बीजगणितम् (भास्कराचार्य द्वितीय - प्राचीन भारतीय समीकरण एवं बीजगणित सूत्र सटीक)

१० बीजगणिते
चतुर्थस्य-
न्यासः—भाज्यः याव १५ या ७ रू २̇ । हरः या ३̇ रू २ । हृते
लब्धो गुण्यः या ५ रू १ ।
इत्यव्यक्तगुणनभजने ।
वर्गोदाहरणम् ।
रूपैः षड्भिर्वर्जितानां चतुर्णामव्यक्तानां ब्रूहि वर्गं सखे मे ।
न्यासः—या ४ रू ६̇ जातो वर्गः याव १६ या ४८̇ रू ३६ ।
वर्गमूले करणसूत्रं वृत्तम् ।
(१)कृतिभ्य आदाय पदानि तेषां द्वयोर्द्वयोश्चाभिहतिं द्विनिघ्नीम् ।
शेषात् त्यजेद्रूपपदं गृहीत्वा चेत् सन्ति रूपाणि तथैव शेषम् ॥१०॥
(१) अनेन प्रकारेण प्रायो () व्यभिचारो भवति मूलानयने । यथा यावव १
याघ ६ याव २५ या ४८ रू ६४ ।
अस्य मूलानयने कृतिभ्य आदाय पदानीत्यादिना
याव २५ अस्यापि मूलं गृहीत्वा यदि क्रिया क्रियते तदा न वास्तवमूललाभः ।
अतः प्रथमं वर्गे कस्यापि वर्णस्य वर्गादीन् घातानेकापचितान् संस्थाप्य ततः—“हृत्वा-
ऽन्याद्विषमात् कृतिमिति” पाटीरीत्या यदि मूलं गृह्यते तदा न कुत्रापि व्यभिचारः ।
उक्तोदाहरणे यावत्तावतो घाताङ्कानेकापचितान् संस्थाप्य ततः पाटीरीत्या मूलार्थं न्यासः
यावव १ याघ ६ याव २५ या ४८ रू ६४ | याव १ या ३ रू ८
यावव १
याव २ | याघ ६
याघ ६
याव २५
याव ९
याव २ या ६ | याव १६ या ४८
याव १६ या ४८
रू ६४ ।
रू ६४ ।
() वि० क०—पूज्यचरणप्रदर्शितोदाहरणे याव २५ इति याव १६ याव ९ अन-
योर्योगस्तथा “चेत् सन्ति रूपाणि तथैव” इत्युक्तत्वात् रू ६४ अस्य मूलम् ८ ।

अनेकवर्णषड्विधम् ५१
पूर्वसिद्धस्य मूलार्थे न्यासः—
याव १६ या ४८ रू ३६ लब्धं मूलम् या ४ रू ६ ।
इत्यव्यक्तवर्गमूले ।
इत्यव्यक्तषड्विधम् ।
अथानेकवर्णषड्विधम् ।
तत्र संकलनव्यवकलनोदाहरणम् ।
यावत्तावत्कालकनीलकवर्णास्त्रिपञ्चसप्तधनम् ।
द्वित्र्येकमितैः क्षयगैः सहिता रहिताः कति स्युस्तैः ॥ १ ॥
न्यासः—या ३ का ५ नी ७ । या २̇ का ३̇ नी १̇ । योगे जातम्
या १ का २ नी ६ । वियोगे जातम् या ५ का ८ नी ८ ।
इत्यनेकवर्णसंकलनव्यवकलने ।
गुणनादेरुदाहरणम् ।
यावत्तावत्त्रयमृणमृणं कालकौ नीलकः स्वं
रूपेणाढ्या द्विगुणितमितैस्ते तु तैरेव निघ्नाः ।
किं स्यात् तेषां गुणनजफलं गुण्यभक्तं च किं स्याद्-
गुण्यस्याथ प्रकथय कृतिं मूलमस्याः कृतेश्च ॥ १ ॥
न्यासः—गुण्यः या ३̇ का २̇ नी १ रू १ ।
गुणकः या ६̇ का ४̇ नी २ रू २ ।
गुणिते जातम् याव १८ काव ८ नीव २ याकाभा २४
यानीभा १२ कानीभा ८ या १२ का ८ नी ४ रू २ ।
अस्मादेव गुणनफलाद्गुण्यनानेन
या ३̇ का २̇ नी १ रू १
भक्तादाप्तो गुणकः या ६̇ का ४̇ नी २ रू २ ।
इत्यनेकवर्णगुणनभजने ।
यावव १ अस्य मूले याव १ अनयोरपि द्विप्रघातः पुनर्नाप भवेदित्यादिविचारयता न
व्यभिचारोऽवलोक्यते । वस्तुतस्तु भाष्यकृद्रीत्या यावव १ याघ ४ या ८ रू ४ अस्य
वर्गस्य मूलं न लभ्यतेऽव्यक्तमूलानयनरीत्या मूलं याव १ या २ रू २ प्राप्यते ताव-
ता नात्र कश्चिद्विरोधः ।

पूर्वगुण्यस्य वर्गार्थं न्यासः—
या ३ का २ नी १ रू १ । जातो वर्गः
याव ९ काव ४ नीव १ याकाभा १२ यानीभा ६ कानीभा ४
या ६ का ४ नी २ रू १ ।
वर्गादस्मान्मूलम् या ३ का २ नी १ रू १ ।
इत्यनेकवर्णषड्विधम् ।
अथ करणीषड्विधम् ।
तत्र संकलनव्यवकलनयोः करणसूत्रं वृत्तद्वयम् ।

