गणितसारसंग्रह (महावीराचार्य - प्रो. लक्ष्मीचन्द्र जैन सविस्तार हिन्दी अनुवाद सटीक)

Jīvarāja Jaina Granthamālā, No. 12
General Editors :
Dr. A. N. UPADHYE & Dr. H. L. Jain
Mahāvīrāchārya's
Gaṇitasāra-Saṁgraha
( An Ancient Treatise on Mathematics )
Authentically Edited with a Hindi Translation
and Introduction etc.
by
L. C. Jain
JABALPUR
Published by
Gulabchand Hirachand Doshi
Jaina Saṁskṛti Saṁrakshaka Saṁgha, Sholapur
1963
All Rights Reserved
Price Rupees Twelve only

First Edition : 750 Copies
Copies of this book can be had direct from Jaina Saṁskṛti
Saṁrakshaka Saṁgha, Santosha Bhavana,
Phaltan Galli, Sholapur (India)
Price Rs. 12/- per copy, exclusive of postage
जीवराज जैन ग्रंथमाला का परिचय
सोलापुर निवासी ब्रह्मचारी जीवराज गौतमचंदजी दोशी कई वर्षों से संसार से उदासीन होकर
धर्मकार्य में अपनी वृत्ति लगा रहे थे। सन् १९४० में उनकी यह प्रबल इच्छा हो उठी कि अपनी
न्यायोपार्जित संपत्ति का उपयोग विशेष रूप से धर्म और समाज की उन्नति के कार्य में करें। तदनुसार
उन्होंने समस्त देश का परिभ्रमण कर जैन विद्वानों से साक्षात् और लिखित सम्मतियाँ इस बात की
संग्रह कीं कि कौन से कार्य में संपत्ति का उपयोग किया जाय। स्फुट मत संचय कर लेने के पश्चात्
सन् १९४१ के ग्रीष्म काल में ब्रह्मचारीजी ने तीर्थक्षेत्र गजपंथा (नासिका) के शीतल वातावरण में
विद्वानों की समाज एकत्र की और ऊहापोह पूर्वक निर्णय के लिए उक्त विषय प्रस्तुत किया।
विद्वत्सम्मेलन के फलस्वरूप ब्रह्मचारीजी ने जैन संस्कृति तथा साहित्य के समस्त अंगों के संरक्षण, उद्धार
और प्रचार के हेतु से 'जैन संस्कृति संरक्षक संघ' की स्थापना की और उसके लिए ३०,०००)
तीस हजार के दान की घोषणा कर दी। उनकी परिग्रहनिवृत्ति बढ़ती गई, और सन् १९४४ में
उन्होंने लगभग २,००,०००) दो लाख की अपनी संपूर्ण संपत्ति संघ को ट्रस्ट रूप से अर्पण कर दी।
इस तरह आपने अपने सर्वस्व का त्याग कर दि. १६-१-५७ को अत्यन्त सावधानी और समाधान से
समाधिमरणकी आराधना की। इसी संघ के अन्तर्गत 'जीवराज जैन ग्रंथमाला' का संचालन हो रहा
है। प्रस्तुत ग्रंथ इसी ग्रंथमाला का बारहवाँ पुष्प है।
प्रकाशक मुद्रक
गुलाबचंद हिराचंद दोषी, बालकृष्ण शास्त्री
जैन संस्कृति संरक्षक संघ, ज्योतिष प्रकाश प्रेस,
सोलापूर कालभैरव मार्ग, वाराणसी

स्व. ब्रह्मचारी जीवराज गौतमचंदजी दोशी,
संस्थापक जैन संस्कृति संरक्षक संघ, शोलापूर

जीवराज जैन ग्रन्थमाला, ग्रन्थ १२
ग्रन्थमाला-संपादक
डॉ० आ. ने. उपाध्ये व डॉ० हीरालाल जैन
महावीराचार्य-विरचित
गणि त सा र - संग्रह
(गणित शास्त्र विषयक प्राचीन ग्रन्थ)
संस्कृत मूल, हिन्दी अनुवाद व प्रस्तावना,
परिशिष्ट आदि सहित
प्रामाणिक रूप से संपादित
संपादक
लक्ष्मीचन्द्र जैन
जबलपुर
प्रकाशक
श्री गुलाबचन्द हिराचन्द दोषी
जैन संस्कृति संरक्षक संघ
सोलापुर
वी. नि. संवत् २४९० सन् १९६३ विक्रम संवत् २०२०
मूल्य रु. १२ मात्र

FOREWORD
I have had the privilege of going through this edition of
Mahāvīrāchārya’s Gaṇitasāra-Saṁgraha, prepared with critical
annotations and an introduction by Prof. L. C. Jain of the
Department of Mathematics, Govt. Science College, Jabalpur, under
the general editorship of the renowned orientalists, Dr. A. N.
Upadhye and Dr. H. L. Jain.
Apart from the extreme care which the learned editor has
exercised in the choice of technical expressions and terminology in
Hindi throughout this edition, what struck me the most is his
sympathetic and erudite understanding of the highly intricate
inter-actions among various schools of mathematical thought
that must have gone into the making of a background for a classic
like the Gaṇitasāra-Saṁgraha. And this, I am sure, places the present
edition on a distinctly higher-than-ever-attained plane of excellence.
I hail the appearance of this work of Prof. L. C. Jain in the
world of learning.
T. PATI
JABALPUR Head of the Department of Mathematics
November 4, 1963 University of Jabalpur

