बीजगणितम् (भास्कराचार्य द्वितीय - प्राचीन भारतीय समीकरण एवं बीजगणित सूत्र सटीक)

$y=17$:
$xy = 187$.
$x+y = 28$.
$x^2+y^2 = 121 + 289 = 410$.
Sum = $187 + 28 + 410 = 625$.
$\sqrt{625} = 25$.
$25 + x + y = 25 + 28 = 53$!
Yes! 11 and 17 give 53!

Line 17:
एवमेकस्मिन् व्यक्ते राशौ कल्पिते सति बहुनाऽऽयासेनाभिन्नौ

Line 18:
राशी ज्ञायेते।

Line 19:
अथ तौ यथाऽल्पायासेन भवतस्तथोच्यते। तत्र सूत्रं सार्धवृत्तद्वयम्।

Line 20:
भावितं * पक्षतोऽभीष्टात् त्यक्त्वा वर्णौ सरूपकौ।

Line 21:
अन्यतो भाविताङ्केन ततः पक्षौ विभज्य च ॥ २ ॥

Line 22:
Horizontal separator line.

Line 23:
* यदि इ. या + ई का + रु = या. का., यत्र यावत्तावत्प्रकट्यते, व्यभिन्ने स्तः ।
Wait, let's look at `

भावितम् । १२५
वर्णाङ्काहतिरूपैक्यं भक्त्वेष्टेनेष्टतत्फले ।
एताभ्यां संयुतावूनौ कर्त्तव्यौ स्वेच्छया च तौ ॥ ३ ॥
वर्णाङ्कौ वर्णयोर्माने ज्ञातव्ये ते विपर्ययात् ।
समयोः पक्षयोरेकस्माद्भावितमपास्यान्यतो वर्णौ रूपाणि च
ततो भाविताङ्केन पक्षावपवर्त्य द्वितीयपक्षे वर्णाङ्कयोर्घातं रूपयुतं
केनचिदिष्टेन विभज्य तदिष्टं तत्फलं च द्वे अपि वर्णाङ्काभ्यां स्वेच्छया
युक्ते सती वर्णयोर्माने विपर्ययेण ज्ञातव्ये । यत्र कालकाङ्को योजित-
स्तद्यावत्तावन्मानं यत्र यावत्तावदङ्कस्तत्कालकमानमित्यर्थः । यत्र तु
इयत्तावशादेवं कृते सत्यालापो न घटते तत्रेष्टफलाभ्यां वर्णाङ्कावूनीतौ
व्यत्ययान्माने भवतः ।
अथ प्रथमोदाहरणम् ।
चतुस्त्रिगुणयो राश्योः संयुतिर्द्वियुता तयोः ।
राशिघातेन तुल्येति ॥
तत्र यथोक्ते कृते पक्षौ { या ४ का ३ रू २ । वर्णाङ्काहतिरूपैक्यम्
{ या.का.भा १
१४ एतदेकेनेष्टेन हृतं जाते इष्टफले १, १४ । एते वर्णाङ्काभ्यां ४, ३
स्वेच्छया युते जाते यावत्तावत्कालकमाने ५, १८ वा १७, ५ । द्विकेन
५, ११ वा १०, ६ ।
अस्योपपत्तिः । सा च द्विधा सर्वत्र स्यादेका क्षेत्रगताऽन्या
राशिगतेति । तत्र क्षेत्रगतोच्यते । द्वितीयपक्षः किल भावितसमो वर्तते
भावितं स्वायतचतुरस्रक्षेत्रफलं तत्र वर्णौ भुजकोटी ।
= इ.नी + इ ई + ई. पी + ई. इ + रू
समशोधनेन नी.पी = इ. ई + रू
ततः पी = (इ. ई + रू) / नी , अत्र नीलकस्य तथाऽभिन्नं मानं कल्प्यं यथा पीतकमा-
नमभिन्नं स्यात् । ततो नीलकपीतकमानाभ्यामुत्थापनेन यावत्तावत्कालकमाने भवतः ।
यदि इ.ई + रू इदं धनात्मकं भवेत् तदा नीलकस्य ऋणमानकल्पने पीतकस्यापि
ऋणमानमागच्छेत् तदा
या = ई - नी । का = इ - पी । एतेन सर्वं मूलोक्तं पद्यमुपपद्यते ।