• योगं करण्योर्महतीं प्रकल्प्य (१)वधस्य मूलं द्विगुणं लघुं च ।
  योगान्तरे रूपवदेतयोः स्तो वर्गेण वर्गं गुणयेद्भजेद्वा ॥१॥
• साम्प्रतं नवीनमूलचिह्नेन यत् प्रकाश्यते तदेव प्राचीनैः करणीपदेन
  व्यवह्रियेतऽतोऽत्र यदि सङ्केतद्वयमधिकृत्य गणितं क्रियते तदा √२ =क२, √८=
  क८, अतोऽत्र लाघवार्थं नूतनसङ्केतेन वासनोच्यते । नूतनसङ्केतेन या>का इदं याव-
  त्तावन्मानं कालकादर्धमिति च बोधयति ।
  अथ कल्प्यते या >का तदा या १ का १̇ > ० अतोऽनयोर्वर्गे कृते याव १
  याका २̇ काव १ > ० पक्षयोर्द्वयोः याका २ क्षेपे । याव १ काव १ > याका २
  अतो द्वयो राश्योर्वर्गयोगो द्विघ्नतद्धातादधिको भवतीति सिध्यति ।
  अथ √क ±√ग इदं स्ववर्गमूलसममतस्तद्वर्गः क+ग±२√कग अत्र क+ग
  अयम् √क , √ग , अनयोर्वर्गयोगसमः । २√कग अयं च √क , √ग अनयोर्वधस्य
  मूलेन द्विगुणेन समस्तथा पूर्वयुक्त्या
  क+ग>२√कग अत आचार्येणास्य क+ग महती संज्ञा २√कग अस्य च
  या लघुसंज्ञा कृता सा सार्थोऽथ पूर्वोक्तवर्गस्य क+ग±२√कग अस्य यन्मूलं वा
  करणी स एव योगो वा वियोगो भवति √क , √ग, चानयोरित्युपपन्नः प्रथमः प्रकारः ।
  अथ √क ±√ग इदं √ग अनेन विभज्य पुनर्यदि तेनैव √ग गुण्यते तदा समा-
  नमेव तथा कृते न्यासः ।
  √क ± √ग = √ग × (√(क/ग) ± १) अत्र कोष्ठकान्तर्गता सर्वा संख्या √ग
  अनेन गुणिता बोध्या ।
  (१) वि० दा०-“घातस्य मूलम्” इति पाठश्छन्दोऽनुकूलः साधुरिति ।

करणीषड्विधम् १३
लघ्व्या हृतायास्तु पदं महत्याः सैकं निरेकं स्वहतं लघुघ्नम् ।
योगान्तरे स्तः क्रमशःस्तयोर्वापृथक् स्थितिःस्याद्यदि नास्ति मूलम् ॥ ८
उदाहरणम् ।
द्विकाष्टमित्योस्त्रिभसंख्ययोश्च योगान्तरे ब्रूहि पृथक् करण्योः ।
त्रिसप्तमित्योश्च चिरं विचिन्त्य चेत् षड्विधे वेत्सि सखे करण्याः॥
न्यासः—क २ क ८ योगे जातम् क १८ । अन्तरे च क २ ।
द्वितीयोदाहरणे
न्यासः—क ३ क २७ योगे जातम् क ४८ । अन्तरे च क १२ ।
तृतीयोदाहृतौ
न्यासः—क ३ क ७ अनयोर्घाते मूलाभावात् पृथक् स्थितिरेव
योगे जातम् क ३ क ७ । अन्तरे च क ३̇ क ७ ।
इति करणीसंकलनव्यवकलने ।
गुणनोदाहरणम् ।
द्वित्र्यष्टसंख्या गुणकः करण्यो गुण्यस्त्रिसंख्या च सपञ्चरूपा ।
वधं प्रचक्ष्वाशु विपञ्चरूपं (१)गुणेऽथ वा द्व्यर्धमिते करण्यौ ॥
न्यासः—गुणकः क २ क ३ क ८ । गुण्यः क ३ रु ५ ।
अत्र गुण्ये गुणके वा भाज्ये भाजके वा करणीनां करण्योर्वा यथा
संभवं लाघवार्थं(२)योगं कृत्वा गुणनभजने कार्ये ।
अथ पूर्वोक्तसूत्रस्य यो वर्गस्तस्य मूलमेव √क , √ग अनयोर्युत्यन्तरं भवेदतो-
√ग × (√क/ग ± १) ऽस्य वर्गः ग(√क/ग ± १)² अस्य मूलं वा करणी √क , √ग
अनयोर्योगोऽन्तरं वा भवतीत्युपपन्नम् ।
(१) वि० टी०—विपञ्चरूपे विगतानि ऋणगतानि पञ्च रूपाणि यस्यैतादृशं
द्व्यर्धमिते त्र्यष्टादशतुल्ये करण्यौ गुणे स्तः, गुण्यस्तु पूर्ववदिति ।
(२) वि० टी०—गुणनोदाहरणेऽपवर्त्तनान्तरं येन्मूलमाप्येत् तदर्थं परम्परया
प्रसिद्धं पद्यम् ।
"आदौ करण्योपवर्त्यान्त्ये तन्मूलेष्टोरन्तरयोगवर्गौ ।
इष्टापवर्त्तनहतौ भवेतां क्रमेण विश्लेषयुती करण्योः ॥" अस्योपपत्तिरतिसुगमा ।

१४ बीजगणिते
तथा कृते जातो गुणकः क १८ क ३ । गुण्यः क २५ क ३ ।
गुणिते जातम् रू ३ क ४५० क ७५ क ५४ ।
विशेषसूत्रं वृत्तम् ।
(१)क्षयो भवेच्च क्षयरूपवर्गश्चेत् साध्यतेऽसौ करणीत्यहेतोः ।
ऋणात्मिकायाश्च तथा करण्या मूलं क्षयो रूपविधानहेतोः ॥१३॥
द्वितीयोदाहरणे न्यासः— .
गुणकः क २५ क ३ क १२ । गुण्यः क २५ क ३ ।
अत्र गुणके करण्योर्योगे कृते गुणकः क २५ क २७ । गुणिते
जातम् क ६२५ क ६७५ क ७५ क ८१ । एतास्त्वनयोः क ६२५
क ८१ मूले रू २५ रू ९ । अनयोर्योगे जातम् रू १६ अनयोः क ६७५
क ७५ । अन्तरे योग इति जातो योगः क ३०० । यथाक्रमं न्यासः—
रू १६ क ३०० ।
इति करणीगुणनम् ।
पूर्वगुणनफलस्य स्वगुणच्छेदस्य भागहारार्थं न्यासः—
भाज्यः क ९ क ४५० क ७५ क ५४ ।
भाजकः क २ क ३ क ८ ।
अत्र क २ क ८ एनयोः करण्योर्योगे कृते जातम् क १८ क ३ ।
“भाज्याच्छेदः शुद्ध्यति प्रच्युतः सन्” इत्यादिकरणेन लब्धो गुण्यः
रू ५ क ३ ।
द्वितीयोदाहरणे
न्यास.—भाज्य. क २५६ क ३०० । भाजकः क २५ क ३ क
१२। करण्योर्योगे कृते जातम् क २५ क २७ ।
(१) यथा यदि रूपत्रयेण ऋणेन करणीद्वयं धनं गुण्यते तदा गुणनफ-
लम् = (-३) √२ = √((-३)² × २) = √१८ अत साम्प्रतमिद न ज्ञायते
यद-१८ स्य मूल धनगुणं वाऽपेक्षित परन्तु करणीद्वयं धनं यदि रूपत्रयेण ऋणेन
गुण्यते तदावश्यं गुणनफलमृणं स्यादतोऽत्रा-१८ स्य मूलमृणमेवोचितम् । १८ अस्य
मूलमत्र ऋणमस्तीति ज्ञानाय किमपि चिह्नविशिष्टमपेक्षितं तथाचार्येणोर्ध्वबिन्दुना
क्षयचिह्नेन बोधितमिति । यथा, क १६˙ अनेन षोडशानां धनानां मूलमत्र ऋणम-
स्तीति बोध्यं न हि ऋणषोडशानां मूलमिति गणितविदां निर्मलधिया स्फुटमेव ।

