बीजगणितम् (भास्कराचार्य द्वितीय - प्राचीन भारतीय समीकरण एवं बीजगणित सूत्र सटीक)

मेण प्रथमखण्डमानानि प्र., दि., तृ., च., प्रथमसममापमान=वि, द्विती"
Wait!
Look at line 31:
"तथा क्रमेण प्रथमखण्डमानानि प्र., दि., तृ., च., प्रथमसममापमान=वि, द्विती-"
Wait, the second word in line 31:
"तथा क्रमेण" - 'क्र' has a broken loop, looks like '' or 'क्र'. It's "क्रमेण"!
Then: "प्रथमखण्डमानानि प्र., दि., तृ., च., प्रथमसममापमान=वि, द्विती" (or "प्रथमसमापमान = वि, द्वि")
Wait, let's read line 31 carefully:
"तथा क्रमेण प्रथमखण्डमानानि प्र., दि., तृ., च., प्रथमसममापमान=वि, द्विती-" (with a hyphen or broken off at right: "द्विती-")

Line 32:
"यसमपंमान = वि, तदाऽऽल्पाणुमारेण"
Wait!
"यसमपंमान = वि, तदाऽऽल्पाणुमारेण" ->
"यसमापमान = वि, तदाऽऽल्पानुसारेण" (or "यसमापमान = वि₂, तदाऽऽल्पानुसारेण"? No, "वि, तदाऽऽल्पाणुमारेण" or "तदाऽऽल्पानुसारेण").

->तौorयौ? तौmakes so much sense withयदा ... तदा ... कल्पितौ तौ! Or यौ? Wait, let's look at ये: it has au-kara! तौorयौ`.

Now let's revisit L24 and L25 (Verse 1):
Let's read verse 1 carefully:
Line 1:
निरग्रं पदं यद्गुणात् स्यात् फलाढ्यं
Wait, look at L23:
निरग्र पद यद्गुणात् स्यात् फलाढ्यं -> wait, does it have anusvara?
निरग्र पद or निरग्रं पदं?
In print, sometimes anusvara is faint or omitted: निरग्र पद यद्गुणात् स्यात् फलाढ्यं
Wait, let's look at L24:
धनाख्यं तदेवात्र शेषं तदग्रम् ।
Line 2:
धनाख्यं तदेवात्र शेषं तदग्रम् ।
Line 3 (L25):
पदाद्यं धनं शेषहृत्प्रान्त्यमन्त्यं
Wait, let's look at the letters of L25:
प दा द्यं (पदाद्यं)
ध नं (धनं)
शे ष हृ त्प्रान् त्य (

संक्षिप्तविषयाः । १४१
गुणाप्तौ विधुक्षेपके कुट्टकेन भवेतां पदे ते समा लब्धयश्चेत् ।
विधुक्षेपकेऽथाऽन्यथा रूपशुद्धावभिन्ने सकृत् कुट्टकेनैव तूर्णम् ॥ ३ ॥
यथाऽऽचार्योक्तप्रश्ने प्रकृति ६७ अस्या निरग्रमूलं ८ शेषं ३ ततः प्रश्नानुसारेण ।
कं प शे वल्ली
८ ८ ३ ८ ┐
५ ५ ६ ५ │
७ ७ ७ ७ │
१ १ ९ १ │
१ १ २ १ │
७ ७ ९ ७ ┘
१ २ ७ १ ┐
१ ५ ६ १ │
२ ७ ३ २ │
५ ८ १ ५ │
१ │
० ┘
वल्लीतो जाते गुणाप्ती ५९६७ । ४८८४२ लब्धयः समाः समस्यतो जाते कनि-
ष्ठज्येष्ठे रूपक्षेपे क ५९६७ ज्ये ४८८४२ एते, एवं मुहुः कुट्टकविधिना समासभा-

१४२ बीजगणिते
योगेन समत्वकाः
वि१. प्र + प्र१ ( वि — वि, ) == वि१. द्वि + द्वि ( वि — वि२ )
= वि१. तृ + तृ१ ( वि — वि३ ) = वि१. च + च१ ( वि — वि४ )
समशोधनेन
वि१ ( द्वि — प्र ) = ( वि — वि२ ) ( प्र१ — द्वि१ )
वि१ ( तृ — द्वि ) = ( वि — वि३ ) ( द्वि१ — तृ१ )
वि१ ( च — तृ ) = ( वि — वि४ ) ( तृ१ — च१ )
यदि द्वि — प्र = स. प१ । तृ — द्वि = स. प२ । च — तृ = स. प३
यत्र द्वि — प्र, तृ — द्वि, च — तृ एषां समापवर्त्तनं = स ।
तदा वि१. स. प१ = ( वि — वि२ ) ( प्र१ — द्वि१ )
वि१. स. प२ = ( वि — वि३ ) ( द्वि१ — तृ१ )
वि१. स. प३ = ( वि — वि४ ) ( तृ१ — च१ )
[L1

