गणितसारसंग्रह (महावीराचार्य - प्रो. लक्ष्मीचन्द्र जैन सविस्तार हिन्दी अनुवाद सटीक)

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Chapters III and IV are devoted to elementary operations
with fractions. Mahāvīrāchārya has paid considerable a tention to
the problem of expression of a unit fraction as the sum of unit
fraction. This problem has interested mathematicians from remote
antiquity ( Ahmes Papyrus 1650 B. C. ). Here are three relevant
problems ( II 75, 77, 78 ) set in modern notation.
( 1 ) 1 = ½ + ⅓ + 1/3² + ······ + 1/3ⁿ⁻² + 1/(2ⁿ⁻² · 3);
( 2 ) 1 = 1/(2·3·½) + 1/(3·4·½) + ··· + 1/((2n - 1) 2n·½) + 1/(2n·½);
( 3 ) 1/n = a₁ / (n (n + a₁)) + a₂ / ((n + a₁) (n + a₁ + a₂)) + ······

• aᵣ₋₁ / ((n + a₁ + a₂ + ··· + aᵣ₋₂) (n + a₁ + a₂ + ··· + aᵣ₋₁))
• aᵣ / (aᵣ (n + a₁ + a₂ + ··· + aᵣ))
  Problem IV 4: One third of a herd of elephants and three times
  the square root of the remaining part ( of the herd ) were seen on the
  mountain slope; and in a lake was seen a male elephant along with
  three female elephants. How many were the elephants there ?
  Here is a sample of monkish humour !
  Chapter V treats ‘Rule of Three’ and its generalised forms.
  Chapter VI. Having created the arithmetical apparatus in the
  earlier chapters, in this long chapter, Mahāvīrāchārya applies it to
  solving many problems which one encounters in life such as money-
  lending, number of combinations of given things, indeterminate
  equations of first degree, etc.
  Problem (VI 128½) : In relation to twelve ( numerically equal )
  heaps of pomegranates which having been put together and combined
  with five of those ( same fruits ) were distributed equally among 19
  travellers. Give out the numerical measure of ( any ) one heap.
  Problem ( VI 218 ) : The number of combinations of n different
  things taken r at a time is
  n (n - 1) (n - 2)···(n - r + 1) / (1·2·3······r) or n! / (r! (n - r)!)

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It is interesting to note that this general formula was discovered in
Europe as late as in 1634 by Herigone (Smith's History of
Mathematics Vol. II). We may also recall here that the number 7
which occurs in Saptabhaṅgī provides a simple example in the
theory of Permutations and Combinations. A layman can verify
that he can form seven and only seven different combinations of
three distinct objects. Jainas have been using mathematics freely in
their sacred literature from very remote antiquity. The above
example supports this fact.
Problem ( VI 220 ) : O friend, tell me quickly how many
varieties there may be, owing to variation in combination of a
single-string necklace made up of diamonds, sapphires, emeralds,
corals and pearls ?
Problem ( VI 287 ) : What is that quantity which when divided
by 7, ( then ) multiplied by 3, ( then ) squared, ( then ) increased by
5, ( then ) divided by 3/5, ( then ) halved and ( then ) reduced to its
square root, happens to be 59.
Note the sheer devilry of it !
In chapters VII and VIII problems on mensuration are treated.
Some of the formulas used are noted here :
(1) The Pythargorean formula for the sides of a right angled
triangle is a² = b² + c² where a is the hypotenuse.
(2). Area of △ ABC is
√[s (s - a) (s - b) (s - c)] where 2 s = a + b + c.
(3). The area and the diagonals of a quadrilateral ABCD are :
√[(s - a) (s - b) (s - c) (s - d)] where 2 s = a + b + c + d ;
√[((ac + bd) (ab + cd)) / (ad + bc)] ; √[((ac + bd) (ad + bc)) / (ab + cd)].
It is unfortunate that both Mahāvīrāchārya and his predecessor
Brahmagupta made the common mistake of not mentioning the fact
that these formulas hold for cyclic quadrilaterals only.
( 4 ). π = 3 or √10.
( 5 ). The circumference of an ellipse whose major and minor
axes are of lengths 2 a and 2 b is √(24 b² + 16 a²) which reduces to
2π a √(1 - ⅗ e²) where e is the eccentricity. It is difficult to imagine,

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how Mahāvīrācharya could attain such a close approximation
without the help of the powerful tools available to us
Chapter IX treats the so called "Shadow Problems."
Raobahadur Raṅgāchārya's edition of Gaṇitasāra-Saṁgraha with
English translation has been out of print for over thirty five years.
Thanks to the zeal and labours of Prof. L. C. Jain, the present
edition with Hindi translation goes some way to meet a long felt
need. It is, however, felt that a new edition with English translation
by an experienced Mathematician who knows Sanskrit well is an
urgent need.
The writer is thankful to his learned friends Dr. Hiralalji
Jain and Dr. A. N. Upadhye for assigning to him the pleasant task
of writing this foreword.
DHARWAR, October 1963 B. B. BAGI

EDITORIAL
The work of Hindi translation of Gaṇitasāra-Saṁgraha was
entrusted to me by Dr. H. L. Jain in 1951, soon after I had joined
the College of Science at Nagpur. It took nearly twelve years for
its publication. During this period, while in his contact, I became
interested in the study of mathematical contents of the old Prakrit
texts (Dhavalā and Tiloyapaṇṇattĩ recently brought to light and
edited with Hindi translation by him. It was easy to mark out the
difference between the treatment in Gaṇitasāra Saṁgraha and the
mathematical contents of the Prakrit texts. The former is a work on
Indian logistics or Laukikī, a few portions of which could be useful
for the study of the latter which we may call Indian arithmetica.
Artha, in Prakrit texts, implies the measure of substance, field,
time and beings' becomings in terms of monads. The Prakrit texts,
made known to the Hindi world by Dr. H. L Jain and others, form
important sources of Indian arithmetica which throw light on the
darkest period of Indian history of mathematics. It is regretted
that certain articles of Dr. A. N. Singh on these topics are not known
to historians of mathematics, for they were not published in
recognized mathematical magazines. A reference to these was made
by Sinvhal in an article on Dr. Singh in Gaṇita, Vol. 5, No. 2, (1954).
In the present work, I have based the translation mainly on
the English translation of Professor Raṅgāchārya, taking liberty of
Hindi expressions and keeping his notes intact. In the introduction
I have tried to give a general observation on the history of
mathematics upto the time of Mahāvīrāchārya. This is chiefly based
on Bell's Development of Mathematics and History of Hindu
Mathematics by Datta and Singh. Then I have given a specific
observation on the history of mathematics of the Pythagorean era.
In this I have given relevant references of the works which form
important sources of Indian arithmetica, and have tried to correlate
certain similarities in Greek, Egyptian, Babyloanian, Indian and
Chinese arithmetica etc. I have concluded therein that the
mathematics developed in the school of "Vardhamāna Mahāvira

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is one of the connecting and missing links in the history of
Mathematics.
I have traced these developments in a systematic form in the
Jīva Tatva Pradīpikā commentary on Gommaṭasāra. It abounds in
symbolism for place value, logarithms, transfinite and finite cardinals,
sets and operators. One may be confused to see that a single symbol
has been used in various texts to denote various measures or
operations. For example, zero as a circle stands for a negative
sign, for one sensed soul, for the agrihīta stage of soul (for a void),
for filling up gaps, and for a place value. Sets are of varying,
oscillating and constant types. A kind of well ordering concept
seems to have been used in formation of sequences from the greatest
transfinite set. Comparability also plays an important role in the
treatment
Thus Mahāvīrāchārya had before him, the works of his
predecessors, both in logistics and in arithmetica. He made a clear
remark in his connection, in verse 70, Chapter 1, for a study of Āgama
for further details. His work contains other elementary descriptions
on series etc., found in details in Prakrit texts, referred above. It
seems that his acquaintance with proper infinities in which monads
alone played the role of division etc., made him to think of division
by zero as a distribution in a logical way. If a sum is to be
distributed to none, the sum would remain unaffected.
The first four appendices contain practically the same matter
as appeared in Raṅgāchārya's translation. The fifth appendix contains
new collation-material compiled at the instance of Dr H. L. Jain
from certain manuscripts from Karanja. In the sixth appendix it
has been thought useful to reproduce the preface of Professor
Raṅgāchārya and introduction of Professor David Eugene Smith.
Thanks are due to Professor B. D. Dube for his kindness to
give valuable suggestions. Thanks are also due to the proprietor of
the Press for his kind co-operation.
I am grateful to my Principal, Shri G. R. Inamdar, and to my
senior colleague, Prof. K. S. Rathore, for their affectionate patronage.
My gratitude is also due to Prof. S. B Gour for his close assistance.
JABALPUR, NOVEMBER 1963 L. C. JAIN

समर्पण
श्री १०५ पू० क्षु० मनोहर वर्णी 'सहजानन्द'
जिन्होंने
निरन्तर ज्ञान तप साधना रत हो
“स्यां स्वस्मै स्वे सुखी स्वयम्” उद्घोष गीत से
संतप्त जग जीवन में
चन्द्र सितारा मय
शीतल सम्यक्त्व-प्रभात
उतारा है
तथा
जीवन बन्धु विनोबा भावे
जिन्होंने
सर्वोदय और भूमिदानादि रत्न दीपों से
कृष्ण क्षुब्ध तम जलधि तटों पर
सुप्त प्राणों के प्राणों को
जागृत रखा है
को
सादर
सस्नेह