विषय-सूची
( १ ) डा० त्रि० पति का प्राक्कथन ( Foreword ) ... ... iv
( २ ) ग्रन्थमाला संपादकीय ... ... viii
( ३ ) प्रो० बागीजी का प्रास्ताविक ( Introductory ) x
( ४ ) संपादकीय ( Editorial ) xv
( ५ ) प्रस्तावना ... ... ... 1
गणित इतिहास का सामान्य अवलोकन ... ... ... 2
गणित इतिहास का विशिष्ट अवलोकन ... ... ... 12
( ६ ) गणितसारसंग्रह-मूल और अनुवाद
१. संज्ञा ( पारिभाषिक शब्द ) अधिकार ... ... ... १
मङ्गलाचरण ... ... ... १
गणितशास्त्र प्रशंसा ... ... २
क्षेत्र-परिभाषा ( क्षेत्रमाप सम्बन्धी पारिभाषिक शब्दावलि ) ... ४
काल-परिभाषा ( कालमाप सम्बन्धी पारिभाषिक शब्दावलि ) ... ... ४
धान्य-परिभाषा ( धान्यमाप सम्बन्धी पारिभाषिक शब्दावलि ) ... ... ५
सुवर्ण-परिभाषा ( स्वर्णमाप सम्बन्धी पारिभाषिक शब्दावलि ) ... ... ५
रजत-परिभाषा ( रजतमाप सम्बन्धी पारिभाषिक शब्दावलि ) ... ... ५
लोह-परिभाषा ( लोह धातुमाप सम्बन्धी पारिभाषिक शब्दावलि ) ... ... ६
परिकर्म नामावलि ( गणित की मुख्य क्रियाओं के नाम ) ... ... ६
शून्य तथा धनात्मक एवं ऋणात्मक राशि सम्बन्धी सामान्य नियम ... ६
संख्या संज्ञा ... ... ... ७
स्थान नामावलि ( संकेतनात्मक स्थानों के नाम ) ... ... ८
गणक गुण निरूपण ... ... ... ८
२. परिकर्म व्यवहार ( अङ्कगणित सम्बन्धी क्रियाएँ ) ... ... ९
प्रत्युत्पन्न ( गुणन ) ... ... ... ९
भागहार ( भाग ) ... ... ... १२
वर्ग ... ... ... १३
वर्गमूल ... ... ... १५
घन ... ... ... १६
घनमूल ... ... ... १८
संकलित ( श्रेणियों का संकलन ) ... ... ... २०
व्युत्कलित ... ... ... ३२
३. कलासवर्ण व्यवहार ( भिन्न ) ... ... ... ३६
भिन्न प्रत्युत्पन्न ( भिन्नों का गुणन ) ... ... ... ३६

vi
भिन्न भागहार ( भिन्नों का भाग ) ... ... ... ३७
भिन्न सम्बन्धी वर्ग, वर्गमूल, घन, घनमूल ... ... ... ३८
भिन्न संकलित ( भिन्नात्मक श्रेढियों का योगकरण ) ... ... ... ३९
भिन्न व्युत्कलित ( श्रेढिरूप भिन्नों का व्युत्कलन ) ... ... ... ४६
कलासवर्ण षड् जाति ( छः प्रकार के भिन्न ) ... ... ... ४८
भागजाति ( साधारण भिन्नों का जोड़ और घटाना ) ... ... ... ४८
प्रभाग और भागभाग जाति ( संयुत और जटिल भिन्न ) ... ... ... ५९
भागानुबन्ध जाति ( संयव भिन्न ) ... ... ... ६१
भागापवाह जाति ( वियवित भिन्न ) ... ... ... ६३
भागमातृ जाति ( दो या अधिक प्रकार के भिन्नों से संयुक्त भिन्न ) ... ... ... ६६
४. प्रकीर्णक व्यवहार ( भिन्नों पर विविध प्रश्न ) ... ... ... ६८
भाग और शेष जाति ... ... ... ६९
मूल जाति ... ... ... ७३
शेषमूल जाति ... ... ... ७५
द्विरंश शेषमूल जाति ... ... ... ७६
अंशमूल जाति ... ... ... ७७
भाग संवर्ग जाति ... ... ... ७८
ऊनाधिक अंशवर्ग जाति ... ... ... ७९
मूलमिश्र जाति ... ... ... ८०
भिन्न दृश्य जाति ... ... ... ८१
५. त्रैराशिक व्यवहार ... ... ... ८३
अनुक्रम त्रैराशिक ... ... ... ८३
व्यस्त त्रैराशिक ... ... ... ८५
व्यस्त पंचराशिक ... ... ... ८५
व्यस्त सप्तराशिक ... ... ... ८६
व्यस्त नवराशिक ... ... ... ८६
गति निवृत्ति ... ... ... ८६
पंचराशिक, सप्तराशिक, नवराशिक ... ... ... ८७
भाण्डप्रतिभाण्ड ( विनिमय ) ... ... ... ८९
क्रय विक्रय ... ... ... ८९
६. मिश्रक व्यवहार ... ... ... ९१
संक्रमण और विषम संक्रमण ... ... ... ९१
पंचराशिक विधि ... ... ... ९२
वृद्धि विधान ( ब्याज ) ... ... ... ९४
प्रक्षेपक कुट्टीकार ( समानुपाती भाग ) ... ... ... १०८
वल्लिका कुट्टीकार ... ... ... ११५