१२६ बीजगणिते
न्यासः । का (ऊर्ध्वम्), या १ (दक्षे) [चित्रम् १]
अत्र क्षेत्रान्तर्यावत्सावच्चतुष्टयं वर्त्तते
कालकत्रयं द्वे च रूपे । अतः क्षेत्रा-
द्यावत्तावच्चतुष्टये रूपचतुष्टयोनका-*
लके स्वाङ्कगुणे चापनीते जातम् (१)।
द्वितीयपक्षे च तथा कृते जातम्
न्यासः । ४ (ऊर्ध्वम्), या (वामे), ३ (दक्षे), का (अधः) [चित्रम् २]
१४ । एतद्भावितक्षेत्रान्तर्वर्त्तिनो-
ऽवशिष्टक्षेत्रस्याधस्तनस्य फलं तद्भु-
जकोटिवधाज्जातम्। ते चात्र ज्ञातव्ये।
अत इष्टो भुजः कल्पितस्तेन फलेऽस्मिन् १४ भक्ते कोटिर्लभ्यते
अनयोर्भुजकोट्योरेकतरा यावत्तावदङ्कतुल्यै रूपैः ४ अधिकतरा
सती भावितक्षेत्रस्य कोटिर्भवति यतो भावितक्षेत्राद्यावच्चतुष्टयेऽपनीते
तत्कोटिश्चतुरूना जाता। एवं कालकतुल्यै रूपैः ३ अधिकतरो भुजो
भवति ते एव यावत्तावत्कालकमाने।

• अत्र मूले लेखकप्रमादाद्धेतुदोषे काचित् त्रुटि(१)रस्ति तदर्थं कृष्णदैव-
  ज्ञकृता नवाङ्कुराख्या बीजगणितटीका विलोक्या ।
  ( १ ) वि० श०-स्पष्टार्थं कल्प्यते यथा भु = या, को = का । एते भावितक्षेत्रस्य
  भुजकोटी इति । तत भा.क्षे.फ. = या. का । अस्मात् क्षेत्राद्यादि ४ या, ३ (का - ४)
  एतद्द्वयं विशोध्यते शेषमानम् = या. का - ४या - ३ (का - ४) = (या - ३)
  (का - ४) । अथ या. का = ४ या + ३ का + २ ।
  अतः शेषमानम् = (४या + ३का + २) - ४या - ३का + १२ = १४
  एतद् वर्णाङ्कयोर्घातेन रूपयुतेन वर्ज. वैभं + रू अनेन समानमिति ।
  ( १ ) वि०श०-“रूपचतुष्टयोनकालके स्वाङ्कगुणे” वा “कालके रूपचतुष्टयो-
  नेऽथ स्वाङ्कगुणे” इह न का चित् त्रुटिरस्ति । वस्तुतो नवाङ्कुराटीकाकारस्य कृष्णदैव-
  ज्ञस्य यावद्बाहुल्यतोऽन्यत् किमपि न सारमिति विद्भिर्विवेचनीयम् ।

भावितम् । १२७,
अथ राशिगतोपपत्तिरुच्यते साऽपि क्षेत्रमूलान्तर्भूता । तत्र याव-
त्तावत्कालकभुजकोटिमानात्मकक्षेत्रान्तर्गतस्य लघुक्षेत्रस्य भुजकोटि-
माने अन्यवर्णौ कल्पितौ नी १, पी १। अत एतयोरेकतरो(१)यावत्तावद-
ङ्कतुल्यैः रूपैरधिको वहिःक्षेत्रकोटेः कालकस्य मानम् । अन्यः कालक-
तुल्यैः रूपैरधिको भुजस्य यावत्तावतो मानं कल्पितम् । का=नी १ रू४,
या=पी १ रू ३ । आभ्यां पक्षयोर्यावत्तावत्कालकवर्णावुत्थाप्योप-
रितनपक्षे नी ३ पी ४ रू २६ ।
भावितपक्षे च नी. पी. भा १ । नी ३ पी ४ रू १२ । एतयोः-
समशोधने कृते जातमधः नी. पी. भा १ । ऊर्ध्वपक्षे रू १४ ।
इदमेव तदन्तःक्षेत्रफलमेतद्वर्णाङ्कयोर्घातस्य रूपयुतस्य समं
स्यादतो वर्णमाने भवतस्तत् प्रागुक्तमेव । इयमेव क्रिया पूर्वाचार्यैः
संक्षिप्तपाठेन निबद्धा । ये क्षेत्रगतामुपपत्तिं न बुद्ध्यन्ति तेषामियं
राशिगता दर्शनीया ।
उपपत्त्युतं बीजगणितं गणका जगुः ।
न चेदेवं विशेषोऽस्ति न पाटीबीजयोर्यतः ॥
अत इयं भावितोपपत्तिर्द्विविधा दर्शिता । यत् तूक्तं वर्णाङ्कयोर्घातो
रूपैर्युतो भावितक्षेत्रान्तर्वर्त्तिनोऽन्यक्षेत्रस्य कोणस्थस्य फलमिति
तत् क्वचिदन्यथा स्यात् । यथा वर्णाङ्कौ ऋणगतौ भवतस्तदा तस्यै-
वान्तर्भावितक्षेत्रं कोणे दृश्यते यदा तु भावितक्षेत्रे भुजकोटिभ्यां
वर्णाङ्कावधिकौ धनगतौ भवतस्तदा भावितक्षेत्राद्वहिःकोणस्थं
क्षेत्रं स्यात् तद्यथा ।
न्यासः । [चित्रे- नी, पी, या, का; ३, का, या, नी, पी]
यदीदृशं तदेष्टफलाभ्यामूनितौ वर्णाङ्कौ यावत्तावत्कालकयो-
र्माने भवतः ।
( १ ) वि० श० एकतरो वर्ण इति ।