प्रस्तावना
भारतीय गणित इतिहास के जगत्प्रसिद्ध गणितज्ञ महावीराचार्य के गणितसार संग्रह ग्रन्थ का पुन-
रुद्धार प्रोफेसर रंगाचार्य द्वारा सन् १९१२ में हुआ । इस ग्रन्थ के तीन अपूर्ण हस्तलेख उन्होंने गव्हर्नमेंट
ओरिएंटल मेनस्क्रिप्ट्स लायब्रेरी, मद्रास में, उस समय के डी. पी. आई. श्री जी. एच. स्टुअर्ट की प्रेरणा
से प्राप्त किये । उन तीन हस्तलिपियों में से एक तो १ ग्रंथ की लिपि में कागज पर है, जिसमें संस्कृत टीका
सहित प्रथम पांच अध्याय हैं। बाकी दो हस्तलिपियां २ ताड़पत्रों पर कन्नड़ी लिपि में हैं। एक ताड़पत्र में प्रथम
पांच अध्याय हैं, और दूसरे में सात अध्याय हैं, जिनमें क्षेत्रफलों का ज्यामितीय विधि से निरूपण है । इन
दोनों हस्तलिपियों में संस्कृत में लिखा हुआ मूल ग्रंथ है, और कन्नड़ी भाषा में कुछ विविध उदाहरणार्थ प्रश्न
तथा उन्हीं प्रश्नों के उत्तर दिये गये हैं । इस ग्रंथ का पूर्णरूपेण अंग्रेजी में अनुवाद करने के लिये प्रोफेसर
रंगाचार्य ने कई जगह खोज करवाई, जिसके फल स्वरूप उन्हें कुछ और हस्तलिपियां प्राप्त हुईं । चौथी
हस्तलिपि गव्हर्नमेंट ३ ओरिएंटल लायब्रेरी, मैसूर में प्राप्त हुई । यह हस्तलिपि मूल रूप में ताड़ पत्र पर किसी
जैन पंडित के पास थी, जिसे कागज पर कन्नड़ी में उतारा गया था । इस लिपि में पूरा ग्रन्थ है, साथ में,
वल्लभ द्वारा कन्नड़ी भाषा में की गई टीका भी है । वल्लभ ने उसी में लिखा है कि इसी ग्रन्थ की टीका
उन्होंने तेलगू में भी की। पांचवीं हस्तलिपि, ४ दक्षिण कन्नड़, मूडबिद्री में एक जैन मंदिर के भांडार में ताड़-
पत्र पर कन्नड़ी में लिखित प्राप्त हुई । इसमें भी पूर्ण ग्रंथ है तथा कन्नड़ी में प्रश्न और उनके उत्तर दिये
गये हैं । ग्यारहवीं सदी में राजमुंद्री के राजराजेन्द्र के शासन काल में इस ग्रंथ का अनुवाद पावलुरि मल्हण
द्वारा तेलगू में हुआ, जिसकी कुछ हस्तलिपियां मद्रास की गव्हर्नमेंट ओरिएंटल मेनस्क्रिप्ट्स लायब्रेरी में हैं ।
ग्रन्थ पढ़ने से ज्ञात होता है कि ग्रन्थकार सम्भवतः ईसा की नवीं सदी में मैसूर प्रांत के किसी
कन्नड़ी भाग में हुए होंगे, जहां राष्ट्रकूट वंश के चक्रिका भंजन राजा अमोघवर्ष नृपतुंग ५ का शासन था ।
महावीराचार्य के कार्य का महत्व समझने के लिये गणित के विकास के इतिहास पर विहंगम दृष्टि डालना
आवश्यक प्रतीत होता है । गणित के विकास में भारतीयों का कितना अंशदान था यह भी इससे स्पष्ट
हो जावेगा । इस विकास विवरण को हम केवल महावीर के काल तथा पश्चिम के देशों तक सीमित रखेंगे ।
१. इस हस्तलिपि को प्रोफेसर रंगाचार्य ने “P” द्वारा अभिधानित किया है । हम भी इन्हीं संकेतों
को उपयोग में लावेंगे ।
२. दोनों हस्तलिपियों में साधारण लक्षण होने एवं विषय अतिछादी (overlapping) न होने
के कारण इन्हें “K” द्वारा अभिधानित किया गया है ।
३. इसका अभिधान “M” द्वारा किया गया है ।
४. इस हस्तलिपि को “B” द्वारा अभिधानित किया गया है ।
५. अमोघवर्ष नृपतुंग के विषय में इतिहासकारों का मत है कि वे ईसा की नवीं सदी के पूर्वार्द्ध में
राजगद्दी पर बैठे । इनके विशेष परिचय के लिये नाथूराम प्रेमी का “जैन साहित्य और इतिहास”
१९४२, पृ० ५१७ आदि देखिये ।

2 गणितसारसंग्रह
गणित इतिहास का सामान्य अवलोकन
यह ज्ञात नहीं कि विश्व के किस प्रदेश में, कब और किसने यह सोचा कि संख्या और आकृति
का ज्ञान सभ्य जीवन के लिये उतना उपयोगी सिद्ध होगा जितनी कि भाषा । संख्या और आकृति, इन दो
मुख्य धाराओं द्वारा गणित वर्तमान रूप में आई। प्रथम धारा अंकगणित और बीजगणित को लाई, तथा
दूसरी धारा ज्यामिति को । सत्रहवीं सदी में ये दोनों मिलकर गणितीय विश्लेषण ( mathematical
analysis ) रूपी अगम्य नदी के रूप में बदल गईं ।
ईसा मसीह से सैकड़ों सदियों पहिले विश्व के जो प्रदेश सभ्यता की चरम सीमा तक पहुँच सके
उनमें प्रायः सबका इतिहास अज्ञात है, केवल वही देश इतिहास को बना सके जहां ऐतिहासिक सामग्रियां
अभी तक हजारों वर्षों के विनाशकारी वातावरण से लोहा लेकर सुरक्षित चली आईं । इन देशों में
बेबीलोनिया ( बाबुल ), मिस्र और भारत विशेष रूप से प्रसिद्ध हैं ।
दजला और फरात नदियों के कछार के पश्चिमी भाग में स्थित झूलने वाले बगीचों के देश बेबीलोन
( Babylon) में लगभग ईसा से प्रायः ५७०० वर्ष पूर्व के अभिलेख वहां की सभ्यता का प्रदर्शन करते हैं ।
उस काल में इस देश के निवासी अपने ज्ञान को मिट्टी की चक्रिकाओं, रम्भों ( बेलनों ) और त्रिसमपाश्र्वों में
अंकित कर उन्हें पकाकर सुरक्षित रखते थे। उनके अध्ययन से ज्ञात होता है कि उनकी सभ्यता का आधार
कृषि था, जिसके लिए उन्हें पंचांग (calendar) की आवश्यकता होती थी । उस सदी में उन्होंने अपने
वर्ष का आरम्भ विषुवत बिन्दु ( vernal equinox ) से किया था । यह ज्ञान उन्होंने अपने पूर्व के
देश सुमेर ( Sumer ) वासियों से सीखा होगा । ईसा से प्रायः २५०० वर्ष पूर्व सुमेर के व्यापारी वजन
और मापों से परिचित थे । उन्हीं की गणना का मान बेबीलोन पहुँचा । वह मान षाष्टिका ( ६० को आधार
लेकर ) था, जिसमें दशमलव ( १० को आधार लेकर प्राप्त हुई ) पद्धति का कुछ मिश्रण था । यह अनुमान
लगाया जाता है कि १०, अंगुलियों को गिनने से और ६०, १० में ६ का गुणन करने से प्राप्त किया
गया होगा । ६ इसलिए चुना गया कि उससे उपयोगी भिन्नों को सरलता पूर्वक व्यक्त किया जा सकता था ।
ईसा से प्रायः २००० वर्ष पूर्व की अंकगणिति की सारिणियों में गुणन के सिवाय वर्गमूल तथा वर्ग और
घन की सारिणियाँ भी थीं । न³ + न² की सारिणी का भी वे उपयोग करते थे, जहाँ न का मान १ से
लेकर ३० तक था । इस प्रकार उनकी नैसर्गिक प्रवृत्ति फलनीयता ( functionality ) की ओर थी ।
उस समय यहाँ की बीजगणित में निरीक्षण और उपपत्ति दृष्टिगत नहीं है, पर समीकरणों का आंशिक हल
दिया गया है । आजकल की पारिभाषिक शब्दावलि (terminology) में उन्होंने क्ष³ + अ क्ष² + ब = ०
को य³ + य² = स के रूप में बदलकर हल किया, जिसमें उन्होंने य = क्ष/अ, तथा स = - ब/अ³
रखकर १/अ³ से पूर्व समीकरण को गुणित किया । यदि परिणामी स धनात्मक है तो य के और क्ष के
मान ( values ) न³ + न² की सारिणी से प्राप्त हो सकते हैं । उस समय के बाद इस क्रिया की
पद्धति इटली की सोलहवीं सदी की बीजगणित में मिलती है । कुछ समीकरणों के सिवाय, उन्होंने दस
अज्ञात वाले दस एकघातीय समीकरणों युक्त प्रश्नों के रूपों का हल भी किया है । उस काल की शांकव
गणित में आयत, समकोण त्रिभुज, समद्विबाहु त्रिभुज आदि का क्षेत्रफल निकाला जा चुका था, और परिधि
व्यास की निष्पत्ति ३ मानी जा चुकी थी । संभवतः यहाँ के निवासी सिंचाई और नहरों सम्बन्धी समस्याओं
में आयतन, लम्ब वृत्तीय बेलन और लम्ब समपाश्र्वों के ठीक तरह साधित किये गये उदाहरणों को उपयोग में