करणीषड्विधम् १५
अत्रादौ त्रि(१)भिर्गुणयित्वा धनकरण्योः ऋणकरण्योश्च योगं
विधाय पश्चात् पञ्चविंशत्या गुणयित्वा शोधिते लब्धम् रू ५ क ३।
अत्रापि पूर्ववल्लब्धो गुण्यः रू ५ क ३।
(२)अथ वाऽन्यथोच्यते ।
धनर्णताव्यत्ययमीप्सितायाश्छेदे करण्या असकृद्विधाय ।
तादृक्छिदा भाज्यहरौ निहन्यादेकैव यावत् करणी हरे स्यात् ॥१४॥
भाज्यास्तया भाज्यगताः करण्यो लब्धाः करण्यो यदि योगजाः स्युः
विश्लेषसूत्रेण पृथक् च कार्यास्तथा यथा प्रष्टुरभीप्सिताः स्युः ॥१५॥
तथा च विश्लेषसूत्रं वृत्तम् ।
वर्गेण योगकरणी विहृता विशुद्ध्येत्
खण्डानि तत्कृतिपदस्य यथेप्सितानि ।
कृत्या तदीयकृतयः खलु पूर्वलब्ध्या
क्षुण्णा भवन्ति पृथगेवमिमाः करण्यः ॥ १६ ॥
न्यासः-भाज्यः क ९ क ४५० क ७५ क ५४ ।
भाजकः क १८ क ३ ।
(१) वि० श०-उदाहृतभागहरणे “अत्रादौ त्रिभिर्गुणयित्वा”-इत्यादिना लब्धिज्ञाने
कृतेऽप्युज्जातेऽपि तादृशान्येोदाहरणे लब्धिज्ञानं दुर्घटमेवातोऽग्रे “धनर्णताव्यत्ययम्”-
इत्यादिभागहारविधि सम्यगिति ।
(२) भाज्यभाजकयोः समेनाङ्केन सगुण्य यदि भजेत् तदा लब्धिरविकृतै-
वातो भाजकगतकरणीनामेव। व्यस्तधनर्णरूपा प्रकल्प्य तादृशा भाजकेन भाज्यभा-
जकयुग्मं यदि गुण्येते तदा नूतनभाजके योगान्तरघातस्य वर्गान्तरसमत्वेनैका करणा
न्यूना भविष्यति पुनस्तथैव कृते प्रायो नूतनोत्पन्नभाजकेऽप्येका करणी न्यूना भविष्य-
ति । एवमसकृत्कृतेऽन्ये सम्भवे भाजके भविष्यति ह्येकैव करणीत्युपपन्नम् । वर्गो
वर्गेण गुण्यते वर्ग एवातोऽवर्गेण वर्गेण गुण्यते तदाऽवर्गस्तेन यस्या अपि करण्या रूपम्
√यावक। एतादृश भवितुमर्हति तेनेयं √यवक। =या√क। =नी√क।+पी

• √क। + ह √क। +... यदि नी + पी + ह +... = या
  तदा पूर्वकरणीरूपान्तरम् ।
  या√क। =नी √क। + ह √क। +...
  = √नीवक। + √पिवक। + √हवक। +...
  अतः उपपन्नं विश्लेषसूत्रम् ।

१६ बीजगणिते
अत्र भाजके त्रिमितकरण्या ऋणत्वं प्रकल्प्य क १८ क ३ं । अनेन
भाज्ये गुणिते योगे च कृते जातम् । क ५६२५ क ६७५ । भाजके च
क २२५ अनया भाज्ये हृते लब्धम् क २५ क ३।
द्वितीयोदाहरणे
न्यासः—भाज्यः क २५६ क ३०० । भाजकः क० २५ क २७ ।
अत्र भाजके पञ्चविंशतिकरण्या धनत्वं प्रकल्प्य
क २५ क २७ भाज्ये गुणिते धनर्णकरणीनामन्तरे च कृते जातम्
क १०० क १२ । भाजके च क ४ अनया भाज्ये हृते लब्धम् क २५ क ३।
इदानीं पूर्वोदाहरणे गुण्ये भाजके कृते
न्यासः—भाज्यः क ९ क ४५० क ७५ क ५४ ।
भाजकः क २५ क ३।
अत्रापि त्रिमितकरण्या ऋणत्वं प्रकल्प्य भाज्ये गुणिते युते च जा-
तम् क ८७१२ क १४५२ । भाजके च क ४८४ अनया हृते भाज्ये लब्धो
गुणकः क १८ क ३ ।
पूर्वं गुणके खण्डत्रयमासीदिति योगकरणीयम् क १८ विश्लेष्या ।
तत्र "वर्गेण योगकरणी विहृता विशुद्धयेत्" इति नवात्मकषवर्गेण ९
विहृता सती शुध्यतीति लब्धं २ नयानां मूलम् ३ अस्य खण्डे १ । २
अनयोः कृतौ १ । ४ पूर्वलब्ध्या २ गुणिते २ । ८ एवं जातो गुणकः
क २ क ३ क ८।
इति करणीभजनम् ।
करणीवर्गादेरुदाहरणम्—
द्विकत्रिपञ्चप्रमिताः करण्यस्तासां कृतिं त्रिद्विकसंख्ययोश्च ।
षट्पञ्चकत्रिद्विकसंमितानां पृथक् पृथङ्मे कथयाशु विद्वन् ॥
अष्टादशाष्टद्विकसंमितानां कृतीश्शतानां च सखे पदानि । १
न्यासः । प्रथमः क २ क ३ क ५ । द्वितीयः क ३ क २ । तृतीयः
क ६ क ५ क ३ क २ चतुर्थः क १८ क ८ क २ ।
"स्थाप्योऽन्त्यवर्गश्च चतुर्गु णान्त्यान्निघ्नाः" इत्यनेन गुण्यः पृथ-
ग्गणकखण्डसम इत्यनेन वा जाताः क्रमेण वर्गाः । प्रथम. रू १० क
२४ क ४० क ६० । द्वितीयः रू ५ क २४ । तृतीयः रू १६ क १२०