१२८ बीजगणिते
उदाहरणम् ।
द्विगुणेन कयोः राश्योर्घातेन सदृशं भवेत् ।
दशेन्द्रहृतराश्यैक्यं व्यूनषष्टिविवर्जितम् ॥ १ ॥
अत्र राशी या १, का १ । अनयोर्यथोक्ते कृते भाविताङ्केन भक्ते
जातम् या ५ का ७ रु २६ । अत्र वर्णाङ्काहतिरूपैक्य ६ द्विहतमि-
ष्टफले २, ३ । आभ्यां वर्णाङ्कौ युतौ राशी १०, ७ वा ९, ८ । वा
ऊनितौ जातौ ४, ३ वा ५, २ ।
उदाहरणम् ।
त्रिपञ्चगुणराशिभ्यां युतो राश्योर्वधः कयोः ।
द्विषष्टिप्रमितो जातो राशिं त्वं वेत्सि चेद्वद ॥ २ ॥
अत्र यथोक्ते कृते जातौ पक्षौ { या ३ का ५ रु ६२ । वर्णाङ्काह-
या.का.भा
तिरूपैक्यम् ७७ । इष्टतत्फले ७, ११ । आभ्यां वर्णाङ्कौ युतावेव कार्यौ
इष्टतत्फलाभ्यामाभ्याम् ७, ११ ऊनितौ चेद्विधीयेते तदा ऋणगतौ
भवतोऽत आभ्यां ७, ११ युतौ जातौ राशी ६, ४ वा २, ८ । ऊनि-
तौ १२, १४, वा १६, १० ।
अथ पूर्वचतुर्थोदाहरणम् ।
यौ राशी किल या च राशिनिहतिर्या राशिवर्गौ तथा
तेषामैक्यपदं सराशियुगलमिति ।
अत्र राशी या १, का १ । अनयोर्घातयुतिवर्गाणा योगः
याव १ काव १ या का भा १ या १ का १ । अस्य मूलाभावाद्रा-
शिद्वयोनायास्त्रयोविंशते. या १ का १ रु २३ वर्गेणानेन याव १ काव १
या. का. भा २ या ४६ का ४६ रु ५२९, साम्यम् । तत्र समयोगवियोगादी
समतैनेति समयवर्गगमे शोधने च कृते भाविताङ्केन हृते जातम्—
या ४७ का ४७ रु ५२९ । अत्र वर्णाङ्काहति रूपयुता १६८० । इयं
चत्वारिंशतेष्टेन हृता फलम् ४२, इष्टम् ४० । अत्रेष्टफलाभ्यामाभ्यां
वर्णाङ्कावूनावेव कार्यो तेन जातौ राशी ७, ५ । युतौ चेत् क्रियेते तर्हि
जाता त्रयोविंशतिरिति पूर्वार्लापे न घटते ।
पूर्वोदाहरणम् । पञ्चाशत् त्रियुताऽथ वेति ।