vii
विषम कुट्टीकार ... ... ... १२३
सकल कुट्टीकार ... ... ... १२४
सुवर्ण कुट्टीकार ... ... ... १३५
विचित्र कुट्टीकार ... ... ... १४५
श्रेढीबद्ध संकलित ( श्रेणियों का संकलन ) ... ... ... १६५
७. क्षेत्रगणित व्यवहार ( क्षेत्रफल के माप सम्बन्धी गणना ) ... ... ... १८१
व्यावहारिक गणित ( अनुमानतः मापसम्बन्धी गणना ) ... ... ... १८२
सूक्ष्म गणित ... ... ... १९२
जन्य व्यवहार ... ... ... २०४
पैशाचिक व्यवहार ... ... ... २१३
८. खात व्यवहार ( खोह अथवा गढ़ा सम्बन्धी गणनाएँ ) ... ... ... २५१
सूक्ष्म गणित ... ... ... २५१
चिति गणित ( ईंटों के ढेर सम्बन्धी गणित ) ... ... ... २६२
क्रकचिका व्यवहार ... ... ... २६७
९. छाया व्यवहार ( छाया सम्बन्धी गणित ) ... ... ... २६९
परिशिष्ट १ संख्या निरूपक शब्दावलि ... ... (अंतिम) १
२ अनुवाद में अवतरित संस्कृत शब्द ... ... ... ११
२ अ ग्रंथ में प्रयुक्त संस्कृत पारिभाषिक शब्दावलि ... ... ... ३८
३ उत्तर-माला ... ... ... २७
४ माप-सारणी ... ... ... ३५
५ कारंजा जैन-भण्डार प्रति-परिचय ... ... ... ५५
६ प्रोफेसर रंगाचार्य और डेविड आइज़िन स्मिथ की प्रस्तावनाएँ · ६४
प्रस्तावना की अनुक्रमणिका ... ... ... ७८
शुद्धि-पत्र ... ... ... ८१
—•—

ग्रन्थमाला संपादकीय
पढ़ना, लिखना और गिनना ये मनुष्य की मौलिक विद्यायें मानी गई हैं । जैन-शास्त्रों में जिन
बहत्तर कलाओं का उल्लेख मिलता है उनमें सर्वप्रथम स्थान लेख का और दूसरा गणित का है । तथापि
आगमों में प्रायः इन कलाओं को 'लेहाइयाओ गणितप्पहाणाओ' अर्थात् लेखादिक, किन्तु गणित प्रधान
कहा गया है । इससे सिद्ध होता है कि बालक की शिक्षा में एवं मानवीय व्यवहार में गणित का बड़ा
महत्त्व था ।
जैन-साहित्य यद्यपि धर्म व दर्शन प्रधान है, तथापि उसमें गणित-शास्त्र का उपयोग व व्याख्यान
पद पद पर पाया जाता है । विशेषतः इस साहित्य के चार अनुयोग—प्रथम, करण, चरण और द्रव्य माने
गये हैं । उनमें करणानुयोग में लोक का स्वरूप वर्णित पाया जाता है; और उस निमित्त से सूर्य, चन्द्र व नक्षत्र
तथा द्वीप, समुद्र आदि के विवरणों में गणित की नाना प्रक्रियाओं का प्रचुरता से उपयोग किया गया है ।
सूर्यप्रज्ञप्ति, चन्द्रप्रज्ञप्ति एवं जम्बूद्वीपप्रज्ञप्ति नामक उपाङ्गों में तथा तिलोयपण्णत्ति, षट्खंडागम की धवल
टीका एवं गोम्मटसार व त्रिलोकसार तथा उनकी टीकाओं में प्रचुरता से गणित का प्रयोग पाया जात
है; और वह भारतीय प्राचीन गणित के विकास को समझने के लिये बड़ा महत्त्वपूर्ण है । सूर्यप्रज्ञप्ति को
तो गणितानुयोग भी कहा गया है । वैदिक परम्परा में गणित का विषय वेदाङ्ग ज्योतिष आदि ज्योतिष
के ग्रंथों में प्रयुक्त पाया जाता है । पाँचवीं शती में हुए आर्यभट ही एक सर्वप्रथम ज्योतिषी पाये जाते हैं
जिन्होंने अपने आर्याष्टशत नामक कृति में ३३ श्लोकात्मक गणित का एक प्रकरण स्वतंत्र रूप से जोड़ा
है । उनके पश्चात् हुए ब्रह्मगुप्त ने भी अपने ब्राह्म स्फुट सिद्धान्त नामक ग्रंथ में गणित का एक अध्याय
जोड़ा है ।
इस समस्त परम्परा में एक भी ऐसा ग्रंथ नहीं दिखाई देता जो पूर्णतः गणित-विषयक कहा जा
सके । ऐसा सर्वप्रथम ग्रंथ महावीराचार्य कृत गणितसार-संग्रह ही है जिसकी रचना राष्ट्रकूट नरेश अमोघवर्ष
के राज्यकाल में हुई थी जो सन् ८१३ से ८८० ईस्वी तक पाया जाता है । यह राजा जैनधर्म का बड़ा
अनुरागी था और उसके संरक्षण में बहुत से जैन साहित्य की रचना हुई । राजा स्वयं एक कवि था और
प्रश्नोत्तर-रत्न-मालिका नामक प्रख्यात सुभाषित कविता उसी की बनाई सिद्ध होती है । प्रस्तुत ग्रंथ की
उत्थानिका में ही अमोघवर्ष की बड़ी प्रशंसा की गई है । यहाँ जो उन्हें महान् यथाख्यात-चारित्र-जलधि
आदि विशेषण दिये गये हैं उनपर से ऐसा अनुमान होता है कि उन्होंने राज्यत्याग कर मुनिधर्म धारण किया
था । रत्नमालिका के अन्त में जो उन्हें 'विवेकात् त्यक्तराज्येन' कहा है उससे भी इसी बात का समर्थन
होता है । (देखिये डॉ० ही० ला० जैन, राष्ट्रकूट नरेश अमोघवर्ष की जैन-दीक्षा, जैन सिद्धान्त भास्कर,
आरा, १९४३) । एक पूर्णतः गणित विषयक ग्रंथ ऐसा भी मिला है जो आश्चर्य नहीं महावीराचार्य से