प्रस्तावना 3
लाते थे । यहाँ की रेखा गणित की तीन बातें उल्लेखनीय हैं । प्रथम तो यह कि अर्द्धवृत्त का कोण समकोण
होता है । दूसरी यह कि वे साध्य (कर्ण)² = (लम्ब)² + (आधार)², का उपयोग २०, १६, १२ और १७,
१५, ८ जैसी राशियों में कर चुके थे । तीसरी यह कि गणितीय विश्लेषणके उद्गमों के चिन्ह, जैसे, सम-
कोणिक त्रिभुजों के बराबर कोणों की संवादी भुजाएँ समानुपाती होती हैं । यह हुई बेबीलोन की प्रगति
जिसके पश्चात् वहाँ के प्रगति चिन्ह नहीं मिलते ।
अब स्थल मार्ग से अरब देश को पारकर नील नदी के किनारे बसे मिस्र देश में चलिये । यह
पिरेमिडों (स्तूपों) का विचित्र देश ईसा से प्रायः ४००० वर्ष पूर्व से लेकर २७८१ वर्ष पूर्व तक के पुरातत्व
की सामग्री का भंडार है । बेबीलोन की तरह इस देश की सभ्यता का आधार कृषि था । इसका पता
संभवतः ४२४१ वर्ष पूर्व के वहाँ के एक तिथिपत्र से चलता है जिसमें ३० दिन वाले १२ माह हैं, जिनमें ५
दिन जोड़ने से ३६५ दिन पूरे किये जाते हैं । इस ज्योतिर्विधान हेतु वहाँ अंकगणित भी विकसित की गई ।
बेबीलोन की तरह इस देश के अभिलेख सुरक्षित रहे आये; क्योंकि एक तो यहाँ की जलवायु मरुस्थली
थी, और दूसरे यहाँ मृतकों (बैल, मगर, बिल्ली और मानवों) के लिये बहुत मान्यता दी जाती थी । इसी
कारण मिस्रियों ने आवश्यकतानुसार यह खोज निकाला कि निरर्थक "कलम के गूदे" (papyri) से
पवित्र मगरों की लाशों को ढूँस-ढूँस कर भरने से उन्हें जीवित अवस्था का रूप देकर सुरक्षित रखा जा
सकता है । इन्हीं पेपीरियों (papyri) द्वारा ज्ञात होता है कि मिस्री ईसा से प्रायः ३५०० वर्ष पूर्व की
अंकगणित में करोड़ों की संख्या का उल्लेख करते थे । इस तिथि की उनकी चित्रलिपि (hierogly-
phics) में वर्णन है कि १,२०,००० मानव, ४००,००० बैल और १,४२२,००० बकरे कैदी बनाये
गये । गणना के बाद उन्होंने दशमलवपद्धति का अनुसरण किया, पर वह स्थान-मान (place value)
रहित थी । इसके पश्चात्, ईसा से १६५० वर्ष पूर्व की अंकगणित में गुणन भाग है । भिन्नों में २/३ को
विशेष प्रतीक द्वारा प्ररूपित किया गया है, अन्य भिन्नों को १/न सदृश रूप वाले भिन्नों के योग में हासित
किया गया है । प्रायः इसी समय की रिंड पेपिरस (Rhind papyrus) में २/९७ = १/५६ + १/६७९ + १/७७६
अंकित है । आमिस (Ahmes) ने २/न के सब भिन्नों को (जहाँ न का मान ५ से लेकर १०१
तक है ) पूर्ववत् लिखा है । आगे (ईसा से सम्भवतः २००० वर्ष पूर्व के एक प्रश्न से) बीजगणित के
उद्गम का आभास मिलता है, जो आजकल के प्रतीकों में क² + ख² = १००; ख = ३/४ क को हल करने
के समान है । मिस्री लोगों ने इसे हल करने के लिये कूट स्थिति की रीति (rule of false position)
का उपयोग किया है, जो ईसा की प्रायः १५ वीं सदी तक उपयोग में आती रही है। उन्हें
समानुपात (proportion) ज्ञान भी था, जो गणितीय विश्लेषण का एक मुख्य आधार है । प्रायः इसी
समय उन्होंने परिधि और व्यास की सूक्ष्म निष्पत्ति को २५६/८१ और ३.१६ बतलाया है । यद्यपि इस देश में
पैथेगोरस के साध्य ( ५² = ४² + ३² ) का कोई लिखित प्रमाण नहीं मिलता; तथापि उनके अवस्तरी
रज्जुओं (rope stretchers) में ५, ४, ३ का अनुपात रहता था । व्यावहारिक मापों के विषय में
कहा जाता है कि ईसा से प्रायः ३००० वर्ष पूर्व भी मिस्रवासी पर्याप्त उन्नति कर चुके थे। इसके कई उदाहरण
हैं। एक तो यह कि नदी के चारों ओर की ७०० मील जगह में उनके जल प्रमापी (water gauges)
एक सतह में थे । दूसरा यह कि उन्हें त्रिभुज का क्षेत्रफल तथा बेलन आदि के शुद्ध आयतन निकालना

ज्ञात था । इनके सिवाय एक और बात उल्लेखनीय है कि विश्व प्रसिद्ध ग्रेट पिरेमिड के अतिरिक्त एक
और सबसे महान् पिरेमिड, मिस्र के किसी अज्ञात गणितज्ञ के मस्तिष्क में था, जिसकी खोज १९३० में
मास्को पेपिरस ( Moscow papyrus ) के अनुवाद के पश्चात् हुई है । इस महान् गणितज्ञ ने
उसमें एक सही सूत्र दिया है, जिसके द्वारा वर्ग आधार वाले स्तूप के लम्बछिन्नक का आयतन निकाला
जा सकता है । सूत्र यह है : आयतन = १/३ उ ( अ² + अ ब + ब² ), जहाँ अ, ब, क्रमशः ऊर्ध्व तल
तथा अधोतल के आधारों की भुजाओं के माप हैं, और उ उसकी ऊर्ध्वाधर ऊँचाई ( vertical
height ) है । इसका समय लगभग ईसा से १८५० वर्ष पूर्व है । इस सूत्र में ग्रीक लोगों की निश्शेषण
विधि ( method of exhaustion ), और १७वीं सदी के केवेलियर ( Cavelieri ) की
“अविभाज्यों की रीति” (method of indivisibles) निहित है । अपने लिये वह सीमा (limit)
का सिद्धान्त है और बाद में अनुकल कलन ( integral calculus ) । इनका किंचित् और
सामान्य रूप ( generalised form ) आर्किमिडीज़ ने ईसा से प्रायः ५०० वर्ष पूर्व बतलाया
है । गणित को मिस्रवासी भी इस हद तक बढ़ाकर आगे न बढ़ सके ।
मिस्र के इस गणितीय इतिहास के पश्चात् हम भारत न पहुँचकर पहिले भूमध्यसागर के रास्ते ग्रीस
देश ( यूनान ) पहुँचते हैं, जो ईसा से प्रायः ६०० वर्ष पूर्व के पश्चात् रेखा और शांकव गणित में
अद्वितीय प्रगति करने के लिये प्रसिद्ध है । ग्रीस की गणित के इतिहास में ईसा से प्रायः ६५० वर्ष पूर्व
हुए थेल्स तथा ( ईसा से प्रायः ६०० वर्ष पूर्व ? ५२७ वर्ष पूर्व ? उत्पन्न हुए ) पैथेगोरस ने गणित को तर्क
पर आधारित किया, और प्राकृतिक घटनाओं को अंक गणित द्वारा प्रदर्शित किया । पैथेगोरस के समय
से प्रारम्भ हुई ग्रीस देश की प्रगति को देखकर यह अनुमान लगाना स्वाभाविक है कि यह प्रगति पूर्वीय
देशों के ज्ञान का आधार लेकर सम्भव हो सकी होगी । यह मान्यता है कि उसका सबसे महान्
आविष्कार “समान आतति बल (tension) वाले धागों की लम्बाइयों के अंकगणितीय कुछ अनुपातों
(ratios) पर संगीत-अंतरालों की निर्भरता” के विषय में था । उसके रैखिकीय साध्य से सभी परिचित हैं ।
इसी साध्य के द्वारा पैथेगोरस ने √२ की अपरिमेयता को बतलाया, और “भुजा” तथा “विकर्ण” संख्याओं
की श्रेढि संरचना के विषय में नियम निकाला । इनके सिवाय पैथेगोरीय वर्गों ने वास्तविक मूल वाले वर्ग
समीकरणों का रैखिकीय हल निकाला, अनुपात का सिद्धान्त निकाला, पांच नियमित सांद्रों की रचना
बतलाई, और दिये गये क्षेत्रफल की आकृति के तुल्य अन्य आकृतियाँ बनाकर बतलाईं । उनके द्वारा
प्रणीत रूपक ( figurate ) संख्यायें आज की अंकगणित के लिए बड़ी सुझावपूर्ण सिद्ध हुईं । जैसे,
त्रिभुजीय संख्याओं का प्रयोग एनपिडोक्लियन रसायनशास्त्र में करने पर यह सार निकलता है कि समस्त
द्रव्य वास्तव में त्रिभुज हैं । पैथेगोरस के समय से अंक-ज्योतिष का आरम्भ होना भी माना जाता है ।
कालान्तर में इटली के एलिया नगर निवासी ज़ीनो (Zeno-४९५ ?-४३५ ? ईस्वी पूर्व) के चार असद्भासों
( paradoxes ) में गणितीय अनन्त की अवधारणा के परिष्कृत करने का प्रयास परिलक्षित होता है ।
इसके सिवाय यूडो ( Eudous- ईसा से ४०८ पूर्व से ३५५ तक ) ने अनुपात का सिद्धान्त निकालकर
मिस्र के आयतन निकालने के सूत्रों को सिद्ध किया, तथा गणितीय विश्लेषण की वास्तविक संख्या पद्धति
system of real numbers ) की स्थापना की । सम्भवतः इसी सिद्धान्त के आधार पर निश्शेषण
विधि और डेडीकॅन्ड के बाद अनुकलकलन का उपयोग हुआ । कहा जाता है कि यूडोने भी पूर्व के
देशों का भ्रमण किया था । यूक्लिड ( ईसा से ३६५ वर्ष पूर्व से २७५ पूर्व ) ने अंकगणितीय विभाजन
पर आधारभूत साध्यों को सिद्ध किया । उसने रेखागणित को तर्क पद्धति पर बुना और अर्थमिति की