ग्रन्थसमाप्तिः । १२९
अत्रोदाहरणे यथोक्तकृतभाविताङ्केन विभक्ते जातम्
या १०७ का १०७ रू २८०९ । अत्र वर्णाङ्काहतिरूपैक्यम् ८६४० ।
इष्टफले ९०, ९६ । आभ्यां वर्णाङ्कावूनितौ राशी ११, १७ ।
एवमन्यत्रापि ।
क्वचिद्बहुषु साम्येषु भावितोन्मितीरानीय ताभ्यः समीकृतच्छेद-
गमाभ्यः साम्ये पूर्वबीजक्रिययैव राशी ज्ञायेते । अत्र राशी इति द्वि-
वचनादन्येषां त्र्यादिवर्णानामिष्टानि मानानि कल्प्यानीत्यर्थात् सिद्धम् ।
इति श्रीभास्कराचार्यविरचिते बीजगणिते भावितं समाप्तम् ।
आसीन्महेश्वर इति प्रथितः पृथिव्या-
माचार्यवर्यपदवीं विदुषां प्रपन्नः ।
लब्ध्वाऽवबोधकलिकां तत एव चक्रे
तज्जेन बीजगणितं लघु भास्करेण ॥
ब्रह्माह्वयश्रीधरपद्मनाभबीजानि यस्मादतिविस्तृतानि ।
आदाय तत्सारमकारि नूनं सयुक्तियुक्तं लघु शिष्यतुष्ट्यै ॥
अत्रानुष्टुब्सहस्रं हि ससूत्रोद्देशके मितिः ।
क्वचित् सूत्रार्थविषयं व्याप्तिं दर्शयितुं क्वचित् ॥
क्वचिच्च कल्पनाभेदं क्वचिद्युक्तमुदाहृतम् ।
न ह्युदाहरणान्तोऽस्ति स्तोकमुक्तमिदं यतः ॥
दुस्तरः स्तोकबृद्धीनां शास्त्रविस्तारवारिधिः ।
अथवा शास्त्रविस्तृत्या कि कार्यं सुधियामपि ॥
उपदेशलथं शास्त्रं कुरुते धीमतो यतः ।
तत् तु प्राप्यैव विस्तारं स्वयमेवोपगच्छति ॥
यथोक्तं यन्त्राध्याये ।
जले तैलं खले गुह्यं पात्रे दानं मनागपि ।
प्राज्ञे शास्त्रं स्वयं याति विस्तारं वस्तुशक्तितः ॥
१७

ि द्ध्यै->प्रौढिसिद्ध्यै. Wait, in : उल्लसदमलमतीनां त्रैराशिकमात्रमेव पाटी बुद्धिरैव बीजम् । Is itबुद्धिरैव`? Yes, clearly written with two matras on 'र'.

Check :
सब प्रकार की संस्कृत पुस्तको के मिलने का एकमात्र पताः—
Everything looks extremely accurate and faithful to the image.१३० बीजगणिते
तथा गोले मयोक्तम् ।
उल्लसदमलमतीनां त्रैराशिकमात्रमेव पाटी बुद्धिरैव बीजम् ।
तथा गोलाध्याये मयोक्तम् ।
अस्ति त्रैराशिकं पाटी बीजं च विमला मतिः ।
किमतावत् सुबुद्धीनामतो मन्दार्थमुच्यते ॥
गणकभणितिरम्यं बाललीलावगम्यं
सकलगणितसारं सोपपत्तिप्रकारम् ।
इति बहुगुणयुक्तं सर्वदोषैर्विमुक्तं
पठ पठ मतिवृद्ध्यै लघ्विदं प्रौढिसिद्ध्यै ॥
इति श्रीभास्कराचार्यविरचिते सिद्धान्तशिरोमण

प्रक्षिप्तविषयाः । १३१
प्रक्षिप्तविषयाः ।
विशेष — अथ प्रसङ्गाद्ग्रहगणितोपयुक्तत्वादासन्नमानार्थं क्रिया प्रदर्श्यते,
१००/६३ = १ + ३७/६३ = १ + १/(६३/३७) = १ + १/(१ + २६/३७)
= १ + १/(१ + १/(३७/२६)) = १ + १/(१ + १/(१ + ११/२६))
= १ + १/(१ + १/(१ + १/(२६/११)))
= १ + १/(१ + १/(१ + १/(२ + ४/११)))
= १ + १/(१ + १/(१ + १/(२ + १/(११/४))))
= १ + १/(१ + १/(१ + १/(२ + १/(२ + ३/४))))

१३२ बीजगणिते
= १ + १

१ + १

१ + १

२ + १

२ + १

४

३
= १ + १

१ + १

१ + १

२ + १

२ + १

१ + १

३
१ १
अत्र प्रथमलब्धिग्रहणेन मानम् = --- = ---
१ १
१ २
प्रथमलब्धिद्वयग्रहणेन मानम् = १ + --- = ---
१ १
१ ३
प्रथमलब्धित्रयग्रहणेन मानम् = १ + --------- = ---
१ २
१ + -
१
१ ८
प्रथमलब्धिचतुष्टयग्रहणेन मानम् = १ + ------------- = ---
१ ५
१ + ---------
१
१ + -
२
१ १९
प्रथमलब्धिपञ्चकग्रहणेन मानम् = १ + ----------------- = ----
१ १२
१ + -------------
१
१ + ---------
१
२ + -
२

प्रक्षिप्तविषयाः । १३३
१
प्रथमलब्धिषट्कग्रहणेन मानम् = --------------------------------- = २७/१७
१ + १

