बीजगणितम् (भास्कराचार्य द्वितीय - प्राचीन भारतीय समीकरण एवं बीजगणित सूत्र सटीक)
Bijaganitam of Bhaskaracharya II with Hindi Commentary
भास्कराचार्य द्वितीय द्वारा
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माने र, क₁ अस्मादल्पम् तदा स/र अस्मात् इदमेव निकटतरे वास्तवभिन्नस्य, यद्येवं
न तर्हि अ₁/क₁, अ₂/क₂ अनयोरन्तरात् स/र, अ₂/क₂, अनयोरन्तरमल्पतरम् ।
यत अ₁/क₁ < स/र < वा.भि. < अ₂/क₂ (अ₂/क₂ = अग्रिममानम्)
अतः अ₁/क₁ ∽ अ₂/क₂ = १/(क₁.क₂) < अ₂/क₂ - स/र
वा, १/(क₁.क₂) > (अ₂.र - क₂.स)/(क₂.र) वा, १/क₁ > (अ₂.र - क₂.स)/र
अथ क₁ > र अत १ > अ₂.र - क₂.स इदमसम्भवं यतः अ₂. र, क₂.स
अनयोरभिन्नसंख्ययोरन्तरं रूपान्यमवशिष्यते —
कल्प्यते अ₁/क₁, अ₂/क₂ आसन्नस्थमासन्नमानद्वयं
तदा (अ₁.अ₂)/(क₁.क₂) इदं वास्तवभिन्नवर्गादधिकम्
यदि अ₁/क₁ > अ₂/क₂, अन्यथाऽल्पमिति
अतो यदि सावयवलब्धि = ल
तदा वास्तवभिन्नम् = (ल.अ₂ + अ₁) / (ल.क₂ + क₁)
अत्र अ₁/(वा.भि. क₁) - (वा.भि. क₂)/अ₂ = क₂/(वा.भि. अ₂) ( (अ₁.अ₂)/(क₁.क₂) - वा.भि )
= अ₁(ल.क₂ + क₁) / क₁(ल.अ₂ + अ₁) - क₂(ल.अ₂ + अ₁) / अ₂(ल.क₂ + क₁)
अत्र समच्छेदतोऽन्तरेऽंशानाम्
= अ₁.अ₂ (ल.क₂ + क₁)² - क₁.क₂ (ल.अ₂ + अ₁)²
= अ₁.अ₂.ल².क₂² + २अ₁.अ₂.ल.क₂.क₁ + अ₁.अ₂.क₁²
- क₁.क₂.ल².अ₂² - २अ₁.अ₂.ल.क₂.क₁ - क₁.क₂.अ₁²
= ल².अ₂.क₂ (अ₁.क₂ - अ₂.क₁) - अ₁.क₁ (अ₁.क₂ - अ₂.क₁)