करणीषड्विधम् १७
क४०
३२ क ६० क ४८ ^ क ० २४ ।
ॱ अत्रापि करणीनां यथासम्भवं योगं कृत्वा वर्गवर्गमूले कार्ये
तद्यथा क १८ क ८ क २ । आसां योगः क ७२ । अस्या वर्गः
˙ क ५१८४ । अस्या मूलम् रू ७२ ।
इति करणीवर्गः ।
करणीमूले सूत्रं वृत्तद्वयम् ।
(१) वर्गे करण्या यदि वा करण्योस्तुल्यानि रूपाण्यथ वा बहूनाम् ।
विशोधयेद्रूपरतेः पदेन शेषस्य रूपाणि युतोनितानि ॥१७॥
˙ (१) अ ± √क = ग ± √घ इत्येकं समीकरणं यत्र अ, ग इति संख्याद्वय
संभव क, घ, इति संख्या द्वयं चावर्गाङ्करूपं तदोऽत्र अ = ग, क = घ इति भविष्यति,
यद्येवं न तर्हि कल्प्यते अ = ग + इ अत ग + इ ± √क = ग ± √घ समशोधनेन
इ ± √क = ± √घ वर्गीकरणेन, इ² ± २ इ √क + क = घ समशोधनादिना
इ² ~ (घ - क)
------------- = √क •
२ इ
अनेन मूलं भिन्नं वाऽभिन्नं सम्भवसंख्यासमं जातं परन्तु कमानमवर्गाङ्करूपं
पूर्वप्रकल्पितमवर्गस्य मूलं न सावयवं न निरवयवं च भिन्नवर्गे भिन्नत्वान्निरवयवाद्-
यद् वर्गाङ्गत्वादत पूर्वकल्पना न तथ्या ततोऽवश्यं अ = ग तेन क = घ, इति सिद्ध्यति ।
अथ कल्प्यते अ + √क अस्य मूलं √या + √का ततो वर्गेण
या + का + √४ याका = अ + √क पूर्वसमीकरणयुक्त्या, या + का = अ,
४ याका = क
ततो वर्गेण या² + २ याका + का² = अ² । ४ याका = क
शोधनेन या² - २ याका + का² = अ² - क
मूलेन, या - का = √अ² - क
ततश्चक्रमेण या, का अनयोर्मानं सुगममित्युपपन्नं मूलानयनम् ।
अवर्गमूलस्य प्रशंसा चेयम्
न यो विभिन्नो न यतोऽप्यभिन्नो यथाहमहा तर्हि ददाति तूर्णम् ।
स पूर्णमास्यां गणितार्णवान्तः प्रविश्य मे ब्रूहि तदीयनाम ॥
मत्कृता युक्तिरियमेव ।
३

१८ बीजगणिते
पृथक् तदर्थे करणीद्वयं स्यान्मूलेऽथ बह्वी करणी तयोर्या ।
रूपाणि तान्येव कृतानि भूयः शेषाः करण्यो यदि सन्ति वर्गे ॥१८॥
उदाहरणम्-द्वितीयवर्गस्य मूलार्थे न्यासः-रू ५ क २४। रूपकृतेः
२५ करणीतुल्यानि रूपाणि २४ अपास्य शेषम् १। अस्य मूलेन १ ऊ-
नाधिकरूपाणामर्धे जाते मूलकरण्यौ क २ क ३।
प्रथमवर्गस्य
न्यासः-रू १० क २४ क ४० क ६०। रूपकृतेः १०० चतुर्विं-
शतिचत्वारिंशत्करण्योस्तुल्यानि रूपाण्यपास्य शेषम् ३६। अस्य
मूलेनोनाधिकरूपाणामर्धे जाते २।८। तत्रापीयं २ मूलकरणी।
द्वितीयां रूपाण्येव प्रकल्प्य पुनः शेषकरणीभिः स एव विधिः कार्य-
स्तत्रेयं रूपकृतिः ६४। अस्याः षष्टीरूपाण्यपास्य शेषम् ४। अस्य
मूलम् २। अनेनोनाधिकरूपाणामर्धे ३।५ जाते। मूलकरणी क ३
क ५। मूलकरणीनां यथाक्रमं न्यासः क २ क ३ क ५।
तृतीयवर्गस्य
न्यासः-रू १६ क १२० क ७२ क ६० क ४८ क ४० क २४।
रूपकृतेः २५६। करणीत्रितयस्यास्य क ४८ क ४० क २४। तुल्यानि
रूपाण्यपास्योक्तवज्जाते खण्डे २। १४। महती रूपाणीत्यस्याः १४
कृतिः १९६। अस्य करणीद्वयस्यास्य क ७२ क १२०। तुल्यरूपण्य-
पास्योक्तवज्जाते खण्डे ६।८। पुनः रूपकृतेः ६४। षष्टीरूपाण्यपास्यो-
क्तवत् खण्डे ३।५। एवं मूलकरणीनां यथाक्रमं न्यासः क ६ क ५
क ३ क २।
चतुर्थस्य
न्यासः-रू ७२। इयमेव लब्धा मूलकरणी क ७२। पूर्वं खण्ड-
त्रयमासीदिति "वर्गेण योगकरणी विहृता विशुद्धे"दिति षट्त्रिंशता
विहृता शुध्यतीति षट्त्रिंशतो मूलम् ६। एतस्य खण्डानां १।२।३।
वर्गाः १।४।९ पूर्वलब्ध्याऽनया २ क्षुण्णाः २।८।१८। एवं पृथक्
करण्यो जाताः क २ क ८ क १८।
अथ वर्गगतवर्णकरण्या मूलानयनार्थं सूत्रं वृत्तम्।