१ + १

१ + १

२ + १

२ + १

१

१
१ २ ३ ८ १९ २७
एवमत्र, -, -, -, -, --, --, एतानि
१ १ २ ५ १२ १७
१००
वास्तवभिन्नस्य ----- अस्य सन्नमानानि कथ्यन्ते ।
६३
१
अत्र - इदं मानं वास्तवभिन्नमानादल्पम् ।
१
२

• इदं चाधिकं द्वितीयखण्डस्याधिक्यात् ।
  १
  ३
• इदं चाल्पं तृतीयखण्डस्याल्पत्वात् ।
  २
  एवं पाठ्युक्तभजनरीत्या स्फुटमवगम्यते यद्विषमासन्नमानानि वास्तवभिन्नादल्पानि
  समानि चाधिकानि भवन्तीति ।
  एवं वर्णविन्यासेन
  अ १
  -- = ग + ---------------------------------------
  क घ + १

च + १

छ + १

ज + १

त + १

द + १

न + ...
पूर्ववल्लब्धिग्रहणेनासन्नमानानि
ग ग.घ + १ च (ग.घ + १) + ग
-, -------, ---------------,
१ घ घ.च + १

१३४ बीजगणिते

छ { च( ग.घ + १ ) + ग } + ( गघ + १ )
--------------------------------------------------------- , इत्यादि ।
छ ( च.घ + १ ) + घ

अत्र तृतीयमाने तृतीयलब्धिद्वितीयमानाशवधः प्रथममानाशयुक्तो ऽंशः ।
तृतीयलब्धिद्वितीयमानहरवध प्रथममानहरयुक्तो हि हर इति दृश्यते, एवं चतुर्थमाना-
दिषु च रीतिर्दृश्यते तेनासन्नमानद्वयज्ञानाल्ललब्धिभ्योऽन्यान्यासन्नमानानि सुखेन ज्ञायन्ते ।

अथ पूर्वावगतप्रथमद्वितीययोरासन्नमानयोरन्तरेण यद्विमृश्यते तत्रांशस्थाने
रूपमिति दृश्यते । अथ कल्पन्ते श्रीव्यासन्दर्शितान्यासन्नमानानि

अ₁ अ₂ अ₃ । अ₃
---- , ---- , ---- । ---- एतत्सम्वन्धिनी लब्धिश्च ल, तदा
क₁ क₂ क₃ । क₃

अ₃ ल.अ₂ + अ₁
पूर्वप्रकारेण ---- = -------------- ,
क₃ ल.क₂ + क₁

अतः

अ₂ अ₃ अ₂ ल.अ₂ + अ₁
---- ~ ---- = ---- ~ --------------
क₂ क₃ क₂ ल.क₂ + क₁

ल.अ₂.क₂ + अ₂.क₁ ~ ल.अ₂.क₂ + अ₁.क₂
= -------------------------------------------
क₂ ( लक₂ + क₁ )

अ₂.क₁ ~ अ₁.क₂
= ------------------ , अत्रांशमानम्
क₂ ( लक₂ + क₁ )

अ₁ अ₂
---- , ---- अनयोरन्तरांशमानमममत इष्टपृष्ठस्थयोरन्तरे यदंशमान तदग्रिम-
क₁ क₂
मंशयोरन्तरे भव यदंशमानं परन्तु प्रथमद्वितीयासन्नमानयोरन्तरे स्वंशम ने रूपममं पूर्वादर्शं
तेनायनस्थयोर्द्वयोरासन्नमानयोरन्तरे सर्वदाऽंशमानं रूपं भवतीति सिध्यति ।

अथ पूर्वयुक्तिनः क₁.अ₂ ~ अ₁.क₂ = १
अतः पूर्वयुक्तिन अ₁ क₁ एतौ वा अ₂ क₂ एतौ परस्परं दृढौ भवनोऽन्यथा
तदप्यसंज्ञाद्देन रूपमप्यपवस्यं भवेत् तदयुक्तमित्यन आसन्नमानेषु सर्वगु हरोशौ दृढौ
भवत इति सिध्यति ।