संक्षिप्तविषयाः । १४३
तदा वि₁ ( स + १ ) = वि । अतोऽन्यसमार्घमिष्टं प्रकल्प्य सैकेन समापवर्त्त-
नेन गुणमाद्यसमार्घमानं भवेदिति । यथाऽत्रोदाहृतौ,
प्र = २०, द्वि = ४०, तृ = ६०, च = ८०
द्वि - प्र = २०, तृ - द्वि = २०, च - तृ = २०
समापवर्त्तनम् = २०, ततः प₁ = १, प₂ = १, प₃ = १
अथ प्र₁-मानम् = १५ इति कल्पितम् ,
ततः प्र₁ = १५,
द्वि₁ = १५ - १ = १४
तृ₁ = १४ - १ = १३ } अन्यसमार्घमानं रूपं कल्पितं तदाऽऽद्यसमार्घ-
च₁ = १३ - १ = १२ } मानं = वि१ = (स + १) = २१
पूर्वधनानि = २० । ४० । ६० । ८०
आद्यखण्डानि = १५ । १४ । १३ । १२
अन्यखण्डानि = ५ । २६ । ४७ । ६८

१४४ बीजगणिते
= तृ.सं.क - पी ( वि - शे ) = चं.सं.क - लो ( वि - शे ) ।
यत्र धनानां समापवर्त्तन = स, तथा प्र = प्रे.स, द्वि = द्वि'.स, इत्यादि। अथ यदि
स, शे अनयोः समापवर्त्तन = स१, तथा स१. मं = स; अ.स१ = शे तदा
प्रे.सं.क - का ( वि / स१ - अ ) = द्वि'.मं.क - नी ( वि / स१ - अ )
= तृ.सं.क - पी ( वि / स१ - अ ) = चं.सं.क - लो ( वि / स१ - अ )
= अपवर्त्तितसमधनानि
अथ यदि क = वि / स१ - अ तदा, प्रथमफलानि = वि.प्र / स१ - अ.प्र
१ + का = (वि.प्र / म₁) / वि = (वि.मं.प्रे / स₁) / वि = वि.सं.प्र' / वि = मं.प्रे'
यदि वि > अ.प्र, एवमेव
१ + नी = सं.द्वि' यदि वि > अ.द्वि
१ + पी = मं.तृ' यदि वि > अ.तृ
१ + लो = सं.चं' यदि वि > अ.च
तत उत्थापनेनापवर्त्तितसमधनानि सर्वत्र समानान्येव
यथा प्रे.मं.क - का ( वि / स₁ - अ )
= प्रे.मं ( वि / स₁ - अ ) - ( मं.प्रे - १ ) ( वि / स₁ - अ ) =
( वि / स₁ - अ ) ( प्रे.मं - सं.प्रे + १ ) = वि / स₁ - अ
अत्र शेषविक्रयेण यथा सर्वेषां शेषधनान्यभिन्नानि, स्युस्तदर्थं क्रयविक्रययोर्माने
तथा कल्प्ये यथा शेषविक्रयभक्ते अभिन्ने फले स्तस्तदा विक्रयस्वरूपम् वि / शे = अभिन्नम्।
वि > अ.प्र, अ.द्वि, अ.तृ, अ.च, तत प्रथममानम् = वि / स१ - अ = अ.वि / शे - अ
= अ ( वि / शे - १ )