vii
विषम कुट्टीकार ... ... ... १२३
सकल कुट्टीकार ... ... ... १२४
सुवर्ण कुट्टीकार ... ... ... १३५
विचित्र कुट्टीकार ... ... ... १४५
श्रेढीबद्ध संकलित ( श्रेणियों का संकलन ) ... ... ... १६५
७. क्षेत्रगणित व्यवहार ( क्षेत्रफल के माप सम्बन्धी गणना ) ... ... १८१
व्यावहारिक गणित ( अनुमानतः मापसम्बन्धी गणना ) ... ... १८२
सूक्ष्म गणित ... ... ... १९२
जन्य व्यवहार ... ... ... २०४
पैशाचिक व्यवहार ... ... ... २१३
८. खात व्यवहार ( खोह अथवा गढ़ा सम्बन्धी गणनाएँ ) ... ... २५१
सूक्ष्म गणित ... ... ... २५१
चिति गणित ( ईंटों के ढेर सम्बन्धी गणित ) ... ... २६२
क्रकचिका व्यवहार ... ... ... २६७
९. छाया व्यवहार ( छाया सम्बन्धी गणित ) ... ... २६९
परिशिष्ट १ संख्या निरूपक शब्दावलि ... ... ( अंतिम ) १
२ अनुवाद में अवतरित संस्कृत शब्द ... ... ... ११
२ अ ग्रंथ में प्रयुक्त संस्कृत पारिभाषिक शब्दावलि ... ... ३८
३ उत्तर-माला ... ... ... २७
४ माप-सारणी ... ... ... ३५
५ कारंजा जैन-भण्डार प्रति-परिचय ... ... ... ५५
६ प्रोफेसर रंगाचार्य और डेविड आइंजिन स्मिथ की प्रस्तावनाएँ • ६४
प्रस्तावना की अनुक्रमणिका ... ... ... ७८
शुद्धि-पत्र ... ... ... ८१
—+•+—