प्रस्तावना ५

(arithmetica) को व्यवस्थित किया, तथा रैखिकीय काशिकी पर विवेचन दिया । इस तरह पैथेगोरस
और यूक्लिड ने शांकव गणित को छोड़कर शेष प्राथमिक रेखागणित को ठोसरूप से सम्पूर्ण बना दिया ।
इनके पश्चात् आर्किमिडीज़ का नाम आता है, जो विश्व का दूसरा गणितीय भौतिकशास्त्री कहलाता है ।
यह गणितज्ञ ईसा से २८७ वर्ष पूर्व से २१२ वर्ष पूर्व तक रहा । इसने स्थैतिकी और उद्स्थैतिकी
(hydrostatics) के गणितीयविज्ञानों की जड़ जमाई, अनुकल कलन का अनुमान लगाया और
अपने नाम की समानकोणिक कुन्तल (equiangular spiral “p = aθ”) की स्पर्श रेखा-
खींचकर चलन कलन (differential calculus) का स्थूल रूप में प्रयोग किया । इनके सिवाय,
उसने विश्लेषण विधि का प्रयोग गोल, रम्भ, शंकु, गोलीय खंडों, परिभ्रमण से प्राप्त गोलज, अतिपरवलज
(hyperboloid) आदि की शांकव गणना में किया । इनमें से कुछ को यदि आजकल के प्रतीकों
में लिखा जाय तो अग्रलिखित को अनुकलित करना होगा: ∫₀^π Sinx dx; ∫₀^c (ax + x²) dx.
इनके सिवाय इसने परवलयज (paraboloid) के खंड का क्षेत्रफल निकालते
समय फल की रैखिकीय उपपत्ति दी, और उसी की अनन्त श्रेढि का योग,
अभिलेख बद्ध इतिहास के अनुसार, सर्वप्रथम निकाला । वह श्रेढि है ∑₀^∞ (४)⁻ⁿ
जिसमें इस तथ्य का उपयोग किया गया कि सीमा_(न→∞) (४)⁻ⁿ = ० । इस प्रकार आज की गणित
आर्किमीडीज़ के साथ उत्पन्न होकर उसी के साथ मृत होकर दो सहस्र वर्षों के पश्चात् देकार्त (Descartes)
और न्युटन द्वारा पुनर्जीवित की गईं । इसके पश्चात् , (ईसा से १५० वर्ष पूर्व) हिपरकस
(Hipparchus) ने ग्रहों की गतियों का रेखागणित द्वारा निरूपण किया । इसमें १५ वीं सदी में
कापरनिकस और १६ वीं सदी में केपलर ने परिवर्धन किया । कहा जाता है कि हेरन (सन् २०० ईस्वी)
ने त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालने के लिये निम्नलिखित नियम दिया :
△ = [ सा ( सा - का ) ( सा - खा ) ( सा - गा ) ]^(१/२)
पेप्पस (Pappus) ने २५० ईस्वी में तीन महत्वपूर्ण साध्य खोजे । उसने दीर्घवृत्तज
(ellipsoid) आदि की नाभि (focus), नियता (directrix) के गुणों को सिद्ध किया और
इस प्रकार विश्लेषकीय रेखागणित में शंकुच्छेदों के लिये साधारण द्विघात समीकार का आभास प्रकट
किया । उसने प्रक्षेपी ज्यामिति का एक साध्य खोजा, और अनुकल कलन से (परिभ्रमण से प्राप्त न
होनेवाले) सांद्रों की परिमा (आयतन) को निकालने के लिये साध्य खोजे । प्रायः इसी काल में डायोफेंटस
(Diophantus) ने एकघातीय, दो और तीन अज्ञात वाले, समीकरणों को साधित किया ।
ग्रीक गणित का तीव्र विकास प्रायः उस समय से देखा जाता है, जब कि ईसा से ४८० वर्ष पूर्व
हुई मैरथान (Marathon) आदि की लड़ाइयों में इन लोगों ने फारस देश पर अधिकार जमाकर
वहाँ की गणित सीखी । यह कहना कठिन है कि फारस को यह गणित ज्ञान भारत से प्राप्त हुआ या
बेबीलोन, सुमेर और फैनीकिया (Phoenicia) से ।
विश्व सभ्यता के प्राचीन केन्द्र भारत में (ईसा से प्रायः ३००० वर्ष पूर्व के) उच्च सभ्यता के चिह्न
सिंधु नदी की घाटी में मिलते हैं ! उस समय के भारतीय ईंट के मकान बनाते थे, शहर की बन्दिश करते
थे और स्वर्ण, रजत् , ताम्र, कांस आदि धातुओं का उपयोग कर उच्च श्रेणी का जीवन व्यतीत करते थे ।

6 गणितसारसंग्रह
मोहेनजो-दड़ो के लेखों तथा मुहरों को पूर्ण रूप से पढ़ा नहीं जा सका है। उनमें कई ऐसे चिह्न हैं, जो
सम्भवतः बड़ी संख्याओं को दर्शाने के लिये अंकित किये गये होंगे, पर उनके वास्तविक मान का पता
पाने का कोई उपाय नहीं दिखाई देता। वेदों में भी सभ्यता की उच्चावस्था स्पष्ट रूप से दिखाई देती है।
'ब्राह्मण साहित्य' (प्रायः २०००– ००० ई० पू०) में धार्मिक और दार्शनिक तत्व तो हैं ही, इनके
अतिरिक्त उसमें अंकगणित, रेखागणित, बीजगणित और ज्योतिर्विज्ञान की झलक भी दिखाई देती है।
व्याकरण तथा स्वर विद्या सम्बन्धी खोजों से प्रतीत होता है कि ब्राह्मी लिपि, ईसा से पूर्व परिपूर्ण
की गई होगी, और सम्भवतः उसके पहिले ब्राह्मी संख्याओं का आविष्कार हुआ होगा। ब्राह्मण साहित्य
काल में बीजगणित मुख्यतः रैखिकीय थी। किसी दिये गये वर्ग को दी गई भुजा वाले आयत में बदलने
की रैखिकीय विधि जो शुल्ब (प्रायः ८००–५०० ई० पू०) में वर्णित की गई है, एक अज्ञात वाले
एक घातीय समीकार को हल करने के समान है। यथा, अय = स², जहाँ य अज्ञात पद है। जब
दिये गये क्षेत्र को किसी दूसरे अधिक या कम क्षेत्रफल वाले क्षेत्र में बदलना होता था, तब उस क्रिया में
वर्ग समीकरण का उपयोग होता था। वैदिक आहुतियों की सबसे महत्वपूर्ण महावेदी, समद्विबाहु समलम्ब
चतुर्भुज (trapezium) के आकार की थी, जिसका आधार ३०, सामने की भुजा २४ और ऊँचाई
(लम्ब) ३६ एकक (units) थी। वेदी के क्षेत्र को म एकक से बढ़ाने के लिये अज्ञात भुजा क्ष मानने
पर य का निम्नलिखित मान प्राप्त होता है :
३६ य × ((२४ य + ३० य) / २) = ३६ × ((२४ + ३०) / २) + म,
या ९७२ य² = ९७२ + म,
या य = ± √(१ + म / ९७२) ।
यदि म को ९७२ (न - १) रखा जाय ताकि बढ़ी हुई वेदी का क्षेत्रफल, पूर्व क्षेत्र से 'न' गुना
हो जाय, तो क्ष = √ न प्राप्त होता है। इस प्रकार के कुछ विशेष प्रकरण, शुल्ब में वर्णित हैं। न = १४
या १४ ३/७ वाले प्रकरण ब्राह्मण साहित्य में पाये जाते हैं। इसी में शिने सित (बाज पक्षी के आकार की
वेदी) का क्षेत्रफल बढ़ाने के लिये [क² = १३ ८/१२ = (सन्निकटतः) १४] वर्ग समीकरण का उपयोग किया
गया है। इनके सिवाय, निम्नलिखित प्रकार के अनिर्धारित (undetermined) समीकरण भी वेदियों
की रचना में उपयोग में लाये गये हैं :
क² + ख² = ग² (क, ख, ग तीनों अज्ञात हैं);
क² + अ² = ग² (क और ग अज्ञात हैं);
एवं, अक + बख + सग + दघ = प }
क + ख + ग + घ = फ } , जहाँ क, ख, ग और घ अज्ञात हैं।
इसके बाद, एक ज्योतिष का छोटा सा ग्रंथ वेदांग ज्योतिष ✽ महात्मा लगध द्वारा किसी स्वतंत्र
ज्योतिष ग्रंथ के आधार पर यज्ञ की सुविधा के लिये संग्रहीत किया गया प्रतीत होता है। यह ग्रंथ
सम्भवतः काश्मीर के श्रीनगर से भी उत्तर में, काबुल के अक्षांश के आसपास, कहीं रचित हुई ज्ञात होता है
✽ देखिये डा० गोरख प्रसाद द्वारा सम्पादित 'सरल विज्ञान सागर' पृष्ठ ४१०, (इलाहाबाद
विज्ञान परिषद्), भाग १, अंक १-४, (१९४६)