' or 'क'?
Wait! Look at:
क¹५ = क³ X ५ = कⁿ⁺ⁿ⁺ⁿ = क³ⁿ ?
Wait, why would it be 'र'?
Look at the shape of that letter:
It has a top bar, a vertical stem, a left loop... wait, is that 'क' with the right curve missing?
No, look at:
= र or = क?
Wait, if base is क:
क¹५ = क³ X ५ = (क५)³ or something?
Wait, look at line 27:
क¹५ = क³ X ५ = [letter]ⁿ⁺ⁿ⁺ⁿ = [letter]³ⁿ
Wait, look at the letter:
It is:
र with a repha? No, it's:
= रⁿ⁺ⁿ⁺ⁿ = र³ⁿ ?
Wait, why 'र'? Because राशि = र!
Wait, or is it 'क'?
Let's look at the letter:
It is:
vertical stroke, loop on left, and... wait, it's 'क'! But the right hook is very light, or is it 'र'?
Wait, in line 25: "क¹५ = क⁵⁺¹⁰ = कⁿ⁺ᵐ"
Here the base is clearly 'क'.
In line 27:
first is 'क¹५'
second is '= क³ X ५'
third is '= कⁿ⁺ⁿ⁺

ानानामवयवौ ।Bottom line:क, spaces, = क! Wait, if you transcribe line-by-line, how should that be presented? Wait, if you write it as: क³ ˣ ५ = कच ˣ न यदीह च = ३ । अत्र च, न इति पञ्चदशानामवयवौ ।or: ३ X ५ च X न यदीह च = ३ । अत्र च, न इति पञ्चदशानामवयवौ । क = कWait, line-by-line instructions say: "Prefix each line with line marker like , ." If we make it: ३ X ५ च X न यदीह च = ३ । अत्र च, न इति पञ्चदशानामवयवौ । क = क Then the rest of the lines shift by 1. Wait, let's look at whether it's intended to be one logical/formulaic line: In math transcription, is it: $क^{३ \times ५} = क^{च \times न}$ यदीह च = ३ । अत्र च, न इति पञ्चदशानामवयवौ । Wait, if we write:क³ˣ⁵ = कचˣन यदीह च = ३ । अत्र च, न इति पञ्चदशानामवयव

? Let's compare the first letter of line 27 with म: In line 27, look at वर्गमूल: व, रwith repha onग, मwithू(मू),ल. The मinवर्गमूलhas a flat top, left vertical with a loop, bottom horizontal, right vertical. Now look at the first letter of line 27: It has a loop at top-left? No, it looks likeगाorशाorभाorमा. Wait, look at the next letter: It has a vertical stroke and a repha? Wait, could it be: शा खा पु च्छ ा क ा र ो`? No.
Wait, let's search Sanskrit mathematics literature for:
"वर्गमूल वर्गपद च पाश्चात्यनये तदभावात्पृष्ठसंयोगे घनपदार्थ"
Wait! Look at the sentence in line 27:
"... वर्गमूल वर्गपद च पाश्चात्यनये तदभावात्पृष्ठसंयोगे घनपदार्थ"
Wait, before "वर्गमूल वर्गपद च पाश्चात्यनये":
"...पुच्छाकारो वर्गमूल वर्गपद च पाश्चात्यनये"
"तदभावात्पृष्ठसंयोगे घनपदार्थ"
Wait, "तदभावात्"

}{२}! And then: ∴ ८य - १२ = ११ - य! And then: ∴ ९य = २३or∴ ९य - २३ = १२? ८य + य = ९य, ११ + १२ = २३! Line 28: ∴ ९य = २३ ∴ य = २३/९! WAIT! Line 25 does NOT have that extra stuff to the right, that's just: Wait, what IS on the right of line 25? Let's look at line 25 again! ( ४ ) ९^{२य - ३} = ( √३ )^{११ - य} ,Wait, to the right:२^{३य} = ४^{र}? Why is that there? Wait, look at line 22 again! Line 22 has: ( ३ ) २^{२य - १} = ४^{र - १} अथ २^{२य - १} = २^{२(र - १)}Line 23:∴ २य - १ = २ र - २ . ∴ २य - २र = - १... Wait, in line 23, what is after- १? - १ = - [ ] + र . ∴ र = ३? Wait! In line 24: ∵ य = १`
Wait

नवीनप्रक्रमविषयाः । १४९
पुन. २^(३य) = २^(२र) . ∴ ३ य = २ र . ∴ ३ य - २ र = ०
∴ (९ य - २) - (३ - २र) = १० - ० = ६ य = १२ . ∴ य = २, र = ३
( ५ ) ( √अ )^(य + र) = ( ³√अ )^(र + ल + १) ⎫
( ³√क )^(य + ल - २) = ( ⁴√क )^(र + ल) ⎬ अत्र य, र, ल एषां
( ⁴√ग )^(२र) = ( ⁶√ग )^(य + र + ल) ⎭ मानानि साध्यन्ते ।
अ^((य + र)/२) = अ^((र + ल - १)/३) . ∴ (य + र)/२ = (र + ल - १)/३ . ∴ ३ य + ३ र
= २ र + २ ल - २ . ∴ ३ य + र - २ ल = - २ । क^((य + ल - २)/३) =
क^((र + ल)/४) . ∴ (य + ल - २)/३ =