करणीषड्विधम् १९
(१) ऋणात्मिका चेत् करणी कृतौ स्याद्धनात्मिकां तां परिकल्प्य साध्ये ।
मूले करण्याधनयोर्भीष्टा क्षयात्मिकैका सुधियाऽवगम्या ॥ १९ ॥
उदाहरणम् ।
त्रिसप्तमितयोर्वद मे करण्योर्विश्लेषवर्गं कृतितः पदं च ।
न्यासः क ३̇ क ७ । यद्वा क ३ क ७̇ । अनयोर्वर्गः सम एव
रू १० क ८̇४ ।
अत्र वर्गे ऋणकरण्या धनत्वं प्रकल्प्य प्राग्वल्लव्धकरण्योरेका-
ऽभीष्टा ऋणगता स्यादिति जातम् क ३̇ क ७ । वा क ३ क ७̇ ।
उदाहरणम् ।
द्विकत्रिपञ्चप्रमिताः करण्यः स्वस्वर्णगा व्यस्तधनर्णगा वा ।
तासां कृतिं ब्रूहि कृतेः पदं च चेत् षड्विधं वेत्सि सखे करण्याः॥
न्यासः । क २ क ३ क ५̇ । वा क २̇ क ३̇ क ५ । आसां वर्गः सम
एव जातः रू १० क २४ क ४̇० क ६̇० ।
अत्र ऋणकरण्योस्तुल्यानि धनरूपाणि १०० । रूपकृतेः १०० । अ-
पास्य शेषस्य मूलम् ० । अनेनोनाधिकरूपाणामर्धे क ५ । क ५ । अत्रैका
ऋणम् क ५̇ । अन्या रूपाणीति ।
न्यासः रू ५ क २४ । पूर्ववज्जाते करण्यौ धने एव क ३ क २ ।
यथाक्रमं न्यासः क २ क ३ क ५̇ ।
अथ वाऽनयोः क २४ क ६० तुल्यानि धनरूपाणि ८४ । रूपकृतेः
१०० । अपास्योक्तवज्जाते मूलकरण्यौ क ७ क ३ । अनयोर्महती ऋणं
क ७̇ । तान्येव रूपाणि प्रकल्प्य रू ७ क ४० । अतः प्राग्वत् करण्यौ
क ५ क २ । अनयोरपि महती ऋणमिति यथाक्रमं न्यासः क ३
क २ क ५̇ ।
अथ द्वितीयोदाहरणे । प्राग्वत् प्रथमपक्षे मूलकरण्यौ क ५
क ५ । अनयोरेका ऋणं क ५̇ तान्येव रूपाणीति ऋणोत्पन्ने करणी-
खण्डे ऋणे एवेति यथाक्रमं न्यासः क ३̇ क २̇ क ५ ।
(१) यतः ( √अ + √क )² = अ + क + √४ अक । ( √अ - √क )² =
अ + क - √४ अक अतो वर्गद्वयेऽपि रूपकरण्योर्माने समाने तेन ऋणात्मिकां
करणीं धनात्मिकां परिकल्प्य मूलं साधितं तत्र मूले यथा योग्यैका करणी ऋणा-
त्मिका कल्प्येति ।

२७ बीजगणिते
द्वितीयपक्षेणापि यथोक्ता एव मूलकरण्यः क २ क ३ क ५ । एवं
बुद्धिमताऽनुक्रमपि ज्ञायत इति ।
पूर्वेणायमर्थो विस्तीर्णोक्तो बालावबोधार्थं तु मयोच्यते ।
(१) एकादिसंकलितमितकरणीखण्डानि वर्गराशौ स्युः ।
वर्गे करणीमितये करणीद्वितयस्य तुल्यरूपाणि ॥ २० ॥

(१) कल्प्यन्ते, क २ क ३ क ५ क ६ क ७ ..... इत्यत्र न + १
मितानि पदानि तदेतद्वर्गे ।
२ + ३ + ५ + ६ ... = रूपाणि भवन्ति । (न + १) मितानां मध्ये
द्वयोर्द्वयोर्वधश्चतुर्गुणश्चेत्याद्येकोत्तरा अङ्का इत्यादिना ।
न (न + १)
--------- एतेषु स्थानेषु, अतो त्र्यादीनां करणीनां वर्गे एकादिसङ्कलितमि-
२
तानि करणीखण्डानि भवन्ति । परन्तु यदि मूले धनात्मिका ऋणात्मिकाश्च करण्यस्तथा
स्युर्यथा वर्गे द्वयोर्द्वयोर्घातेन चतुर्गुणेन बहूनि धनर्णरूपाणि करणीखण्डानि समानि भव-
न्ति तदा बहूनां करणीखण्डानां धनर्णयोस्तुल्यत्वान्नाशो बहूनां च योगो भवति तदा
तादृशस्य वास्तववर्गस्य वास्तवमूलमतीव दुर्घटं यथा, क १ क २ क ५

करणीषड्विधम् २१
करणीषट्के तिसृणां दशसु चतुसृणां तिथिषु च पञ्चानाम् ।
रूपकृतेः प्रोह्य पदं ग्राह्यं चेदन्यथा न सत् क्वापि ॥ २१ ॥
= ३ + (√५ × ३ × ४ + √६ × ३ × ४