प्रस्तावना 7
वेदांग ज्योतिष का एक युग ५ सौर वर्ष का होता था, जिसमें ६० सौर मास, २ अधिमास, ६२ चांद्र मास
और १८३० अहोरात्र या सावन दिन समझे जाते थे । एक युग में १२४ पक्ष और एक पक्ष में १५ तिथियाँ
मानी गई थीं । इस ग्रंथ के अतिरिक्त त्रिलोक प्रज्ञप्ति, सूर्य प्रज्ञप्ति, चंद्रप्रज्ञप्ति और ज्योतिष करण्डक ग्रंथों
में ग्रीकपूर्व जैन-ज्योतिष गणितीय विचार-धारा दृष्टिगत होती है ।
प्रोफेसर वेबर ( Weber ) के कथनानुसार सूर्य प्रज्ञप्ति ग्रंथ, वेदांग ज्योतिष के समान केवल
धार्मिक कृत्यों के सम्पादन के लिये ही रचित नहीं हुआ, वरन् इसके द्वारा ज्योतिष की अनेक समस्याएँ
सुलझाकर प्रखर प्रतिभा का परिचय दिया गया ।
ईसा से ४०० वर्ष पूर्व के पश्चात् हिन्दू गणित पुनरुद्धार हुआ । उस समय सूर्य सिद्धान्त और
पैतामह सिद्धान्त लिखे गये । गणित दो भागों में विभक्त हुई, एक तो अंकगणित तथा बीजगणित और
दूसरी ज्योतिष तथा क्षेत्रगणित । वैसे तो, बहुत पहिले से भारतीय गणना का आधार १० था । जब ग्रीक
१०⁴ तक और रोमन १०³ तक के ऊपर की गणना जानते न थे, तब भारत में अनेक संकेतना स्थानों
का ज्ञान था । ईसा से ५०० वर्ष पूर्व से ही शतकमान पर आधारित संख्याओं के नामों की श्रेणी को जारी
रखने के प्रयत्न हो चुके थे । ईसा से १०० वर्ष पूर्व के ग्रंथ अनुयोग सूत्र में (२)⁹⁶ तक की संख्या का
उपयोग हो चुका था । इसमें स्पष्ट रूप से २ को आधार चुना गया था । जब स्थान-मान का विकास हुआ
तब इकाई से लेकर दशमलव मान पर संख्या को लिखने के लिये संकेतना स्थान दिये गये ।
शून्य प्रतीक ❀ का उपयोग पिंगल ने ( ईसा से २०० वर्ष पूर्व ? ) अपने चौंदा सूत्र के छन्दों में
किया है । ईसा के कुछ सदियों पश्चात् की ( बक्षाली गाँव की खुदाई से प्राप्त ) भोज पत्रों पर लिखित
एक पोथी में भी अंक शैली का प्रयोग देखा गया है । इसमें गणना में शून्य का उपयोग हुआ है ।
शून्य प्रतीक सहित स्थान-मान संकेतना पद्धति, गणित के सभी आविष्कारकों द्वारा बुद्धि की प्रगति के लिये
दिये गये अंशदान में उच्चतम कोटि की है । यह अभी तक अज्ञात है कि दशमलव स्थान-मान पद्धति का
जन्मदाता कौन विद्वान्-विशेष अथवा ऋषि-मण्डल था । साहित्यक तथा पुरालेख-सम्बन्धी प्रमाणों से यह
निश्चित किया गया है कि यह पद्धति २०० ई० पू० के लगभग भारतवर्ष में ज्ञात थी । इस नवीन पद्धति
के प्रयोग का प्राचीनतम लिखित प्रलेख ५९४ ई० का गुर्जर का दान पत्र है । यहाँ यह उल्लेख करना
आवश्यक प्रतीत होता है कि सेन्ट्रल अमेरिका के माया लोगों की तिथिपत्री में भी शून्य आया है ।
ये २० को आधार लेकर कोई स्थान-मान पद्धति का उपयोग करते थे । यह माया गणना ईसा से २००
से लेकर ६०० वर्ष बाद की मानी गई है । †
ईसा की पाँचवी सदी में जगत् प्रसिद्ध गणितज्ञ आर्यभट पटना में हुए । इनके पहिले पौलिश,
रोमक, वाशिष्ठ, सौर और पैतामह नाम से ज्योतिष के पाँच सम्प्रदाय प्रचलित थे । रोमक सम्प्रदाय यूनानी
❀ भारतीय शून्य के आविष्कार के विस्तार के विषय में Encyclopaedia Britannica,
vol. 23, p. 947, ( 1929 ) पर उल्लिखित लेख देखिये ।
† स्थान-मान संकेतना के संबंध में न्युगोबाएर (Neugebauer) का अभिमत उल्लेखनीय है,
"It seem to me rather plausible to explain the decimal place value notation as a
modification of the sexagesimal place value notation with which the Hindus became
familiar through Hellenistic astronomy."—The exact Sciences in Antiquity, Provi-
dence ( 1957 ), p. 189.

8 गणितसारसंग्रह
गणना शैली का द्योतक है । इनके ग्रंथ आर्यभटीय से ज्ञात होता है कि इन्होंने सब ग्रंथों का सार
ग्रहणकर अपने समय के ज्योतिष ज्ञान को बढ़ाने में अभूतपूर्व कार्य किया । इन्होंने सूर्य तारों को स्थिर
बतलाया, पृथ्वी की परिधि निश्चित की और सूर्य, चंद्र ग्रहण के कारणों का वैज्ञानिक ढंग से स्पष्टीकरण
किया । इस ग्रंथ के गणित पाद अध्याय में अंकगणित, बीजगणित और रेखागणित के बहुत से कठिन
प्रश्नों को ३० श्लोकों में भर दिया गया है । उसमें उन्होंने क्षेत्रफल, घनफल, त्रिकोणमिति, छाया
सम्बन्धी प्रश्न, वृत्त की जीवा और शरों का सम्बन्ध, दो राशियों का गुणनफल और अन्तर जान कर
राशियों को अलग करने की रीति, वर्ग समीकरण का एक उदाहरण, त्रैराशिक, भिन्नों के गुणन भाग की
रीति, कुछ कठिन समीकरणों को हल करने के नियम, दो ग्रहों का युतिकाल जानने का नियम, और
कुट्टक नियमादि का कथन किया है । ज्या का वाचक शब्द साइन, ज्या की संस्कृत पर्याय 'शिंजनी' के
रूपांतर का अपभ्रंश है ।
सातवीं सदी* में गणित का प्रशंसनीय विकास ब्रह्मगुप्त द्वारा हुआ । २१ अध्याय के ग्रंथ ब्राह्म-
स्फुट के गणिताध्याय में इन्होंने विशेषतः व्यस्त त्रैराशिक, भाण्ड प्रतिभाण्ड, मिश्रक व्यवहार, ब्याज,
श्रेणियाँ, छाया माप आदि में अंकगणित का प्रयोग किया, और कुट्टक गणित में ऋणात्मक संख्याओं के लिये
नियम निकाले, अनिर्धृत (indeterminate) समीकरणों पर कार्य किया, और सूर्य घड़ी में त्रिकोणमिति
का प्रयोग किया । अ क्ष² + १ = य², (जिसमें क्ष और य अज्ञात है) जैसे अनिर्धृत समीकरणों का
विवेचन भी ग्रंथकार ने किया । इस समीकरण का नाम भूल से पेलियन (Peleian) समीकरण पड़ गया
है । यह द्विघातीय वर्ग रूपों और वर्ग क्षेत्रों के अंकगणितीय सिद्धान्तों का मूलभूत आधार है । इनके
सिवाय क्षेत्र व्यवहार, वृत्तक्षेत्र गणित, खात व्यवहार, चिति व्यवहार, क्रकचिका व्यवहार, राशि, छाया
व्यवहार आदि का विवेचन भी किया गया है ।