अ₁ अ₂ अ₃
कथ्यन्ते, ---- , ---- , ---- आसन्नप्रथानि मानानि तदा पूर्ववत्,
क क₁ क₂

संक्षिप्तविषयाः । १३५
अ₃/क₃ = (ल अ₂ + अ₁) / (ल क₂ + क₁), वास्तवभिन्न च ल, स्थाने ल + इ, इत्यस्योत्थापनेन
जातम् = ((ल + इ) अ₂ + अ₁) / ((ल + इ) क₂ + क₁), इ = रूपाऽपसंख्या ।
अतः भिन्न - अ₂/क₂ = (ल.अ₂ + इ अ₂ + अ₁) / (ल.क₂ + इ क₂ + क₁) - अ₂/क₂
= (ल क₂ अ₂ + इ क₂ अ₂ + क₂ अ₁ - ल क₂ अ₂ - इ क₂ अ₂ - क₁ अ₂) / (क₂ (ल क₂ + इ क₂ + क₁))
= (क₂ अ₁ - क₁ अ₂) / (क₂ (ल क₂ + इ.क₂ + क₁)) = १ / (क₂ { क₂ (ल + इ) + क₁ })
एव
अ₃/क₃ - भिन्न = (ल अ₂ + अ₁) / (ल क₂ + क₁) - (ल अ₂ + अ₁ + अ₂ इ) / (ल क₂ + क₁ + क₂ इ)
= (ल² क₂ अ₂ + ल क₂ अ₁ + ल क₂ अ₂ इ + ल क₁ अ₁ + अ₁ क₁ + अ₁ क₂ इ

• ल² क₂ अ₂ + ल क₂ अ₁ + ल क₂ अ₂ इ + ल अ₂ क₁ + अ₁ क₁ + क₁ अ₂ इ) / (क₃ (ल क₂ + क₁ + क₂ इ))
  = इ (अ₁ क₂ - क₁ अ₂) / (क₃ (ल क₂ + क₁ + क₂ इ)) = इ / (क₃ (ल क₂ + क₁ + क₂ इ))
  प्रथमान्तरस्यांशमानादस्या परस्यांशमानमल्पं तदीयहरमानादस्य हरमान चाधि-
  कमत उन्नत आसन्नमानानि सूक्ष्माणि वास्तवभिन्नस्य निकटस्थत्वादिति स्थितिः ।
  अथैषां सिद्धान्तानां सूत्राणि ।
  आसन्नमानस्य हरांशमाने अग्रं विगुण्य गदिते क्रमेण ।
  पृष्ठस्थिताग्रहरांशकाभ्यां तदा हराशी भवतोऽग्रिमस्य ॥ १ ॥
  द्व्यग्रप्रमाणयोराग्रप्रबन्धयोरेकतरं भवेत् ।
  अग्रस्थाने राशौ रूपं निन्यमेतच्च धीमता ॥ २ ॥
  सर्वोत्त्वासन्नमानेषु हरांशी भवतो रटौ ।
  तयोत्तरोत्तरं सूक्ष्म आसन्नमानानि भवन्ति हि ॥ ३ ॥
  इष्यते- अ/क, इदमग्रप्रमाणं वास्तवभिन्नात् सिद्धिमियम्- रा/र -अग्रं विभज्य हर-

१३६ बीजगणिते
माने र, क₁ अस्मादल्पम् तदा स/र अस्मात् इदमेव निकटतरे वास्तवभिन्नस्य, यद्येवं
न तर्हि अ₁/क₁, अ₂/क₂ अनयोरन्तरात् स/र, अ₂/क₂, अनयोरन्तरमल्पतरम् ।
यत अ₁/क₁ < स/र < वा.भि. < अ₂/क₂ (अ₂/क₂ = अग्रिममानम्)
अतः अ₁/क₁ ∽ अ₂/क₂ = १/(क₁.क₂) < अ₂/क₂ - स/र
वा, १/(क₁.क₂) > (अ₂.र - क₂.स)/(क₂.र) वा, १/क₁ > (अ₂.र - क₂.स)/र
अथ क₁ > र अत १ > अ₂.र - क₂.स इदमसम्भवं यतः अ₂. र, क₂.स
अनयोरभिन्नसंख्ययोरन्तरं रूपान्यमवशिष्यते —
कल्प्यते अ₁/क₁, अ₂/क₂ आसन्नस्थमासन्नमानद्वयं
तदा (अ₁.अ₂)/(क₁.क₂) इदं वास्तवभिन्नवर्गादधिकम्
यदि अ₁/क₁ > अ₂/क₂, अन्यथाऽल्पमिति
अतो यदि सावयवलब्धि = ल
तदा वास्तवभिन्नम् = (ल.अ₂ + अ₁) / (ल.क₂ + क₁)
अत्र अ₁/(वा.भि. क₁) - (वा.भि. क₂)/अ₂ = क₂/(वा.भि. अ₂) ( (अ₁.अ₂)/(क₁.क₂) - वा.भि )
= अ₁(ल.क₂ + क₁) / क₁(ल.अ₂ + अ₁) - क₂(ल.अ₂ + अ₁) / अ₂(ल.क₂ + क₁)
अत्र समच्छेदतोऽन्तरेऽंशानाम्
= अ₁.अ₂ (ल.क₂ + क₁)² - क₁.क₂ (ल.अ₂ + अ₁)²
= अ₁.अ₂.ल².क₂² + २अ₁.अ₂.ल.क₂.क₁ + अ₁.अ₂.क₁²