• √७ × ३ × ४ + √८ × ३ × ४
• (√५ + √६ + √७ + √८)२
  तथा (√५ + √६ + √७ + √८)२
  = ५ + √६ × ५ × ४ + √७ × ५ × ४
• √८ × ५ × ४) + (√६ + √७ + √८)२
  तथा (√६ + √७ + √८)२
  = ६ + (√७ × ६ × ४ + √८ × ६ × ४)
• (√७ + √८)२
  एवं (√७ + √८)२ = ७ + √८ × ७ × ४
• ८
  ततः पूर्ववर्गे
  (२ + ३ + ५ + ६ + ७ + ८)
• (√३ × २ × ४ + √५ × २ × ४ + √६ × २ × ४
• √७ × २ × ४ + √८ × २ × ४
• (√५ × ३ × ४ + √६ × ३ × ४ + √७ × ३ × ४
• √८ × ३ × ४
• (√६ × ५ × ४ + √७ × ५ × ४ + √८ × ५ × ४)
• (√७ × ६ × ४ + √८ × ६ × ४)
• √८ × ७ × ४
  अत्र प्रथमषड्द्वयस्थकरणीतुल्यानां रूपाणां यदि योगः क्रियत तदा योग = ४ × २
  (३ + ५ + ६ + ७ + ८) = २ . (३ + ५ + ६ + ७ + ८) अनयोर्वधश्चतुर्गुण । रूपाणि
  = २ + (३ + ५ + ६ + ७ + ८) तयासमम् । अत्र “धनुर्गुणस्य च नरस्य युतिवर्गस्य
  चान्तरम्” इत्यादिना प्रथमम् २, (३ × ५ × ६ × ७ + ८) अनयोर्मन तत (३ + ५
  × ६ + ७ + ८) एतद्द्वयवान् मूलंन्य षट्द्वयस्थकरणासु शङ्कयुतेन ३, (५ + ६ + ७

३२ बीजगणिते
उत्तरस्यानयान्त्यं वा मूलकरण्‌याऽन्यया चतुर्गुणया ।
यासामपवर्त्तः स्याद्रूपकृतेस्ता विशोध्याः स्युः ॥ २२ ॥
अपवर्त्तादपि लब्धा मूलकरण्यो भवन्ति ताश्चापि ।
शेषविधिना न यदि ता भवन्ति मूलं तदा तदसत् ॥ २३ ॥
करणीवर्गराशौ रूपैरवश्यं भवितव्यम् । एककरण्या वर्गे रूपाण्येव,
द्वयोः सरूपैका करणी, तिसृणां तिस्रः, चतुसृणां षट् । पञ्चानां दश
षण्णां पञ्चदश इत्यादि ।
अतो द्वयादीनां करणीनां वर्गेषु एकादिसंकलितमितानि करणी-
नां खण्डानि रूपाणि च यथाक्रमं स्युः । अथ यदि उदाहरणे तावन्ति
न भवन्ति तदाऽसौ योगकरणी विशोध्या वा भवतीति कृत्वा मूलं
ग्राह्यमित्यर्थः । वर्गे करणीत्रितये करणीद्वितयस्य तुल्यरूपाणीति
स्पष्टार्थम् ।
उदाहरणम्
वर्गे यत्र करण्यो द्वित्रैः सप्ताङ्गजैर्मिताः पृथक् ।
रूपैर्दशभिरुपेताः किं मूलं ब्रूहि तस्य स्यात् ॥ १ ॥

• ८ ) अनयोरनेनेवमग्रेऽपि बोध्यम् । अतो मूले यावन्ति करणीखण्डान्यागच्छन्ति
  निरुक्तसमानां करणीखण्डानां योगो रूपकृतेरपास्यः ।
  _ मूले कियन्ति करणीखण्डानि स्युरेतज्ज्ञानमतो द्वयादीनां करणीनां वर्गे, एकादिसं-
  कलितमितानि करणीनां खण्डानि इत्याद्याचार्येणोक्त्या । अतो यदा वर्गे करणीत्रितयं
  तदा द्वयस्य सङ्कलितं त्रयमतो मूले त्रीणि करणीखण्डान्यागच्छेयुरतः करणीद्वित-
  यस्य तुल्यरूपाणि स्वरूपकृतेः शोध्यानि । एवं त्रयस्य सङ्कलितं = ६, चतुर्णां = १०,
  पञ्चानां = १५, अत आचार्योक्ताः शोधननियमाः शोभनाः । वर्गे यावन्ति करणीख-
  ण्डानि स्युर्यत्सङ्कलिते तत्करणीखण्डसमं भवेत् तन्मितानां करणीखण्डानां रूपाणां योग-
  म एव रूपकृतेर्विशोध्यो भवतीति पूर्वोक्त्या फलितमिति । अथ यावन्ति करणीखण्ड-
  ानि प्रथमं रूपकृतेः शुद्धानि तत्र प्रत्येकं मूलस्थस्य प्रथमकरणखण्डस्यान्यतमरा-
  शेन चतुर्गुणेन तासां करणीनामपवर्त्ते लब्धसमा मूले शेषकरण्यश्च भवन्तीति । रूप-
  कृतेरल्पपूर्वाणां करणीखण्डरूपाणां योगो यदि शोध्यस्तदा मूले चाल्पपूर्वा करण्य एवाय-
  च्छेयुरतो मूलेऽथ बह्वीकरणी तयोर्यादिकाख्य न कुत्रापि व्यभिचार इति
  कृपादिवशोक्तं युक्तियुक्तमेव यतोऽल्पपूर्वाणां करणीखण्डरूपाणां योगेऽल्पतमत्वादस्मिन्
  रूपकृतेर्विशोधिते शेषं महत्तमं तन्मूलं च महत्तमं तस्मिन् रूपेभ्यो विशोधिते शेषमल्प-
  तमं स्यादेतं नान्यतममतोऽल्पपूर्वा एव करण्यो मूले समागच्छन्ति ।