• इस सदी में मुसलमानों की संस्कृति के सहसा उत्थान तथा १२ वीं सदी में उसके सहसा
  पतन के सम्बन्ध में इतिहास बड़ा रोचक है । सन् ६२२ में पैगम्बर मुहम्मद साहिब के अनुयायी अपनी
  यात्राओं पर हरे झंडे के नीचे संगठित होकर चल पड़े । सन् ६३५ में दमसक (Damascus) पर विजय
  प्राप्त कर सन् ६३७ में जेरुसलम (यरूशलम) जीता गया । चार वर्ष पश्चात् सिकन्दरिया का पुस्तकालय
  नष्ट किया गया । मिस्र को अधिकार में लेकर ६४२ ईस्वी में फारस पर आधिपत्य जमाया गया । १०० वर्ष
  पश्चात् विजेतागण ७११ ईस्वी में स्पेन में पहुँचे, जहाँ उन्होंने सभ्यता को ८ शताब्दियों तक बढ़ाया ।
  इसी काल में वे भारत की अंकगणित तथा ग्रीस की रेखागणित को यूरोप ले आये । पूर्व में अब्बासीद
  (Abbasid) खलीफाओं के आधिपत्य में बगदाद पूर्व की सभ्यता का केन्द्र ७५० से १२५८ ईस्वी
  तक रहा, और स्पेन में कारडोवा (Cordova) पश्चिम की बौद्धिक रानी (the intelle-
  ctual queen of the west) बना । इस अन्तराल में विज्ञान के आदान-प्रदान के सम्बन्ध में
  Encyclopaedia Britannica में निम्नलिखित उल्लेख है—“The muslim civilization, parti-
  cularly as represented at Baghdad, c 800. c 1000, developed a type of mathe-
  matics which combined the characteristic features of the Greek and Hindu treat-
  ment of the science. Eastern faith in astrology and skill in number met with Western
  faith in philosophy and skill in geometry, and the Baghdad scholars, absorbing
  each, produced text books in general algebra, elementary number, astronomy
  and trigonometry which, through the efforts of Latin translators, gave new life to
  mathematics in Europe"-vol. 15, p 84, (1929)

प्रस्तावना 9
इसके पहिले कि हम दक्षिण में गणित की प्रगति महावीराचार्य के ग्रंथ से प्रदर्शित करें, एक और
नवीन खोज हमें आकर्षित कर लेती है । महावीराचार्य के सम्भवतः पूर्वकालीन, सुप्रसिद्ध धवलाकार
वीरसेनाचार्य ने ईसा की सम्भवतः द्वितीय सदी के उद्भट आचार्य श्री पुष्पदंत और भूतबलि द्वारा रचित
षट्खंडागम ग्रंथों की धवला नामक टीका पूर्ण करने में अपना सारा जीवन अर्पित किया । यह ग्रंथमाला गत
बीस वर्षों में ही डाक्टर हीरा लाल जैन प्रभृति विद्वानों द्वारा प्रकाश में लाई गई है । टीकाकार ने स्थान
स्थान पर किन्हीं गणित ग्रंथों से, सूत्रों को उद्धृत किया है । डा० अवधेशनारायण सिंह द्वारा इस ग्रंथ
के शांकव गणित के अतिरिक्त गणित की नवीन निम्नलिखित खोजें प्रकाश में लाई गई हैं,† जिनका
उपयोग जैन दर्शन के अध्ययन हेतु संभवतः ईसा की प्रारम्भिक शताब्दियों में प्रचलित हो गया होगा ।
प्रथम तो बड़ी बड़ी संख्याओं का उपयोग जिनको व्यक्त करने के लिये प्रतीक संकेतना अन्य ग्रन्थों में
उपलब्ध है ।‡ जैसे, २ की तीसरी वर्गित संवर्गित राशि वह है जो २५६ में उसीका २५६ बार गुणन करने
पर प्राप्त होती है । दूसरे सलागागणन अथवा लघुगणक ( logarithm ) का बृहत् उपयोग, जिसके
आविष्कारक १७ वीं सदी के 'जान नेपियर' एवं 'जुस्त बर्गी' माने जाते हैं । तीसरे, अनन्त राशियों का
गणित, जिसके विकास के लिये १९ वीं सदी में हुए जार्ज केंटर के प्रयत्न सुप्रसिद्ध हैं। जहाँ तक
रेखागणित का सम्बन्ध है, यतिवृषभ ( ४०० ?, ६०० ? ईस्वी पश्चात् ) की तिलोय पण्णत्ती में एवं
वीरसेन की धवला टीका ( डा० हीरालाल जैन द्वारा सम्पादित, पुस्तक ४ ) में सम्भवतः ईसा पूर्व के ग्रंथ
अग्गयणिय, दिट्ठिवाद, परिकम्म, लोयविणिच्छय, लोय विभाग, लोगाइणि आदि में से उद्धृत गाथायें एवं
उल्लेख महत्वपूर्ण हैं । इन दो ग्रंथों के ऐतिहासिक महत्वपूर्ण प्रकरणों में से कुछ ये हैं : दृष्टिवाद से जम्बूद्वीप
की परिधि का माप, उपमा प्रमाण, विविध क्षेत्रों का घनफल निकालने की विधियाँ; बाण, जीवा, धनुष
पृष्ठ आदि में सम्बन्ध, धनुषक्षेत्र का क्षेत्रफल, सजातीय तथा समक्षेत्र घनफल वाली आकृतियों का रूपान्तर
एवं उनकी भुजाओं के बीच सम्बन्ध आदि ।
इस प्रकार धवलादि सिद्धान्त ग्रंथों में अलौकिक गणित का आधार लिया गया है, जिस पर अभी
कोई ग्रंथ प्रकाश में नहीं आया है । लौकिक गणित के सम्बन्ध में सर्वप्रथम महावीराचार्य का यह
गणित सारसंग्रह नामक ग्रंथ सम् ९११२ में सुप्रसिद्ध हुआ। महावीराचार्य का यह ९ अध्याय वाला
ग्रंथ ऐतिहासिक दृष्टि से महत्वपूर्ण सिद्ध हुआ । इसकी खोज ने यह सिद्ध कर दिया कि भारत के सुदूर
दक्षिण में भी उत्तर के विद्या केन्द्रों की तरह, विद्या के केन्द्र थे । इस सुदूर दक्षिण में, गणित के विज्ञान
को बढ़ाने में उस समय प्रयत्न किया गया, जब कि उत्तरीय भारत में ब्रह्मगुप्त और भास्कर के समय के
† इनके विस्तृत विवरण के लिये निम्नलिखित लेख देखिये—
Singh, A. N., History of Mathematics in India from Jain Sources; The Jain
Antiquary Vol. XV, No. II. ( 1949 ), pp. 46-53; Vol. XVI, No. II, ( 1950 )
pp. 54-69.
‡ देखिये—
(१) लक्ष्मीचंद्र जैन, तिलोयपण्णत्ती का गणित, प्रस्तावना लेख ( जम्बूदीवपण्णत्तीसंगहो ),
शोलापुर ( १९५८ ) ।
(२) टोडरमल, अर्थ संदृष्टि ( गोम्मटसार ), गांधी हरि भाई देवकरण जैनग्रंथमाला, कलकत्ता
( प्रकाशन वर्ष उल्लिखित नहीं )