• क₁.क₂.ल².अ₂² - २अ₁.अ₂.ल.क₂.क₁ - क₁.क₂.अ₁²
  = ल².अ₂.क₂ (अ₁.क₂ - अ₂.क₁) - अ₁.क₁ (अ₁.क₂ - अ₂.क₁)

संक्षिप्तविषयाः । १३७
= ( ल².अ₂.क₂ - अ₁.क₁ ) ( अ₁.क₂ - अ₂.क₁ )
अत्र ( ल².अ₂.क₂ - अ₁.क₁ ) इदं सर्वदा धनमेव
अ₁.क₂ - अ₂.क₁ = क₁.क₂ ( अ₁/क₁ - अ₂/क₂ ) इदं तु
यदा अ₁/क₁ > अ₂/क₂ तदा धनमतस्तदा
क₂/(वाभि.अ₂) ( अ₁.अ₂/(क₁.क₂) - वाभि² ) इदं वा
अ₁.अ₂/(क₁.क₂) - वाभि² इदं धनं भवति
तत अ₁.अ₂/(क₁.क₂) > वाभि² इदमुपपन्नं भवति
अत सूत्रावतार ।
आसन्नमानहरतो यावद्भिघ्नस्य हरो भवेत् ।
अल्प आसन्नमानात् स्यान्न स सूक्ष्मतरस्ततः ॥ १
द्वयोरासन्नयोरासन्नस्थयोराहतिर्भवेत् ।
कृतेर्वास्तवाभिख्यस्याधिका पृष्ठेऽधिकेऽग्रिमात् ॥ २ ॥
अथ यथाऽऽसन्नमानोक्तविधिनाऽवर्गस्य मूलमानीयते तदाऽपोलिनियक्रियाप्युच्यते—
यथा
√११ = √(११ + ०) / १ = ३ + (√११ - ३) / १
= ३ + (√११ - ३)(√११ + ३) / (√११ + ३) = ३ + २ / (√११ + ३)
= ३ + १ / ((√११ + ३) / २) = ३ + १ / (३ + (√११ + ३ - ६) / २)
= ३ + १ / (३ + (√११ - ३) / २) = ३ + १ / (३ + २ / (२(√११ + ३)))
१८

१३८ बीजगणिते
१ १
= ३ + ------------- = ३ + --------------------------
१ १
३ + --------- ३ + ----------
√११ + ३ √११ + ३

१
१ १
= ३ + ------------- = ३ + --------------------------
१ १
३ + ------- ३ + ----------
६+√११-३ २
------- ६ + ----------
१ √११ + ३
इत्यादि। एवमत्र ३, ३, ६, इत्यादि-लब्धिग्रहणेनैकादशमूलस्यासन्नमानानि आ-
सन्नमानानयनरीत्याऽऽगच्छेयुः।
एवमक्षरविन्यासेन
√न + ० √न - अ शे
------ = अ + ---------- = अ + ----------- ,
१ १ √न + अ
यदि शे = न - अ² तथा न इत्यस्य निर

संक्षिप्तविषयाः । १३९
०, अ, अं, अं', अं", ... ... .. (१)
१, शे, शे', शे", शे'", ... ... .. (२)
अ, क, कं, कं', कं", ... ... ... (३)
कल्प्यन्ते-(१) अस्मिन् क्रमेण राशित्रयमानम् पृथक् अ, अं, अं', तत्सम्बन्धिरा-
शित्रय (२) शे', शे", शे"' । (३) क, कं, कं', च राशित्रयम्
अत्र क, कं, कं', -त्रयवशादासन्नमूलस्यासन्नमानानि प/ल, पं/लं, पं'/लं', चेति ।
तदासन्नमानानयनविधिना
पं'/लं' = (कं' . पं + प)/(कं' . लं + ल) । अथ कं' -स्थाने यदि सावयवा वास्तवा लब्धि
√(न + अं') / शे' इयं गृह्यते तदा
(√(न + अं') / शे') . पं + प पं (√(न + अं')) + शे" प
√न = --------------------------- = -------------------------
(√(न + अं') /

... हरस्य कृत्या विहीनं गुणं शेषभक्तोऽन्यराशेर्मानम् ।"
"मुहुस्त्वेवमन्ते यदा शेषमानं भवेदेकयुक्तं तदा ... ॥ २ ॥"