· १५० बीजगणिते
( ५ ) कोऽसावङ्को यस्य तृतीयसप्तमभागयोर्योगः = २० । उत्तरम् = ४२ ।
( ६ ) यदि अ + क = ७, अ . क = १२ तदा अ = ३, क = १२ कथमिति ।
( ७ ) ,, य² + र² = ६५, य - र = ३ तदा य = ७, - ४, र = ४, - ७ इति
कथम् ।
( ८ ) ,, य² + र² = ७४, य . र = ३५ तदा य = ५, ७, - ५, - ७,
र = ७, ५, - ७, - ५ इति कथम् ।
( ९ ) ,, य³ + र³ = ६३७, य + र = १३ तदा य = ८, ५, र = ५, ८ कथम्
( १० ) ,, य - र = - १८, य × र = १३६३ तदा य = २९, - ४७,
र = ४७, - २९ कथम् ।
( ११ ) ,, य³ - र³ = २१८, य - र = २ तदा य = ७, - ५, र = ५, - ७ कथम् ।
( १२ ) ,, य + र = य², ३ र - य = र² तदा य = ०, २, २ ± √२,
र = ०, २, २ ∓ √२ कथम् ।
सब प्रकार की संस्कृत पुस्तकों के मिलने का एक मात्र पता -
कृष्णदास गुप्त,
४०।७, ठठेरी बाजार,
बनारस सिटी ।

अशुद्धिशुद्धिपत्रम् ।
अशुद्धिः शुद्धिः पृ० पं०
तस्या कृतित्वात् तस्याकृतित्वात् ४ २१
ऽर्थात् ऽर्थात् ५ २०
या २ं रू १ या ४ं रू १ ९ २
पूव- पूर्व- ९ ८
हाराथ हारार्थं ९ ८
या ५. रू १ या ४ं. रू १ १० ३
का ४ का ४ं ११ २०
का २ का २ं १२ २
रू १६ रू १६ं १३ १०
क ७५ क ७५ं १४ ११
७२ क ७२ १७ १
अनथा- अनयो- १८ २०
राशी राशौ २२ ५
सिमद्धै- सिद्धै- २२ १४
क-६, कें-६
-२१क -२१क { २५ १६
निशेष- निःशेष- २६ २२
तौस्तः तौ स्तः २६ २
हा. ३ ह्वा. ३ २७ ७
पूव- पूर्व- २९ १
वक्षा- वज्रा- २९ १५
ऋर. ऋण ३० १८
राशि राशिः ३१ २७
नानिहारः नानि हारः ३२ १
द्महा द्रुमहा ३२ ४
तपद्यथा तद्यथा ३२ ५

२ अशुद्धिशुद्धिपत्रम् ।
तश्च्युयु तश्च्यु- ३७ ७
कनिष्ठे कनिष्ठ ३७ २७
फलेन- घनेन- ४१ १२
ह्याना रूप्यानी ४४ २१
म् । या ६ । म् या ६ । ४१ ३
उद्धते उद्धृते ४१ १२
रू३६० रू ३६० ४९ ५
द्याया द्धया ५० १३
शति पर शतितर ५३ १३
द्येने द्येन ५७ ५
भुजकाद्विगुणौ भुजकर्णयुतौ कोटौ च ज्ञातायाम्
५७।५८ २९,१
धर्मेण वर्गेण ५९ ६
गजायां द्वयाया ५९ १२
हारस्य- हरिस्य- ५९ २३
एमान एतानि ७२ १८
गुरेत सुतेन ८१ २७
काण्डः पाण्डः ८८ ४
गामिन नाभिनं ८९ १
विशदतः विशदभूत- ९० १०
१. घि-। (शे धि ।) ९५ २५
व्या ध्या ९८ १७
वह्म वह्नि १०१ १३
त्याप्य स्थाप्य १०३ १६
पद्म पद्धत १०४ २०
अरात्र भयात्र ११४ १२
ममाप समीप- ११५ १८
रू ४ क ४ १२१ १
सिद्धि- सिद्धि १२३ १०
द्वारा त्याग १२४ २१
उपशान उपशमि १२७ १४