10 गणितसारसंग्रह
बीच श्रीधराचार्य को छोड़कर कोई प्रकांड गणितज्ञ न हुआ । महावीराचार्य ने अपने समय के नृपतुंग
अमोघवर्ष के आश्रय में रहकर, पूर्ववर्ती गणितज्ञों के कार्य में कुछ सुधार किया, नवीन प्रश्न दिये, दीर्घवृत्त
(ellipse) का क्षेत्रफल निकाला तथा मूलबद्ध और द्विघातीय समीकरण आदि में सुंदर ढंग से पहुँच की ।
इनके ग्रन्थ में ब्रह्मदत्त के कुट्टक से एक और अध्याय अधिक है, पर इसके अध्यायों के विषय एकसे नहीं
हैं । सबसे पहिले, इस ग्रंथ की ४९ वीं गाथा पढ़ने से मालूम होता है कि महावीराचार्य ने शून्य के
विषय में सबसे पहिले भाग करने की क्रिया दर्शाने का साहसपूर्ण प्रयत्न किया । किसी संख्या में शून्य द्वारा
विभाजन के लिए, उन्होंने लिखा कि संख्या शून्य द्वारा विभाजित होने पर बदलती नहीं है । जिस दृष्टिकोण
को लेकर यह लिखा गया वह इसलिए ठीक है कि जब कुछ वस्तुओं को लेकर उन्हें कुछ व्यक्तियों में
बाँटा जाय तो वे वस्तुएँ विभाजित हो जावेंगी । जब उन्हें शून्य व्यक्तियों में वितरित करना हो,
अर्थात् बाँटना हो तो वस्तुएँ ज्यों की त्यों बच रहेंगी । पर, गणितीय विश्लेषण के दृष्टिकोण से
सीमा क
न → ० — = ∞
न
होती है जहां क एक परिमित ( finite ) संख्या है ।
इसके पश्चात् , गाथा ६३ से लेकर ६८ तक संकेतनात्मक स्थानों के नाम दिये गये हैं । उनके
पहिले १९ वें स्थान तक संख्या की गणना के नाम दिये जा चुके थे । उन्होंने २४ स्थान तक नाम दिये
जिसमें २४ वें स्थान का नाम महाक्षोभ लिखा है । ये २४ स्थान, सम्भवतः २४ तीर्थंकरों की संख्या
के आधार पर दिये गये होंगे । इसी तरह रत्न शब्द को “तीन” दर्शाने के लिए उपयोग किया गया,
जबकि गणितज्ञों ने उसका उपयोग “पांच” दर्शाने के लिये किया । जैन दर्शन में सम्यक्दर्शन ज्ञान चारित्र
को रत्नत्रय कहा गया है । इसी प्रकार तत्व, पन्नग, भय, कर्म आदि कई शब्दों का उपयोग जैन दर्शन के
आधार पर संख्यायें दर्शाने के लिये किया गया है । बड़ी संख्या को दर्शाने के लिए ग्रन्थकार ने स्थानार्हो
का उपयोग किया है । जैसे, ३०२१ लिखने के लिए चंद्र, अक्षि, आकाश, अग्नि लिखा है ।
ग्रंथकार ने भाग देने की एक वर्त्तमान विधि का कथन किया है । इस सुविधाजनक विधि से
उभयनिष्ठ गुणनखंडों को हटाकर विभाजन किया जाता है । किसी भी भिन्न को इकाई भिन्नों की किसी
संख्या के योग द्वारा व्यक्त करने के लिए कुछ नियम भी दिये गये हैं । ये नियम सर्वथा मौलिक हैं ।
मिश्रक व्यवहार में भी दो नये प्रकार के प्रश्नों को हल करने के लिए नियम दिये गये हैं । ब्याज निकालने
के प्रश्न में गाथा ( ३८ ) में दिये गये सूत्र से पता चलता है कि महावीराचार्य को निम्नलिखित सर्वसमिका
( identity ) ज्ञात थी :
अ स इ अ + स + इ + ...
— = — = — = ......... = —————————————— साथही, ( अ + ब )³ = अ³ + ३अ²ब
ब द फ ब + द + फ + ...

• ३ब² अ + ब³, द्वारा प्रदर्शित सूत्र उनके पूर्ववर्त्ती गणितज्ञों द्वारा दिया गया पर महावीर ने इस सूत्र
  का साधारण रूप बनाकर प्रस्तुत किया, जिसके लिए नियम भी बतलाये गये हैं—
  ( अ + ब + स + द + ...... )³ = अ³ + ३अ² ( ब + स + द + ......
• ३अ ( ब + स + द + ......)+( ब + स + द + ...... )³, इत्यादि ।
  ग्रंथकार ने कूट स्थिति द्वारा भी अध्याय ३ तथा ४ के कई प्रश्न हल किये हैं । कूट स्थिति के
  नियम का उपयोग बीजगणित के विकास की पूर्वावस्था को दर्शाता है, जबकि अज्ञात के लिये कोई प्रतीक
  न होता था । भारत में यह नियम केवल अंकगणित में उपयोग में लाया गया, क्योंकि बीजगणित पहिले से

प्रस्तावना 11
ही पर्याप्त प्रगति कर चुकी थी । बख्शाली हस्तलिपि में इसे यहच्छ, बाँछा या कामिका के नाम से
अभिधानित किया गया है ।
महावीर के बीजगणित तथा काल्पनिक राशि * के विषयमें उनकी प्रतिभा का परिचय देने के
सम्बन्ध में ई. टी. बेल की अभ्युक्ति है—
“The rule of signs became common in India after their restate-
ment by Mahavira in the ninth century.... The early history of comp-
plex numbers is much like that of negatives, a record of blind mani-
pulations, unrelieved by any serious attempt at interpretation or
understanding. The first clear recognition of imaginaries was Maha-
vira’s extremely intelligent remark in the ninth century that, in the
nature of things, a negative number has no square root. He had
mathematical insight enough to leave the matter there, and not to
proceed to meaningless manipulations of unintelligible symbols.” †
इसके अतिरिक्त ग्रंथकार ने व्यापकीकृत (generallized) पद्धति वाले एकघातीय समीकरणों
को हल करने के नियम दिये हैं, और अनेक अज्ञात वाले युगपत् द्विघात समीकरणों को हल किया है ।
उन्हें ज्ञात था कि वर्ग समीकरण के दो मूल होते हैं ।‡
जहाँ डाओफेन्टस ने म, न भुजाएँ लेकर समकोण त्रिभुज बनाया, वहाँ महावीर ने म, न भुजाएँ
लेकर आयत की रचना की है । अध्याय ७ की ९५½, ९७½, ११२½ वीं गाथाओ में महावीर ने दिये गये
कर्ण (अ) को लेकर सभी सम्भव समकोणों को प्राप्त करने के लिये, अर्थात् क२ + ख२ = अ२ को लेकर
हल करने के लिये तीन नियम दिये हैं । प्रथम दो नियम एक दृष्टि से ठीक नहीं हैं, क्योंकि
√(अ२ – प४) या √(अ२ – प२) परिमेय ( rational ) तब तक नहीं हो सकते, जब तक कि प को
ठीक तरह न चुना जाय । तीसरा नियम बड़े महत्व का है । यह रीति, बाद में यूरोप में, पीज़े ( Pisa )
के लेनर्डो फीबोनाट्‌चि ( Leonardo Fibonacci ) ने १२०२ ईस्वी में फिर से खोजी गई । इस
विधि का उद्गम शुल्व सूत्रों में है ।
ब्रह्मगुप्त और महावीर दोनों ने चतुर्भुज क्षेत्र का क्षेत्रफल निकालने के लिये निम्नलिखित
सूत्र दिया है:— √(सा – फा) (सा – खा) (सा – गा) (सा – घा) जहां सा, अर्धपरिमाप है और
का, खा, गा, घा भुजाओं के माप हैं । पर यह सूत्र केवल चक्रीय चतुर्भुजों के लिए ठीक उतरता है ।
इसी प्रकार, विषम त्रिभुज के क्षेत्रफल के सम्बन्ध में नियम दिये गये हैं ।

• देखिये, मूल गाथा ५२, प्रथम अध्याय ।
  † Development of Mathematics,pp. 173,175 (1945)
  ‡ उपर्युक्त वर्णन से कहा जा सकता है कि भारतीयों ने बीजगणित के विज्ञान को दो मुख्य
  भागों में विभक्त किया । एक भाग तो बीज ( विश्लेषण analysis ) का विवेचन करता है,
  और दूसरा भाग ऐसे विषयों का जो बीज के लिये आवश्यक हैं । वे विषय, चिह्नों के नियम,
  शून्य और अनन्ती की अंकगणित, अज्ञातों के साथ क्रियाएँ, करणी, कुट्टक और पेलियन समीकरण
  ( Pellian equation ) हैं ।

12 गणितसारसंग्रह
महावीराचार्य और ब्रह्मगुप्त आदि के प्रश्नों तथा अन्य प्रकरणों की भिन्नता के सम्बन्ध में डेविड
यूजीन स्मिथ का निम्नलिखित वक्तव्य द्रष्टव्य है :
“......For example, all of these writers treat of the areas of
polygons, but Mahāvīrācārya is the only one to make any point of
those that are reentrant. All of them touch.upon area of a segment
of a circle, but all give different rules. The so called janya operation
is akin to work found in Brahmagupta and yet none of the problems
is the same. The shadow problems, primitive cases of trigonometry
and gnomonics, suggest a similarity among these three great writers,
and yet those of Mahāvīrācārya are much better than the one to be
found in either Brahmgupta or Bhasker, and no question is dupli-
cated.”*
महावीराचार्य द्वारा गणितग्रंथ के सिवाय ‘ज्योतिष पटल’ ग्रंथ भी रचित किए जाने की सम्भावना
“भारतीय ज्योतिष”† के लेखक पं० नेमिचंद्र शास्त्री ने प्रकट की है। अभी तक इसके लिये पुष्ट प्रमाण
प्राप्त नहीं हो सके हैं ।
गणित इतिहास का उपर्युक्त सामान्य अवलोकन हमने मुख्यतः ई. टी. बेल के “Develop-
ment of Mathematics”, और विभूतिभूषण दत्त तथा अवधेशनारायण सिंह के, “History
of Hindu Mathematics” नामक ग्रंथों का आधार लेकर दिया है। चीन के सम्बन्ध में
अभी हमें यथेष्ट सामग्री नहीं मिल सकी है ।
गणित इतिहास का विशिष्ट अवलोकन
अब हम भारतीय गणित इतिहास के अंधतम काल में प्रवेश करने का प्रयत्न करेंगे । इस काल
में, विशेषकर यूनान और भारत में सम्भवतः बेबिलन, मिस्र और भारत की प्राचीन मृतप्रायः गणित
में अकस्मात् गति आई । गणित द्वारा अलौकिकीय विषयों को बांधने के अभूतपूर्व प्रयास होने लगे ।
इस प्रयास के चिह्न यूनान में मुख्यतः पिथोगोरस के वर्गों में और विशेष रूप से भारत में तीर्थंकर
महावीर के तीर्थ में परिलक्षित किए गये हैं। ‡ आत्मा को सत्य की ओर आकर्षित करने के लिए
केवल इन्हीं वर्गों में दर्शन, धर्म की धाराओं में गणित का प्रयोग अद्वितीय है । यह निश्चित है
कि इस काल में विश्व की प्राचीन गणित में इस प्रयोजन से बीज बोया गया, कि बीजगणित के
द्वारा प्रस्फुटित पारमार्थिक बोध, उपादेय में एकाग्रता की सिद्धि दे सके । एक ओर यूनान में
पिथोगोरस द्वारा प्रतिपादित अहिंसा के साथ ही साथ संख्या सिद्धान्त से पुष्ट दर्शन जन्म मरण के चक्र