Wait, who is the author?
Page header says: "बीजगणिते" (Bijaganite). Page 140.
Is it Sudhakara Dvivedi's Bijaganitam (or Bhaskara's Bijaganita with commentary, or modern Bijaganita by Sudhakara Dvivedi)?
Sudhakara Dvivedi wrote "Bijaganitam" (बीजगणितम्) in Sanskrit/Hindi, or Pandit Radhaballabh?
Wait, Sudhakara Dvivedi's "Vija Ganita" with his own commentary / Sanskrit text.
In Sudhakara Dvivedi's Bijaganita, he often gives his own Upapattis and Karikas!
Look at the style of Sanskrit prose:
"आसन्नमानान्तिमसूत्रात्..."
"अथ (१) अस्मिन् ..., (२) अस्मिन्..."
"आसन्नमानानयनयुक्त्या प.लं - पं.ल = ± १ तेन ±शे'' = लं² न - पं² पक्षान्तरानयनेन पं² = लं² न ∓ शे''"
"अतो यस्या आसन्नमूलमपेक्षितं सा संख्या चेत् प्रकृतिः कल्प्यते तदा तदासन्नमानाय हर

मेण प्रथमखण्डमानानि प्र., दि., तृ., च., प्रथमसममापमान=वि, द्विती"
Wait!
Look at line 31:
"तथा क्रमेण प्रथमखण्डमानानि प्र., दि., तृ., च., प्रथमसममापमान=वि, द्विती-"
Wait, the second word in line 31:
"तथा क्रमेण" - 'क्र' has a broken loop, looks like '' or 'क्र'. It's "क्रमेण"!
Then: "प्रथमखण्डमानानि प्र., दि., तृ., च., प्रथमसममापमान=वि, द्विती" (or "प्रथमसमापमान = वि, द्वि")
Wait, let's read line 31 carefully:
"तथा क्रमेण प्रथमखण्डमानानि प्र., दि., तृ., च., प्रथमसममापमान=वि, द्विती-" (with a hyphen or broken off at right: "द्विती-")

Line 32:
"यसमपंमान = वि, तदाऽऽल्पाणुमारेण"
Wait!
"यसमपंमान = वि, तदाऽऽल्पाणुमारेण" ->
"यसमापमान = वि, तदाऽऽल्पानुसारेण" (or "यसमापमान = वि₂, तदाऽऽल्पानुसारेण"? No, "वि, तदाऽऽल्पाणुमारेण" or "तदाऽऽल्पानुसारेण").

->तौorयौ? तौmakes so much sense withयदा ... तदा ... कल्पितौ तौ! Or यौ? Wait, let's look at ये: it has au-kara! तौorयौ`.

Now let's revisit L24 and L25 (Verse 1):
Let's read verse 1 carefully:
Line 1:
निरग्रं पदं यद्गुणात् स्यात् फलाढ्यं
Wait, look at L23:
निरग्र पद यद्गुणात् स्यात् फलाढ्यं -> wait, does it have anusvara?
निरग्र पद or निरग्रं पदं?
In print, sometimes anusvara is faint or omitted: निरग्र पद यद्गुणात् स्यात् फलाढ्यं
Wait, let's look at L24:
धनाख्यं तदेवात्र शेषं तदग्रम् ।
Line 2:
धनाख्यं तदेवात्र शेषं तदग्रम् ।
Line 3 (L25):
पदाद्यं धनं शेषहृत्प्रान्त्यमन्त्यं
Wait, let's look at the letters of L25:
प दा द्यं (पदाद्यं)
ध नं (धनं)
शे ष हृ त्प्रान् त्य (

संक्षिप्तविषयाः । १४१
गुणाप्तौ विधुक्षेपके कुट्टकेन भवेतां पदे ते समा लब्धयश्चेत् ।
विधुक्षेपकेऽथाऽन्यथा रूपशुद्धावभिन्ने सकृत् कुट्टकेनैव तूर्णम् ॥ ३ ॥
यथाऽऽचार्योक्तप्रश्ने प्रकृति ६७ अस्या निरग्रमूलं ८ शेषं ३ ततः प्रश्नानुसारेण ।
कं प शे वल्ली
८ ८ ३ ८ ┐
५ ५ ६ ५ │
७ ७ ७ ७ │
१ १ ९ १ │
१ १ २ १ │
७ ७ ९ ७ ┘
१ २ ७ १ ┐
१ ५ ६ १ │
२ ७ ३ २ │
५ ८ १ ५ │
१ │
० ┘
वल्लीतो जाते गुणाप्ती ५९६७ । ४८८४२ लब्धयः समाः समस्यतो जाते कनि-
ष्ठज्येष्ठे रूपक्षेपे क ५९६७ ज्ये ४८८४२ एते, एवं मुहुः कुट्टकविधिना समासभा-