had no Greek predecessors. The conclusion is
inescapable that he must have drawn upon the experience of Oriental
astronomers."*
( ३ ) थेलीज़ को सम्भवतः बेबिलन वासियों (?) से निम्नलिखित ज्यामितीय फल प्राप्त हुए थे,
जिनके लिए उसने उपपत्ति आदि देने का प्रयत्न किया :
( अ ) वृत्त का व्यास उसे समद्विभाजित करता है ।
( ब ) सम द्विबाहु त्रिभुज के आधारीय कोण समरूप ( similar ) होते हैं ।
( स ) युडीमस के अनुसार, उसने यह खोजा था कि दो सरल रेखाओं के प्रतिच्छेदन से
प्राप्त कोण समान होते हैं । इत्यादि ।
( ४ ) थेलीज़ के काल में मिस्र और बेबिलन का गणित मृतप्राय हो चुका था ।†
( ५ ) नीओ-प्लेटोनिस्ट ( Neo-Platonist ) प्रोक्लस ( Proclus, 412-485 A. D. ) ने
पिथेगोरस की ज्यामिति के सम्बन्ध में यह उल्लेख किया है,
Pythagorus, who came after him, transformed this science into
a free form of education; he examined this discipline from its first
principles and he endeavoured to study the propositions, without
concrete representation, by purely logical thinking. He also dis-
covered the theory of irrationals ( or of proportions ) and the con-
struction of the cosmic solids ( i. e. of the regular polyhedra )‡
उपर्युक्त विवरण से प्रतीत होता है कि ज्यामितीय और ज्योतिषीय सामग्री, यूनान में इस काल में
बाहरी देशों से लाकर, सूक्ष्मरूप से अवलोकित कर, तर्क पर आधारित गहन अध्ययन का विषय बनाई
गई । इसमें सन्देह नहीं, कि उक्त सामग्री ने इन विद्वानों को प्रभावित किया होगा, क्योंकि बिना प्रभाव
के, किसी विषय की ओर ध्यान आकृष्ट होना साधारणतः सम्भव प्रतीत नहीं होता । जो बात, बीजरूप
से प्रभावक प्रतीत होती है, वह “गणित द्वारा प्रतिपादित धर्म से आत्मा का उत्थान करना” दृष्टिगत

• Ibid. p. 86.
  †·Ibid. p. 89.
  ‡ Ibid. p. 90.