xi

पूर्वकालीन हो । पेशावर के समीप बक्षाली नामक ग्राम में भूमि के भीतर से एक भूर्ज पत्र पर लिखे हुए
ग्रंथ के खंड सन् १८८१ में प्राप्त हुए । इनकी छानबीन से पता चला कि इनमें भिन्न, वर्गमूल, समान्तर
और गुणोत्तर श्रेणियां आदि गणित की प्रक्रियाओं का वर्णन है । कुछ विद्वान् इस ग्रंथ को तीसरी चौथी
शती की रचना का अनुमान करते हैं और कुछ इसे बारहवीं शती के लगभग रखने के भी पक्ष में हैं ।
( देखिये Bibhutibhusan Datta, The Bakhshālī Mathematics, Bul. Cal.
Math. Soc., XXI, 1 ( 1929 ), pp. 1-60 ).
प्रस्तुत सर्वोगपूर्ण गणित ग्रंथ के महत्त्व को समझ कर इसका सम्पादन प्रोफेसर रंगाचार्य ने अंग्रेजी
अनुवाद सहित सन् १९१२ में किया था जिसका प्रकाशन मद्रास गवर्नमैंट की ओर से हुआ था । इधर
अनेक वर्षों से वह प्रकाशन अलभ्य है जिसके कारण प्राचीन गणित के विद्वानों व शोधकों को बड़ी
असुविधा प्रतीत होती थी । इसी कारण यह आवश्यक समझा गया कि इस ग्रंथ का पुनः संशोधन,
अनुवाद व प्रकाशन कराया जाय । यह कार्य गणित के प्राध्यापक श्री लक्ष्मीचन्द्र जैन ने अपने हाथ में
लिया और उन्होंने अपने हिन्दी अनुवाद तथा प्रस्तावना में विषय को सुस्पष्ट करने में बड़ा परिश्रम किया
है जिसके लिये हम उनके बहुत कृतज्ञ हैं । प्रस्तुत ग्रंथमाला के अधिकारियों ने इस ग्रंथ को प्रकाशित
करना सहर्ष स्वीकार किया इसके लिये वे धन्यवाद के पात्र हैं । इस ग्रंथ के लिए प्रो० भूपाल बाळप्पा
बागी ( धारवाड ) ने महत्त्वपूर्ण प्रास्ताविक लिखा है, जिसके लिए हम उनके आभारी हैं । अनेक सम्पादन
व मुद्रण सम्बन्धी कठिनाइयों के कारण ग्रंथ के प्रकाशन में बहुत विलम्ब हुआ इसका हमें दुख है ।
विद्वानों से हमारी प्रार्थना है कि वे इस महत्त्वपूर्ण शास्त्र के सम्बन्ध में अपने अभिमत व सुझाव निस्संकोच
भेजने की कृपा करें, जिससे विषय का उत्तरोत्तर परिमार्जन होता रहे ।
ही. ला. जैन
आ. ने. उपाध्ये
प्रधान सम्पादक

INTRODUCTORY
Āryabhaṭa, the elder (c. 510 A. D.), Brahmagupta (c. 628 A.
D.), Mahāvīrāchārya (c. 850 A. D.) and Bhāskarāchārya (c. 1150
A. D.) are the most eminent mathematicians of ancient India.
Mahāvīrāchārya, the author of the Gaṇitasāra-Saṁgraha, lived in
a period well-known, in the history of South India, for its prosperity,
political stability and academic fertility. He was a contemporary
and enjoyed the patronage of Nṛpatuṅga, or Amoghavarsha (815–
877 A. D.) of the Rāshṭrakūṭa dynasty. Nṛpatuṅga was ruling at
Mānyakheṭa, but his kingdom extended far northwards. His capital
was a centre of learning. He was not only a mighty ruler, but also
a patron of poets and himself a man of literary aptitude and
attainments. A Kannaḍa work, Kavirājamārga, on poetics is
attributed to him. He was a great devotee of Jinasena (the author of
Ādipurāṇa and Pārśvābhyudaya) whose ascetic practices and literary
gifts must have captivated his mind. He soon became a pious
Jaina and renounced the kingdom in preference to religious life as
mentioned by him in his Sanskrit work, the Praśnottara-ratnamālā
and as graphically described by his contemporary Mahāvīrāchārya
in his Gaṇitasāra-Saṁgraha.
Mahāvīrāchārya combines the discipline of seasoned
mathematician with the warm and vivid imagination of a creative
poet. He skilfully summarizes all the known mathematics of his
time into a perfect textbook which was used for centuries in the
whole of Southern India. He states rules clearly and precisely. He
simplifies and sharpens many processes. He generalises many a
theorem shedding light on new aspects by apt illustrations.
Gaṇitasāra-Saṁgraha is a veritable treasury of problems many of
which are characterised by mathematical subtlety, poetic beauty and
delicate hint of refined humour, qualities so rare in a mathematical
text book. It is difficult to decide, in a textbook, what is old and
what is the original contribution of the author.

xi

Here is a brief survey of the contents of the book :
Chapter I opens with the salutation to Lord Mahāvīra, the
twentyfourth Tīrthaṅkara of the Jainas, who by his knowledge of the
science of the numbers illuminates the three worlds. This is follwed
by a warm and handsome tribute of gratitude paid to his royal patron,
Amoghavarsha. After this, comes the most enthusiastic and unique
panegyric ever bestowed on the science of Mathematics. Then we have
measures used, names of operations and numerals. Rules governing
the use of negative numbers are correctly stated; those regarding the
use of zero may be stated in modern notation thus :
a ± 0 = a; a × 0 = 0; a ÷ 0 = a.
The last part is obviously wrong. As regards the square root
of a negative number, the author observes that since squares of
positive and negative numbers are positive, square root of a negative
number cannot exist. Considering the limitations of his time,
Mahāvīrāchārya could not have reached a more sensible conclusion.
We may note, in this context, that the necessary extension of the
concept of number which assimilates square roots of negative
numbers into the number system, was achieved as late as in 1797
by C. Wessel a Norwegian surveyor ( Bell's 'The Development
of Mathematics' page 177 ).
Chapter II deals, in respect of integers, with operations of
multiplication, division, squaring and its inverse, cubing and its
inverse, arithmetic and geometric series.
Problem II 17. In this problem, put down in order (from the
unit's place upwards ) 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1 and 1, which ( figures so
placed ) give the measure of a number and (then) if this number is
multiplied by 91, there results that necklace which is worthy of a
prince. The 'Necklace' referred to, may be displayed thus :
11011011 × 91 — 1002002001.
Two more 'garlands worthy of a prince' are : ( II 11, 15 ) :
333333666667 × 33 = 11000011000011;
and 752207 × 73 = 11, 111, 111.