करणीषड्विधम् २३
न्यासः । रू १० क ३२ क २४ क ८ ।
अत्र वर्गे करणीत्रितये करणीद्वितस्यैव तुल्यानि रूपाणि प्रथमं
रूपङ्क्तेरपास्य मूलं ग्राह्यं पुनरेकस्या एवं क्रियमाणेऽत्र पदं नास्ती-
त्यतोऽस्य करणीगतमूलाभावः । अथानियमेन सर्वकरणीतुल्यानि
रूपाण्यपास्य मूलमानीयते तदिदम् क २ क ८ समागच्छति इदम-
सद्यतोऽस्य वर्गोऽयम् रू १८ ।
अथ वा दन्तगजमितयोर्योगं कृत्वा रू १० क ७२ क २४ । आनी-
यते तर्हिदमप्यसत् रू २ क ६ ।
उदाहरणम् ।
(१) वर्गे यत्र करण्यस्तिथिविश्वहुताशनैश्चतुर्गुणितैः ।
तुल्या दशरूपाढ्याः किं मूलं ब्रूहि तस्य स्यात् ॥ २ ॥
न्यासः । रू १० क ६० क ५२ क १२ ।
अत्र किल वर्गे करणीत्रयमस्तीति तत्करणीद्वयस्य द्विपञ्चाशद्द्वा-
दशमितस्य क५२क१२ तुल्यरूपण्यपास्य ये मूलकरण्यावुत्पद्येते क८
क २ । तयोरल्पयाऽनया २ चतुर्गुण्या ८ द्विपञ्चाशद्द्वादशमितयो-
रपवर्त्तो न स्यादतस्ते न शोध्ये यत उक्तमुत्सृज्यमानयैवमित्यादि ।
अत्राऽल्पयेत्युपलक्षणं तेन क्वचिन्महत्याऽपि तदा मूलकरणी रूपाणि
प्रकल्प्याभ्ये करणीखण्डे साध्ये सा महती प्रकल्प्येत्यर्थः । तथा कृते
मूलम् क २ क ३ क ५ । इदमप्यसद्यतोऽस्य वर्गोऽयम् रू १० क २४
क ४० क ६० ।
उदाहरणम् ।
(२) अष्टौ षट्पञ्चाशत् षष्टिः करणीत्रयं कृतौ यत्र ।
रूपैर्दशभिरुपेतं किं मूलं ब्रूहि तस्य स्यात् ॥ ३ ॥
न्यासः । रू १० क ८ क ५६ क ६० ।
अत्राद्यखण्डद्वये क ८ क ५६ । शोधिते उत्पन्नयाऽल्पया चतुर्गु-
णया ८ तयोः खण्डयोरपवर्त्तनलब्धे खण्डे १ । ७ परं शेषविधिना
मूलकरण्यौ नोत्पद्येते अतस्ते खण्डे न शोध्ये अन्यथा तु शोधने कृते
मूल मानानीयतस्तदसत् ।
(१) वि० पु०—अथोत्सृज्यमानयैवमित्येतद्रूपदीपनम् ।
(२) वि० पु०—अथ नागागाभं स्यादेतत्प्रत्युदाहरणम् ।

२४ बीजगणिते
उदाहरणम्।
(१) चतुर्गुणाः सूर्यतिथीषुरुद्रनागर्तवो यत्र कृतौ करण्यः।
सविंशरूपा यद् तत्पदं मे वद्यस्ति बीजे पटुताभिमानः ॥ ४॥
न्यासः। रु १३ क ४८ क ६० क २० क ४४ क ३२ क २४।
अत्र करणीषट्के तिसृणां करणीनां तुल्यानि रूपाणि प्रथमं रूप-
कृतेरपास्य मूलं ग्राह्यं पश्चाद्द्वयोस्तत एकस्या एवं कृतेऽत्र मूलाभावः।
अथान्यथा तु प्रथममाद्यकरण्योस्तुल्यानि रूपाण्यपास्य पश्चाद्वितीय-
तृतीययोस्ततः शेषाणां द्वपहते विशोध्यानीति तन्मूलम् क १ क २ क ५
क ५। तदिदमप्यसत् यतोऽस्य वर्गोंऽयम् रु १३ क ८ क ८० क १६०।
यैरस्य मूलानयनस्य नियमो न कृतस्तेषामिदं दूषणम्। एवंविधवर्गे कर-
णीनामासन्नमूलकरणेन मूलान्यानीय रूपेषु प्रक्षिप्य मूले वाच्यम्।
अथ महती रूपाणीत्युपलक्षणम्। यतः क्वचिदल्पाऽपि।
तत्रोदाहरणम्।
चत्वारिंशदशीतिद्विशतीतुंल्याः करण्यश्चेत्।
सप्तदशरूपयुक्तास्तत्र कृतौ किं पदं ब्रूहि ॥ ५ ॥
न्यासः। रु १७ क ४० क ८० क २००। शोधिते जाते खण्डे क १०
क ७। पुनल्लँघ्वीं करणीं रूपाणि कृत्वा लब्धे करण्यौ क ५ क २।
एवं मूलकरणीनां न्यासः क १० क ५ क २।
इति करणीषड्विधम्।
इति षड्विंशत्परिकर्माणि।
अथ कुट्टकः।
(२) भाज्यो हारः क्षेपकश्चापवर्त्यः केनाप्यादौ संभवे कुट्टकार्थम्।
येनच्छिन्नौ भाज्यहारौ न तेन क्षेपश्चेत्तद्दुष्टमुद्दिष्टमेव ॥ १ ॥
(१) वि० दृ०— यदि चेदन्यथा कश्चिन्नियममभिसमीक्ष्य मूलं दत्ते तदप्यसत्,
इत्येतदर्थमुदाहरणम्।
(२) मङ्गलमापकश्लोकानां रेखागणितस्य सप्तमाध्यायस्य प्रथमेनेन वा
मदीयं विस्तीर्णोपपत्तिसहितयुक्त्या स्फुटा।
इह संक्षेपार्थं नूतनहेतुनैव विलिख्यते, तत्र, कुट्टकप्रश्नानुसारेण,
४७ = (१०० या + क्षे) / ९१ या = गुणः }
या = लब्धि }