• Introduction to English Translation & Notes of गणितसार संग्रह by M. Ranga-
  charya, ( 1912 ).
  † भारतीय ज्ञानपीठ, काशी ।
  ‡ चीन में तत्सम्बन्धित प्रयासों की खोज के लिये अभी हमें उपयुक्त सामग्री प्राप्त नहीं हुई है ।
  (फिर भी, जो कुछ हमें मिल सका है उसे अंत में प्रस्तुत किया है ।

प्रस्तावना १३
से विमुक्त होने का साधन प्रतीत होता है, वहां भारत में "सुखी रहें सब जीव जगत के" जैसी भावनाओं
से प्रेरित तत्वों के सामान्यकरण की सीमा
"खम्मामि सव्व जीवाणं, सव्वे जीवा खमन्तु मे ।
मेत्ती मे सव्व भूदेसु, वैरं मज्झं ण केणवि ॥"
में परिलक्षित होकर राशि सिद्धान्त की प्रयुक्ति से अनन्तत्व को प्राप्त हुई दिखाई देती है । हमारा
यह संकेत है कि यूनान और भारत के गणित की तुलना का उक्त आधार सम्भवतः उपयोगी सिद्ध
होगा । इस तुलना का अभिप्राय किसी देश की महानता आदि दिखाने का नहीं है, वरन् यह बतलाने
का है कि सत्य और अहिंसा के तत्व विश्व के गुरुता केन्द्र को शांति के प्रांगण में खींचकर ले जाते हैं,
और इस खिंचाव में जो आदान प्रदान होता है वहां सापेक्षता कृत परिवाद विश्वबंधुत्व के अंचल में
विलीन हो जाते हैं । यही कारण है कि ऐसे समय में उक्त तत्वों से अभिप्रेरित खोजों के इतिहास को
महत्व नहीं दिया जाता, जिससे इतिहास काल का मौन और अंध रहना स्वाभाविक प्रतीत होता है ।
पुनर्जागरण के इतिहास के तत्वों की खोज करने के लिए हम पिथेगोरस का भ्रमण पथ
अपनावेंगे । इस भ्रमण पथ के विषय में अभ्युक्ति प्रसिद्ध है, कि -
"Like many others of the sages in that Kingdom ( Egypt ), he
was carried captive to Babylon, where he conversed with the Persian
and Chaldean Magi; and travelled as far as India, and visited the
Gymnosophists." *
तदनुसार हम सर्व प्रथम मिस्र देश के बर्द्धमान महावीर कालीन पुनर्जागरण के इतिहास पर प्रकाश
डालेंगे । थेलीज़ ( ६४० ई. पू.) और पिथेगोरस, दोनों का भ्रमण मिस्र में सेइटिक युग (Saitic Period)
६६३-५२५ ईस्वी पूर्व में हुआ होगा । इस समय मिस्र में कूफू ( Khufu ) कालीन सिद्धान्तों की जो पुन-
र्जागृति हुई वह ( क्षितिज में उदय होने वाले 'अज्ञान अंधकार विनाशक' सूर्य—Horus em akhet के
परम्परागत प्रतीक) गीज़ा (Giza) के स्फिंक्स (Sphinx) से सहसम्बन्धित थी । कूफू के सम्बन्ध में नवीन
मत यह है कि इस पराक्रमी नृप ने ई. पूर्व २६०० के लगभग बलि प्रथा का अंत कर जनता क हित में
उन्हें विभिन्न कार्यों में संलग्न किया था । मध्यपूर्व की प्रायः सभी प्राचीन सभ्यताओं वाले देशों में स्फिंक्स की
विभिन्न मुद्राएं रूढ़ि रूप से पूजा की पात्र रही हैं। जिसके मुख को छोड़ कर शेष अंग सिंह का है ऐसे स्फिंक्स
के मिस्री नाम क्रमशः समस्तावतारों में सूर्य ( Horem-akhet-Kheperi-Ra-Atum 1420-
1441 B. C. ), जीवित मूर्ति ( Seshepankh ), सिंह ( Sinuhe ), आदि रहे हैं। इस स्फिंक्स
मूर्ति में मानव वदन देकर, इतिहासकारों के मतानुसार, सिंह के आतङ्क में बुद्धि, शक्ति और दया का
सम्मिश्रण किया गया है । टालेमीय ( Ptolemaic ) कालीन लेख में इस मूर्ति को तीन मुकुट युक्त
बतलाकर मानों तीनों लोकों के नाथ की उपाधि से विभूषित किया है "And Horus of Edfu
transformed himself into lion which had the face of a man, and
which was crowned with the Triple Crown (')."† सम्भवतः २६ वे राजवंश काल
( ईस्वी पूर्व ५८८-५६९ ? ) की महत्वपूर्ण इन्वेन्टरी स्टीले ( Inventory Stela ) में अंकित लेख

• Encyclopedia Americana, vol. 23, p. 47, ( 1944 ).
  † Salem Hossan : Tne sphinx, p, 80, Cairo ( 1949 )

14 गणितसारसंग्रह
अहिंसा की प्रवर्त्तना के संवाद को प्रकाश में लाता हुआ स्फिंक्स की कहानी में वर्द्धमान महावीर की
जीव दया की सदृशता प्रकट करता प्रतीत होता है :
“......The plans of the Image of Hor-em-akhet were brought
in order to bring to revision the sayings of the disposition of the
Image of the very Redoubtadle.............He came to make a tour,
in order to see the thunderbolt, which stands in the Place of the
Sycamore, so named because of a great sycamore, whose branches
were struck when the Lord of Heaven descended upon the place of
Hor-em-akhet, and also this image retracing the erasure according
to the above mentioned disposition, which is written,......of all the
animals killed at Rostaw. It is a table for the vases full of these
animals which, except for the thighs, were eaten near these 7 gods,
demanding......(The God gave) the thought in his heart, of a
written decree on the side of this Sphinx, in an hour of the night (¹).
The figure of this God, being cut in stone, is solid, and will exist to
eternity, having always its face regarding the orient.”*
उपर्युक्त लेख का मुख्य भाग पवित्र मूर्तियों एवं प्रतीकों के प्ररूपण से पूर्ण है जो कूफ़ू द्वारा प्राप्त हुईं
मानी जाती हैं। निम्नतम कोटि के जीवों के प्रति मिस्र में प्रचलित दया का उल्लेख आर्चबिशप व्हेतली
ने किया है, “In Egypt there are hospitals for superannuated cats, and
the most loathsome insects are regarded with tenderness;......,” तथा
वहाँ मांसभक्षण निषेध एवं ब्रह्मचर्य पूजा के महत्वपूर्ण लक्षण माने जाते हैं, “Chastity, abstinence
from animal food, ablutions, long and mysterious ceremonies of
preparations of initiation, were the most prominent features of
worship.........Ӡ
कूफ़ू द्वारा निर्मित महास्तूप के स्फिंक्स का स्थल सेइटिक काल ( Saitic Period ) में
जीव दया की प्रेरक पशु पूजा का केन्द्र रहा है। इसकी पुष्टि, सलीम हसन के शब्दों में यह है, “At
the time when this stela was inscribed, there was a great revival of
the worship of the Apis bull at Memphis, and that animal may also
have been venerated in the Giza district at least during the Saitic
Period and later...............”
इसके प्रायः ३०० वर्ष उपरान्त का इतिहास अंधकारमय है। यहां “इतिहास पिता” हिरोडोटस
भी मौन है । ३०० ई. पू. से लेकर ३०० ई. प. तक का काल हेलेनीय ( Hellenism ) युग है।
इस समय सिकंदरिया यूनानी कला और विज्ञान का केन्द्र रहता है। फलित ज्योतिष का उदय होता है।

• The Sphinx, pp. 222-224, ( 1949 ),
  † W. E. H. Lecky, History of European Morals, Vol. I., pp 289, 325 ( 1899 ).