xii
Chapters III and IV are devoted to elementary operations
with fractions. Mahāvīrāchārya has paid considerable a tention to
the problem of expression of a unit fraction as the sum of unit
fraction. This problem has interested mathematicians from remote
antiquity ( Ahmes Papyrus 1650 B. C. ). Here are three relevant
problems ( II 75, 77, 78 ) set in modern notation.
( 1 ) 1 = ½ + ⅓ + 1/3² + ······ + 1/3ⁿ⁻² + 1/(2ⁿ⁻² · 3);
( 2 ) 1 = 1/(2·3·½) + 1/(3·4·½) + ··· + 1/((2n - 1) 2n·½) + 1/(2n·½);
( 3 ) 1/n = a₁ / (n (n + a₁)) + a₂ / ((n + a₁) (n + a₁ + a₂)) + ······

• aᵣ₋₁ / ((n + a₁ + a₂ + ··· + aᵣ₋₂) (n + a₁ + a₂ + ··· + aᵣ₋₁))
• aᵣ / (aᵣ (n + a₁ + a₂ + ··· + aᵣ))
  Problem IV 4: One third of a herd of elephants and three times
  the square root of the remaining part ( of the herd ) were seen on the
  mountain slope; and in a lake was seen a male elephant along with
  three female elephants. How many were the elephants there ?
  Here is a sample of monkish humour !
  Chapter V treats ‘Rule of Three’ and its generalised forms.
  Chapter VI. Having created the arithmetical apparatus in the
  earlier chapters, in this long chapter, Mahāvīrāchārya applies it to
  solving many problems which one encounters in life such as money-
  lending, number of combinations of given things, indeterminate
  equations of first degree, etc.
  Problem (VI 128½) : In relation to twelve ( numerically equal )
  heaps of pomegranates which having been put together and combined
  with five of those ( same fruits ) were distributed equally among 19
  travellers. Give out the numerical measure of ( any ) one heap.
  Problem ( VI 218 ) : The number of combinations of n different
  things taken r at a time is
  n (n - 1) (n - 2)···(n - r + 1) / (1·2·3······r) or n! / (r! (n - r)!)

xiii
It is interesting to note that this general formula was discovered in
Europe as late as in 1634 by Herigone (Smith's History of
Mathematics Vol. II). We may also recall here that the number 7
which occurs in Saptabhaṅgī provides a simple example in the
theory of Permutations and Combinations. A layman can verify
that he can form seven and only seven different combinations of
three distinct objects. Jainas have been using mathematics freely in
their sacred literature from very remote antiquity. The above
example supports this fact.
Problem ( VI 220 ) : O friend, tell me quickly how many
varieties there may be, owing to variation in combination of a
single-string necklace made up of diamonds, sapphires, emeralds,
corals and pearls ?
Problem ( VI 287 ) : What is that quantity which when divided
by 7, ( then ) multiplied by 3, ( then ) squared, ( then ) increased by
5, ( then ) divided by 3/5, ( then ) halved and ( then ) reduced to its
square root, happens to be 59.
Note the sheer devilry of it !
In chapters VII and VIII problems on mensuration are treated.
Some of the formulas used are noted here :
(1) The Pythargorean formula for the sides of a right angled
triangle is a² = b² + c² where a is the hypotenuse.
(2). Area of △ ABC is
√[s (s - a) (s - b) (s - c)] where 2 s = a + b + c.
(3). The area and the diagonals of a quadrilateral ABCD are :
√[(s - a) (s - b) (s - c) (s - d)] where 2 s = a + b + c + d ;
√[((ac + bd) (ab + cd)) / (ad + bc)] ; √[((ac + bd) (ad + bc)) / (ab + cd)].
It is unfortunate that both Mahāvīrāchārya and his predecessor
Brahmagupta made the common mistake of not mentioning the fact
that these formulas hold for cyclic quadrilaterals only.
( 4 ). π = 3 or √10.
( 5 ). The circumference of an ellipse whose major and minor
axes are of lengths 2 a and 2 b is √(24 b² + 16 a²) which reduces to
2π a √(1 - ⅗ e²) where e is the eccentricity. It is difficult to imagine,

xiv
how Mahāvīrācharya could attain such a close approximation
without the help of the powerful tools available to us
Chapter IX treats the so called "Shadow Problems."
Raobahadur Raṅgāchārya's edition of Gaṇitasāra-Saṁgraha with
English translation has been out of print for over thirty five years.
Thanks to the zeal and labours of Prof. L. C. Jain, the present
edition with Hindi translation goes some way to meet a long felt
need. It is, however, felt that a new edition with English translation
by an experienced Mathematician who knows Sanskrit well is an
urgent need.
The writer is thankful to his learned friends Dr. Hiralalji
Jain and Dr. A. N. Upadhye for assigning to him the pleasant task
of writing this foreword.
DHARWAR, October 1963 B. B. BAGI