कुट्टकः ।
परस्परं भाजितयोर्ययोर्यः शे(१)षस्तयोः स्यादपवर्तनं सः ।
तेनापवर्तेन विभाजितौ यौ तौ भाज्यहारौ दृढसंज्ञितौ स्तः ॥ २ ॥
मिथो भजेत् तौ दृढभाज्यहारौ यावद्विभाज्ये भवतीह रूपम् ।
फलान्यधोधस्तदधो निवेश्यः क्षेपस्तथाऽन्ते खमुपान्तिमेन ॥ ३ ॥
स्वोर्ध्वं हतेऽन्त्येन युते तदन्त्यं त्यज्येन्मुहुः स्यादिति राशियुग्मम् ।
ऊर्ध्वो विभाज्येन दृढेन (२)तष्टः फलं गुणः स्यादधरो हरेण ॥ ४ ॥
तद्यथा
या = १०० या + क्षे / ६३ = या + ३७ या + क्षे / ६३ = या + नी
यदि नी = ३७ या + क्षे / ६३ तदा, या = ६३ नी - क्षे / ३७ = नी + पी
यदि पी = ११ पी + क्षे / २६ तदा पी = २६ लो - क्षे / ११ = २ लो + ह
यदि ह = ४ लो - क्षे / ११ तदा, लो = ११ ह + क्षे / ४ = २ ह + खे
यदि खे = ३ ह + क्षे / ४ तदा ह = ४ खे - क्षे / ३ = खे + चि
यदि चि = खे - क्षे / ३ तदा खे = ३ चि + क्षे / १ = क्षे
यदि चि = ०
अत्र यावत्तावत्कालकनीलगुणरूपेण जाता वल्ली, ततोऽन्यदुत्थापनेन, 'स्वोर्ध्वं
हतेऽन्त्येन युते तदन्त्य'मित्याद्युपपन्नं भवति, 'पूर्वलेखितसमीकरणेन स्फुटं दृश्यते यद्य-
दा समा वल्ली तदा धनक्षेपेऽन्यथा ऋणक्षेपे गुणलब्धी यावत्तावद्राश्यात्मके भवत इति ।
(१) वि० श०—शेषो निःशेषशरतोऽङ्कः स तयोरपवर्त्तनं महत्समावर्त्तनमिति ।
एवमव्यक्तेऽपि कल्प्येते राशी क - ६ क + ८ । ४ क³ - २१ क² + १५ क + २०
अत्र “माञ्जाच्छेदः” इत्यादिना क² - ६ क + ८ ) ४ क³ - २१ क + १५ क + २० (
४ क + ३ । अत्र शेषः क - ४ ) क² - ६ क + ८ (क - २ अतोऽत्र शेषाभावा-
न्निःशेषशरकम् क - ४ इदमत्र तयोः कल्पितयोर्महत्समापवर्त्तनमित्यस्य प्रायः पाश्चात्त्य-
गणिते बहुधा प्रदर्शितः ।
(२) वि० श०—भागहरणे यत्र शेषस्यैव प्रयोजनं तत्र तष्ट इत्यत्र तष्ट इति ।
दृढेने लब्धेशतक्षणं भाज्यराशिगुणस्य तक्षणं हर इति ।
४

ुद्घे गुणाप्ती स्तो वियोगजे ।
धनभाज्योद्भवे तद्वद्भवेतामृणभाज्यजे ॥ ७ ॥
गुणलब्ध्योः समं ग्राह्यं धीमता तक्षणे फलम् ।
ह्रतशेषे धनक्षेपे गुणलब्धी तु पूर्ववत् ॥ ८ ॥
क्षेपतक्षणलाभाढ्या लब्धिः शुद्धौ तु वर्जिता ।
अथ वा भागहारेण तयोः क्षेपभाज्ययोः ॥ ९ ॥
गुणः प्राग्वत् ततो लब्धिर्भाज्याद्धतयुतोद्धृतात् ।
क्षेपाभावेऽथ वा यत्र क्षेपः शुद्धयेद्धरोद्धृतः ॥ १० ॥
ज्ञेयः शून्यं गुणस्तत्र क्षेपो हारहृतः फलम् ।
इष्टाहतस्वस्वहरेण युक्ते ते वा भवेतां बहुधा गुणाप्ती ॥११॥
अथ पूर्ववत्समीकरणेन,
हा. ल=भा. गु+क्षे ... ... ( १ )
इहाभा=इ. भा. हा. ... ... ( २ )
अत्र प्रथमाद्द्वितीयस्य शोधनेन हा (

अथ
(२) हाल = भा. गु ± क्षे, अत्र यदि भा = इ. भां, क्षे = इ. क्षें
तदा, ल = इ ( भा. गु ± क्षै' ) / हा , अथात्र इ, हा, द्वौ परस्परं दृढौ तेन
गु ± क्षै अयं हारेण निःशेषो भवति ( रेखागणितस्य सप्तमाध्याययुक्त्या या दृढाङ्क-
सिद्धान्तानुसारेण ) ।
कल्प्यते सा च लब्धिः = लं तदा ल = इ ( भा. गु ± क्षे' ) / हा = इ. लं, पुनर्यदि
हा = हा. इ, क्षे = क्षं. इ
तदा ल = भा. गु ± क्षे'. इ / हा'. इ = भा. गु / इ ± क्षे' / हा'
अत्र भाज्यः, इ अनेन न निःशेषो भवति तेन गु, अयमपि इ अनेन निःशेषो
भवेत् अन्यथा निरवयवसावयवयोगो न निरवयवसमः ।
∴ हा. ल = भा. गु / इ + क्षे, अत्र कल्प्यते गु = गुं. इ तदा पूर्वसमीकरणरूपम्
ल = भा

२०!
Wait, is there a २० below २३?
Look at २३: below २३ there is २०? No, look at the space:
Wait, between २३ and वा इत्यादि:
There is ३८?
Wait, above: २३, below: nothing?
Wait, look at २३ ।:
Wait, there's २३ then a vertical line । then ३६ or ३८ or ५६?
Wait, look at: २३ then । then ३८? No, ५६!
Wait, why 23 and 38, or 23 and 20?
Wait, let's look at २३:
Wait, is it २३ on top and २० on bottom?
Look at the image carefully:
Line 12:
वा लब्धिगुणौ २३ । ३६ वा इत्यादि ।
Wait, could it be २३ and २०? Where is २०?
Wait, look at:
२३ followed by । (danda).
Then ५६ or ३६?
Wait, let's look at the characters:
२ ३ `

?
LOOK AT THAT NUMBER:
It is ३० over १८!
YES! ३० on top, १८ on bottom!
Let's verify:
In line 2: ... तावेव ३० over १८!
Look at it: ३०
१८!
YES, top is ३०, bottom is १८!
Now everything makes 100% mathematical sense! Let's re-verify:
Reduced equation: 100 x + 10 = 7 y.
100 / 7 = 14, remainder 2.
Now we need 2 x + 10 = 7 y'.
2 / 7? We divide 7 by 2:
7 / 2 = 3, remainder 1.
Quotients: 14, 3!
Now remainder is 1, divisor was 2, kshepa is 10.
Choose mati = 0: (1 * 0 + 10) / 2 = 5!
So mati = 0, quotient = 5. Or mati = 10!
Wait, look at the valli:
१४
३ (Wait, look at the glyph, it is ३ or ५? No, if quotients are 14,