EDITORIAL
The work of Hindi translation of Gaṇitasāra-Saṁgraha was
entrusted to me by Dr. H. L. Jain in 1951, soon after I had joined
the College of Science at Nagpur. It took nearly twelve years for
its publication. During this period, while in his contact, I became
interested in the study of mathematical contents of the old Prakrit
texts (Dhavalā and Tiloyapaṇṇattĩ recently brought to light and
edited with Hindi translation by him. It was easy to mark out the
difference between the treatment in Gaṇitasāra Saṁgraha and the
mathematical contents of the Prakrit texts. The former is a work on
Indian logistics or Laukikī, a few portions of which could be useful
for the study of the latter which we may call Indian arithmetica.
Artha, in Prakrit texts, implies the measure of substance, field,
time and beings' becomings in terms of monads. The Prakrit texts,
made known to the Hindi world by Dr. H. L Jain and others, form
important sources of Indian arithmetica which throw light on the
darkest period of Indian history of mathematics. It is regretted
that certain articles of Dr. A. N. Singh on these topics are not known
to historians of mathematics, for they were not published in
recognized mathematical magazines. A reference to these was made
by Sinvhal in an article on Dr. Singh in Gaṇita, Vol. 5, No. 2, (1954).
In the present work, I have based the translation mainly on
the English translation of Professor Raṅgāchārya, taking liberty of
Hindi expressions and keeping his notes intact. In the introduction
I have tried to give a general observation on the history of
mathematics upto the time of Mahāvīrāchārya. This is chiefly based
on Bell's Development of Mathematics and History of Hindu
Mathematics by Datta and Singh. Then I have given a specific
observation on the history of mathematics of the Pythagorean era.
In this I have given relevant references of the works which form
important sources of Indian arithmetica, and have tried to correlate
certain similarities in Greek, Egyptian, Babyloanian, Indian and
Chinese arithmetica etc. I have concluded therein that the
mathematics developed in the school of "Vardhamāna Mahāvira

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is one of the connecting and missing links in the history of
Mathematics.
I have traced these developments in a systematic form in the
Jīva Tatva Pradīpikā commentary on Gommaṭasāra. It abounds in
symbolism for place value, logarithms, transfinite and finite cardinals,
sets and operators. One may be confused to see that a single symbol
has been used in various texts to denote various measures or
operations. For example, zero as a circle stands for a negative
sign, for one sensed soul, for the agrihīta stage of soul (for a void),
for filling up gaps, and for a place value. Sets are of varying,
oscillating and constant types. A kind of well ordering concept
seems to have been used in formation of sequences from the greatest
transfinite set. Comparability also plays an important role in the
treatment
Thus Mahāvīrāchārya had before him, the works of his
predecessors, both in logistics and in arithmetica. He made a clear
remark in his connection, in verse 70, Chapter 1, for a study of Āgama
for further details. His work contains other elementary descriptions
on series etc., found in details in Prakrit texts, referred above. It
seems that his acquaintance with proper infinities in which monads
alone played the role of division etc., made him to think of division
by zero as a distribution in a logical way. If a sum is to be
distributed to none, the sum would remain unaffected.
The first four appendices contain practically the same matter
as appeared in Raṅgāchārya's translation. The fifth appendix contains
new collation-material compiled at the instance of Dr H. L. Jain
from certain manuscripts from Karanja. In the sixth appendix it
has been thought useful to reproduce the preface of Professor
Raṅgāchārya and introduction of Professor David Eugene Smith.
Thanks are due to Professor B. D. Dube for his kindness to
give valuable suggestions. Thanks are also due to the proprietor of
the Press for his kind co-operation.
I am grateful to my Principal, Shri G. R. Inamdar, and to my
senior colleague, Prof. K. S. Rathore, for their affectionate patronage.
My gratitude is also due to Prof. S. B Gour for his close assistance.
JABALPUR, NOVEMBER 1963 L. C. JAIN

समर्पण
श्री १०५ पू० क्षु० मनोहर वर्णी 'सहजानन्द'
जिन्होंने
निरन्तर ज्ञान तप साधना रत हो
“स्यां स्वस्मै स्वे सुखी स्वयम्” उद्घोष गीत से
संतप्त जग जीवन में
चन्द्र सितारा मय
शीतल सम्यक्त्व-प्रभात
उतारा है
तथा
जीवन बन्धु विनोबा भावे
जिन्होंने
सर्वोदय और भूमिदानादि रत्न दीपों से
कृष्ण क्षुब्ध तम जलधि तटों पर
सुप्त प्राणों के प्राणों को
जागृत रखा है
को
सादर
सस्नेह

प्रस्तावना
भारतीय गणित इतिहास के जगत्प्रसिद्ध गणितज्ञ महावीराचार्य के गणितसार संग्रह ग्रन्थ का पुन-
रुद्धार प्रोफेसर रंगाचार्य द्वारा सन् १९१२ में हुआ । इस ग्रन्थ के तीन अपूर्ण हस्तलेख उन्होंने गव्हर्नमेंट
ओरिएंटल मेनस्क्रिप्ट्स लायब्रेरी, मद्रास में, उस समय के डी. पी. आई. श्री जी. एच. स्टुअर्ट की प्रेरणा
से प्राप्त किये । उन तीन हस्तलिपियों में से एक तो १ ग्रंथ की लिपि में कागज पर है, जिसमें संस्कृत टीका
सहित प्रथम पांच अध्याय हैं। बाकी दो हस्तलिपियां २ ताड़पत्रों पर कन्नड़ी लिपि में हैं। एक ताड़पत्र में प्रथम
पांच अध्याय हैं, और दूसरे में सात अध्याय हैं, जिनमें क्षेत्रफलों का ज्यामितीय विधि से निरूपण है । इन
दोनों हस्तलिपियों में संस्कृत में लिखा हुआ मूल ग्रंथ है, और कन्नड़ी भाषा में कुछ विविध उदाहरणार्थ प्रश्न
तथा उन्हीं प्रश्नों के उत्तर दिये गये हैं । इस ग्रंथ का पूर्णरूपेण अंग्रेजी में अनुवाद करने के लिये प्रोफेसर
रंगाचार्य ने कई जगह खोज करवाई, जिसके फल स्वरूप उन्हें कुछ और हस्तलिपियां प्राप्त हुईं । चौथी
हस्तलिपि गव्हर्नमेंट ३ ओरिएंटल लायब्रेरी, मैसूर में प्राप्त हुई । यह हस्तलिपि मूल रूप में ताड़ पत्र पर किसी
जैन पंडित के पास थी, जिसे कागज पर कन्नड़ी में उतारा गया था । इस लिपि में पूरा ग्रन्थ है, साथ में,
वल्लभ द्वारा कन्नड़ी भाषा में की गई टीका भी है । वल्लभ ने उसी में लिखा है कि इसी ग्रन्थ की टीका
उन्होंने तेलगू में भी की। पांचवीं हस्तलिपि, ४ दक्षिण कन्नड़, मूडबिद्री में एक जैन मंदिर के भांडार में ताड़-
पत्र पर कन्नड़ी में लिखित प्राप्त हुई । इसमें भी पूर्ण ग्रंथ है तथा कन्नड़ी में प्रश्न और उनके उत्तर दिये
गये हैं । ग्यारहवीं सदी में राजमुंद्री के राजराजेन्द्र के शासन काल में इस ग्रंथ का अनुवाद पावलुरि मल्हण
द्वारा तेलगू में हुआ, जिसकी कुछ हस्तलिपियां मद्रास की गव्हर्नमेंट ओरिएंटल मेनस्क्रिप्ट्स लायब्रेरी में हैं ।
ग्रन्थ पढ़ने से ज्ञात होता है कि ग्रन्थकार सम्भवतः ईसा की नवीं सदी में मैसूर प्रांत के किसी
कन्नड़ी भाग में हुए होंगे, जहां राष्ट्रकूट वंश के चक्रिका भंजन राजा अमोघवर्ष नृपतुंग ५ का शासन था ।
महावीराचार्य के कार्य का महत्व समझने के लिये गणित के विकास के इतिहास पर विहंगम दृष्टि डालना
आवश्यक प्रतीत होता है । गणित के विकास में भारतीयों का कितना अंशदान था यह भी इससे स्पष्ट
हो जावेगा । इस विकास विवरण को हम केवल महावीर के काल तथा पश्चिम के देशों तक सीमित रखेंगे ।
१. इस हस्तलिपि को प्रोफेसर रंगाचार्य ने “P” द्वारा अभिधानित किया है । हम भी इन्हीं संकेतों
को उपयोग में लावेंगे ।
२. दोनों हस्तलिपियों में साधारण लक्षण होने एवं विषय अतिछादी (overlapping) न होने
के कारण इन्हें “K” द्वारा अभिधानित किया गया है ।
३. इसका अभिधान “M” द्वारा किया गया है ।
४. इस हस्तलिपि को “B” द्वारा अभिधानित किया गया है ।
५. अमोघवर्ष नृपतुंग के विषय में इतिहासकारों का मत है कि वे ईसा की नवीं सदी के पूर्वार्द्ध में
राजगद्दी पर बैठे । इनके विशेष परिचय के लिये नाथूराम प्रेमी का “जैन साहित्य और इतिहास”
१९४२, पृ० ५१७ आदि देखिये ।